HL.5. Đoạn thẳng. Độ dài đoạn thẳng. Khi nào thì AM+MB=AB?

I. Các kiến thức cần nhớ
1. Đoạn thẳng

• Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm $A,$ điểm $B$ và tất cả các điểm nằm giữa $A$ và $B.$
• Các điểm $A,{\rm{ }}B$ gọi là hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng $AB$.
• Khi hai đoạn thẳng có một điểm chung, ta nói hai đoạn thẳng ấy cắt nhau.

2. Độ dài đoạn thẳng
Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương. Độ dài đoạn thẳng $AB$ cũng còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B.$
Nhận xét: Khi hai điểm $A$ và $B$ trùng nhau, ta nói độ dài bằng $0.$

3. So sánh hai đoạn thẳng

• Hai đoạn thẳng bằng nhau nếu có cùng độ dài.
• Đoạn thẳng lớn hơn nếu có độ dài lớn hơn.

Chú ý:

• Trên một tia gốc $O,$ với bất kì số $m > 0$, bao giờ cũng xác định được một điểm $M$ để độ dài $OM = m.$
• Trên tia $Ox,$ nếu có hai điểm $M,{\rm{ }}N$ với $OM = a,ON = b$ và $0 < a < b$ thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N.$

4. Cộng độ dài đoạn thẳng
Nếu điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ thì $AM + MB = AB$.

Ngược lại, nếu \(AM + MB = AB\) thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$
Chú ý:

• Ta có thể dùng mệnh đề: “Nếu \(AM + MB \ne AB\) thì điểm \(M\) không nằm giữa \(A\) và \(B.\)”
• Nếu điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B;\) điểm \(N\) nằm giữa \(M\) và \(B\) thì \(AM + MN + NB = AB.\)

II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận biết đoạn thẳng. Đoạn thẳng cắt đoạn thẳng, cắt tia, cắt đường thẳng
Phương pháp:

• Sử dụng định nghĩa: “Đoạn thẳng \(AB\) là hình gồm điểm $A,$ điểm $B$ và tất cả các điểm nằm giữa $A$ và $B$” để nhận biết đoạn thẳng
• Nếu một đoạn thẳng chỉ có một điểm chung với đường thẳng, tia hoặc đoạn thẳng khác thì chúng cắt nhau.

Ví dụ: Đoạn thẳng cắt tia

Đoạn thẳng cắt đường thẳng

Dạng 2: Số đoạn thẳng
Phương pháp:
Với \(n\) điểm cho trước \(\left( {n \in N;\,n \ge 2} \right)\) và không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đoạn thẳng vẽ được là \(\dfrac{{n.\left( {n - 1} \right)}}{2}\) .

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng. So sánh độ dài đoạn thẳng
Phương pháp:
+ Tìm độ dài mỗi đoạn thẳng
Ta vận dụng kiến thức
Nếu điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ thì $AM + MB = AB$ để tính độ dài đoạn thẳng rồi so sánh:

• Hai đoạn thẳng bằng nhau nếu có cùng độ dài.
• Đoạn thẳng lớn hơn nếu có độ dài lớn hơn.

Dạng 4: Xác định điểm nằm giữa hai điểm khác
Phương pháp:
Ta sử dụng các kiến thức

• Trên tia $Ox,$ nếu có hai điểm $M,{\rm{ }}N$ với $OM = a,ON = b$ và $0 < a < b$ thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $O$ và $N.$
• Nếu $AM + MB = AB$ thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$
• Nếu điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ thì điểm $M$ nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ .