Toán 12 Học chuyên đề tiệm cận của hàm số lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
I - Tiệm cận của hàm phân thức
Xét hàm số: $y = f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}$
1. Tiệm cận đứng:
  • Bước 1 : Giải phương trình u(x) = 0 $ \Leftrightarrow x \in \left\{ {{x_1},{x_2},..,{x_n}} \right\}$
  • Bước 2 : Nếu $\left\{ \begin{array}{l} u({x_k}) \ne 0\\ v({x_k}) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_k}} \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = \infty \Leftrightarrow x = {x_k}$ là tiệm cận đứng
2. Tiệm cận ngang
  • Bước 1: Dấu hiệu nhận biết $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{MXD}}:\,\,\,{\rm{ }}\infty \\ {\rm{Deg(u(x)) }} \le {\rm{ Deg(v(x)) }} \end{array} \right.$
  • Bước 2 : Xét giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = b \Leftrightarrow y = b$ là tiệm cận ngang
3. Tiệm cận xiên
  • Bước 1: Dấu hiệu nhận biết $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{MXD: }}\infty \\ {\rm{Deg(u(x)) = Deg(v(x)) + 1 }} \end{array} \right.$
  • Bước 2 : Tìm tiệm cận
Cách 1 : Phương pháp tổng quát
$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) - ax)$ suy ra y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2 :
  • Bước 1 :Thực hiện phép chia đa thức $f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = ax + b + \frac{{{\rm{z(x)}}}}{{{\rm{v(x)}}}}{\rm{ voi Bac z(x) < Bac v(x)}}$
  • Bước 2 : Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) - (ax + b)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{z(x)}}{{v(x)}} = 0$ suy ra y = ax +b là tiệm cận xiên
II – Tiệm cận của hàm vô tỷ chứa căn bậc hai
1. Xét hàm số
$y = \sqrt {a{x^2} + bx + c} {\rm{ }}(a > 0)$
Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {a{x^2} + bx + c} - \sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|{\rm{ }})$ = 0 nên $y = \sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|$ là tiệm cận xiên
  • Với x→+∞ ta có tiệm cận xiên bên phải $y = \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$
  • Với x→-∞ ta có tiệm cận xiên bên trái $y = - \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$
Chú ý: Với a < 0 thì hàm số không có tiệm cận

2. Tiệm cận hàm số $y = mx + n + p\sqrt {a{x^2} + bx + c} {\rm{ }}(a > 0)$ là $y = mx + n + p\sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|$
  • Với x→+∞ Ta có tiệm cận xiên bên phải $y = mx + n + p\sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$
  • Với x→-∞ ta có tiệm cận xiên bên trái $y = mx + n - p\sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$
Chú ý :
  • với a< 0 hàm số không có tiệm cận
  • Hàm số $y = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ không có tiệm cận
BÀI TẬP
Câu 1:
Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = $\frac{{3x – 1}}{{x + 1}}$
A. y=-1
B. y=3
C. x=-1
D. x=2
Giải​
Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1

Câu 2: Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x + 1}}.$
A. $x = – 1;\,y = 3$
B. $y = 2;\,x = – 1$
C. $x = \frac{1}{3};\,y = 3$
D. $y = – 1;\,x = 3$
Giải​
Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},(c \ne 0,ad – bc \ne 0)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $x=-\frac{a}{c}.$
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.

Câu 3: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thi hàm số$y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$
Giải​
Hàm số đã cho có tập hợp xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$
Vì $\mathop {\lim y=2}\limits_{x \to +\infty }$ và $\mathop {\lim y=2}\limits_{x \to -\infty }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \rightarrow + \infty $ và khi $x \rightarrow - \infty $)
Vì $\mathop {\lim y=- \infty }\limits_{x \to (-2)^{+} }$ và $\mathop {\lim y=+ \infty }\limits_{x \to (-2)^{-} }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \rightarrow (-2)^{-} $ và khi $x \rightarrow (-2)^{+} $)
Tiệm cận của hàm số.png

Câu 4: Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}\)
Giải​
TXĐ: D = R \ {0}
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\sqrt[\left | x \right |]{1+\frac{2}{x^2}}}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty } \bigg(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\bigg)=1\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( -\sqrt{1+\frac{2}{x^2}} \right )=-1\)
Các đường thẳng: y = ± 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty\)
+ Đường thẳng x = 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 5: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x-1}{2x+5}\)
Giải​
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{3x-1}{2x+5} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3-\frac{1}{x}}{2+\frac{5}{x}} = \frac{3}{2}\)
Vậy \(y = \frac{3}{2}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}} y = -\infty\)
Vậy \(x = -\frac{5}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 6: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{4x + 5}{3x - 1}\)
Giải​
\(\lim_{x \rightarrow -\infty } y = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{4x + 5}{3x - 1} = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{4 + \frac{5}{x}}{3-\frac{1}{x} }= \frac{4}{3}\)
Vậy \(y = \frac{4}{3}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}^-} = - \infty\)
Vậy \(y = \frac{1}{3}\) là đường tiệm cận đứng.
Câu 7: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
Giải​
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2 + \frac{9}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{5}{x}}\left ( \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2}} (\ do\ x > 0)= \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right )\)
\(=\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2 + \frac{9}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{5}{x}}\)
\(= \frac{2}{-1 + 3} = 1\)
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.

