HL.7. Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

I. Các kiến thức cần nhớ
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

• Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}\)
• Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\) ta suy ra: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.
Mở rộng: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$
Chú ý: Khi nói các số \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,\,b,\,c\) tức là ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\). Ta cũng viết \(x:y:z = a:b:c\)

II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.
Phương pháp giải:
Để tìm hai số \(x;y\) khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau

• Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
• Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}\)
• Từ đó \(x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b\) .

Để tìm hai số \(x;y\) khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau

• Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
• Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có : \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}\)
• Từ đó \(x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;\)\(y = \dfrac{p}{{a - b}}.b\) .

Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Phương pháp:

• Giả sử chia số \(P\) thành ba phần \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\), ta làm như sau: \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}\)
• Từ đó \(x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b\); \(z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c\).

Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp: Tìm hai số \(x;\,y\) biết $x.y = P$ và \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)
Cách 1: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)

• Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)
• Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \)\(\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\)
• Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).

Cách 2: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}\) hay \(\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} \)\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}\) từ đó tìm được \(x\) và \(y.\)

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước.
Phương pháp: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 5: Bài toán về tỉ lệ thức
Phương pháp:

• Xác định mối quan hệ giữa các yếu tố của đề bài
• Lập được tỉ lệ thức
• Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.