HL.2. Tính chất cơ bản của phân số

I. Các kiến thức cần nhớ
1. Tính chất cơ bản của phân số

• Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a.m}}{{b.m}}\) với \(m \in Z\) và \(m \ne 0\) .
• Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng ta được một phân số mới bằng phân số đã cho: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}\)với \(n \in \) ƯC\(\left( {a;b} \right)\).

Ví dụ: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{{1.4}}{{2.4}} = \dfrac{4}{8};\)\(\dfrac{6}{{15}} = \dfrac{{6:3}}{{15:3}} = \dfrac{3}{5}\)

2. Rút gọn phân số
Muốn rút gọn phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác $1$ và $– 1$ của chúng.

3. Phân số tối giản

• Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà cả tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $ - 1.$ Để rút gọn một lần mà được kết quả là phân số tối giản, chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng.
• Để rút gọn một phân số có thể phân tích tử và mẫu thành tích các thừa số.

II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định các phân số bằng nhau
Phương pháp:
Áp dụng tính chất cơ bản của phân số \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a.m}}{{b.m}}\) với \(m \in Z\) và \(m \ne 0\); \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{a:n}}{{b:n}}\)với \(n \in \) ƯC\(\left( {a;b} \right)\).

Dạng 2: Tìm số chưa biết của đẳng thức hai phân số
Phương pháp:

• Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã cho thành hai phân số bằng chúng nhưng có từ (hoặc mẫu) như nhau. Khi đó mẫu (hoặc tử) của chúng phải bằng nhau. Từ đó tìm được số chưa biết hoặc áp dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau.

Dạng 3: Rút gọn phân số. Rút gọn biểu thức dạng phân số
Phương pháp:

• Chia cả tử và mẫu của phân số $\dfrac{a}{b}$ cho ƯCLN của $\left| a \right|$ và $\left| b \right|$ để rút gọn thành phân số tối giản.
• Trường hợp biểu thức có dạng phân số, ta cần làm xuất hiện các thừa số chung của tử và mẫu rồi rút gọn các thừa số chung đó.

Dạng 4: Tìm các phân số tối giản trong các phân số cho trước
Phương pháp:

• Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của các giá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là $1$ thì đó là phân số tối giản.
• Ví dụ: Phân số $\dfrac{{ - 5}}{7}$ tối giản vì ƯCLN($\left| { - 5} \right|$ , $\left| 7 \right|$) = ƯCLN $\left( {5,7} \right){\rm{ }} = 1.$

Dạng 5: Viết dạng tổng quát của tất cả các phân số bằng một phân số cho trước
Phương pháp:

• Ta thực hiện hai bước: - Rút gọn phân số đã cho đến tối giản, chằng hạn ta được phân số tối giản $\dfrac{m}{n}$ ;
• Dạng tổng quát của các phân số phải tìm là $\dfrac{{m.k}}{{n.k}}$ (\(k\) $ \in $ $\mathbb{Z}$, \(k\) $\ne 0).$