Câu 8: Tìm m để đồ thị ham số \(y = \frac{(2m + 3)x + 5}{3x - 1}\) có tiệm cận ngang y = 2.
Giải​
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{(2m + 3)x + 5}{3x - 1}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2m + 3 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{1}{x}}\)
\(= \frac{2m+3}{3}\)
Vậy \(y= \frac{2m+3}{3}\) là tiệm cận ngang.
y = 2 là đường tiệm cận ngang khi \(\frac{2m+3}{3} = 2\)
⇔ 2m + 3 = 6
⇔ 2m = 3
\(\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\)

Câu 9: Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \frac{4x + 6}{(2m+1)x + 1}\) không có tiệm cận.
Giải​
TH1: \(2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{1}{2}\)
Khi đó y = 4x + 6
Vậy \(m = -\frac{1}{2}\) thỏa mãn
TH2: 2m + 1 ≠ 0
\((2m + 1)x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2m+1}\)
\(I=\lim_{x \rightarrow {-\frac{1}{2m+1}}^+} \frac{4x + 6}{(2m + 1)x + 1}\)
\(I = \lim_{x \rightarrow {-\frac{1}{2m+1}}^+} (4x + 6) = 4.\left ( -\frac{1}{2m+1} \right ) + 6\)
\(= \frac{-4 + 12m + 6}{2m + 1} = \frac{12m + 2}{2m + 1}\)
12m + 2 ≠ 0 thì \(I = \pm \infty\)
12m + 2 = 0 ⇔ \(m = - \frac{1}{6}\) thì \(y = \frac{4x + 6}{\left ( -\frac{1}{3} + 1 \right )x + 1} = 6\)
\(m = - \frac{1}{6}\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left \{ -\frac{1}{2};-\frac{1}{6} \right \}\)

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1 : Tìm tiệm cận các hàm số sau

  • a) $y = \frac{{4x - 3}}{{2x + 5}}{\rm{ }}$
  • b) ${\rm{y = }}\frac{{{\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 6x + 15}}{{x - 1}}$
  • c) ${\rm{y = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + {x^2} - 4x - 2}}{{{x^2} - 4}}$
  • d) $y = \frac{{2x - 8}}{{2{x^2} + 3x + 9}}$
Bài 2 : Tìm tiệm cận hàm số
  • a) $y = \frac{{m{x^2} + 5x - 2}}{{x + 1}}$
  • b) ${\rm{ y = }}\frac{{{\rm{x + 2}}}}{{{x^2} - 4x + m}}$
  • c) ${\rm{ y = }}\frac{{{\rm{m }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$
Bài 3: Cho ( C m ) : $y = f(x) = \frac{{2{x^2} + mx - 2}}{{x - 1}}$. Tìm m để đường tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4
Bài 4: Cho (Cm ): $y = f(x) = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}$. Tìm m để đường tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 5: Cho ( C ): $y = f(x) = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$
  • 1) CMR : Tích khoảng cách từ M Thuộc (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi
  • 2) Tìm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt nhỏ nhất
Bài 6: Tìm tiệm cận các hàm số sau
  • a) $y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} $
  • b) ${\rm{ y = x + 2 - 3}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 4} $
  • c) ${\rm{y = }}\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$
  • d) ${\rm{ y = x }}\sqrt {\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{{\rm{x - 1}}}}} $
Bài 7: Cho (C) : $y = f(x) = \frac{{{x^2}\sin \alpha + 2x\cos \alpha + 1}}{{x + 2}}$
  • 1) Xác định tiêm cận xiên của đồ thị hàm số
  • 2) Tìm ỏ để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị Max
Bài 8 : Tìm m để hàm số : $y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} + mx + 1}}$
  • a) Có đúng một tiệm cận đứng
  • b) Có hai tiệm cận đứng x= x1 và x = x2 sao cho $\frac{{{x_1}^2}}{{{x_2}^2}} + \frac{{{x_2}^2}}{{{x_1}^2}} > 7$
Bài 9: Cho (C) : $y = f(x) = \frac{{a{x^2} + (2a - 1)x + a + 3}}{{x - 2}}$ với a #0 và a# 1. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định
Bài 10: Cho (C) : $y = f(x) = \frac{{(m + 1){x^2} - {m^2}}}{{x - m}}{\rm{ }}(m \ne 0)$. Chứng minh rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định.

 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...