Toán 12 Học chuyên đề tiệm cận của hàm số lớp 12

Tiệm cận của hàm số là gì? Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang sẽ được trình bày chi tiết trong bài giảng này. Bài viết được trình bày gồm: cơ sở lý thuyết tiệm cận; bài tập minh họa

I - Tiệm cận của hàm phân thức
Xét hàm số: $y = f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}$
1. Tiệm cận đứng hàm số:

• Bước 1 : Giải phương trình u(x) = 0 $ \Leftrightarrow x \in \left\{ {{x_1},{x_2},..,{x_n}} \right\}$
• Bước 2 : Nếu $\left\{ \begin{array}{l} u({x_k}) \ne 0\\ v({x_k}) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_k}} \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = \infty \Leftrightarrow x = {x_k}$ là tiệm cận đứng

2. Tiệm cận ngang hàm số

• Bước 1: Dấu hiệu nhận biết $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{MXD}}:\,\,\,{\rm{ }}\infty \\ {\rm{Deg(u(x)) }} \le {\rm{ Deg(v(x)) }} \end{array} \right.$
• Bước 2 : Xét giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = b \Leftrightarrow y = b$ là tiệm cận ngang

3. Tiệm cận xiên hàm số

• Bước 1: Dấu hiệu nhận biết $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{MXD: }}\infty \\ {\rm{Deg(u(x)) = Deg(v(x)) + 1 }} \end{array} \right.$
• Bước 2 : Tìm tiệm cận

Cách 1 : Phương pháp tổng quát
$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f(x)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) - ax)$ suy ra y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2 :

• Bước 1 :Thực hiện phép chia đa thức $f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}} = ax + b + \frac{{{\rm{z(x)}}}}{{{\rm{v(x)}}}}{\rm{ voi Bac z(x) < Bac v(x)}}$
• Bước 2 : Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) - (ax + b)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{z(x)}}{{v(x)}} = 0$ suy ra y = ax +b là tiệm cận xiên

II – Tiệm cận của hàm vô tỷ chứa căn bậc hai
1. Xét hàm số $y = \sqrt {a{x^2} + bx + c} {\rm{ }}(a > 0)$
Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {a{x^2} + bx + c} - \sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|{\rm{ }})$ = 0 nên $y = \sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|$ là tiệm cận xiên

• Với x→+∞ ta có tiệm cận xiên bên phải $y = \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$
• Với x→-∞ ta có tiệm cận xiên bên trái $y = - \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$

Chú ý: Với a < 0 thì hàm số không có tiệm cận

2. Tiệm cận hàm số $y = mx + n + p\sqrt {a{x^2} + bx + c} {\rm{ }}(a > 0)$ là $y = mx + n + p\sqrt a \left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right|$

• Với x→+∞ Ta có tiệm cận xiên bên phải $y = mx + n + p\sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$
• Với x→-∞ ta có tiệm cận xiên bên trái $y = mx + n - p\sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})$

Chú ý :

• với a< 0 hàm số không có tiệm cận
• Hàm số $y = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$ không có tiệm cận

BÀI TẬP TIỆM CẬN HÀM SỐ
Câu 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = $\frac{{3x – 1}}{{x + 1}}$
A. y=-1
B. y=3
C. x=-1
D. x=2
Đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1

Câu 2: Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 1}}{{x + 1}}.$
A. $x = – 1;\,y = 3$
B. $y = 2;\,x = – 1$
C. $x = \frac{1}{3};\,y = 3$
D. $y = – 1;\,x = 3$
Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},(c \ne 0,ad – bc \ne 0)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $x=-\frac{a}{c}.$
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.

Câu 3: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số$y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$
Hàm số đã cho có tập hợp xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$
Vì $\mathop {\lim y=2}\limits_{x \to +\infty }$ và $\mathop {\lim y=2}\limits_{x \to -\infty }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \rightarrow + \infty $ và khi $x \rightarrow - \infty $)
Vì $\mathop {\lim y=- \infty }\limits_{x \to (-2)^{+} }$ và $\mathop {\lim y=+ \infty }\limits_{x \to (-2)^{-} }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \rightarrow (-2)^{-} $ và khi $x \rightarrow (-2)^{+} $)

Câu 4: Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(f(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}\)
TXĐ: D = R \ {0}
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{\sqrt[\left | x \right |]{1+\frac{2}{x^2}}}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty } \bigg(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}\bigg)=1\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( -\sqrt{1+\frac{2}{x^2}} \right )=-1\)
Các đường thẳng: y = ± 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty\)
+ Đường thẳng x = 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 5: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{3x-1}{2x+5}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{3x-1}{2x+5} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3-\frac{1}{x}}{2+\frac{5}{x}} = \frac{3}{2}\)
Vậy \(y = \frac{3}{2}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow -\frac{5}{2}} y = -\infty\)
Vậy \(x = -\frac{5}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 6: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{4x + 5}{3x - 1}\)
\(\lim_{x \rightarrow -\infty } y = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{4x + 5}{3x - 1} = \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{4 + \frac{5}{x}}{3-\frac{1}{x} }= \frac{4}{3}\)
Vậy \(y = \frac{4}{3}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow \frac{1}{3}^-} = - \infty\)
Vậy \(y = \frac{1}{3}\) là đường tiệm cận đứng.
Câu 7: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f(x) = \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2 + \frac{9}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{5}{x}}\left ( \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2}} (\ do\ x > 0)= \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right )\)
\(=\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{2 + \frac{9}{x}}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 3 + \frac{5}{x}}\)
\(= \frac{2}{-1 + 3} = 1\)
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.

Câu 8: Tìm m để đồ thị ham số \(y = \frac{(2m + 3)x + 5}{3x - 1}\) có tiệm cận ngang y = 2.
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{(2m + 3)x + 5}{3x - 1}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{2m + 3 + \frac{5}{x}}{3 - \frac{1}{x}}\)
\(= \frac{2m+3}{3}\)
Vậy \(y= \frac{2m+3}{3}\) là tiệm cận ngang.
y = 2 là đường tiệm cận ngang khi \(\frac{2m+3}{3} = 2\)
⇔ 2m + 3 = 6
⇔ 2m = 3
\(\Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\)

Câu 9: Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \frac{4x + 6}{(2m+1)x + 1}\) không có tiệm cận.
TH1: \(2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{1}{2}\)
Khi đó y = 4x + 6
Vậy \(m = -\frac{1}{2}\) thỏa mãn
TH2: 2m + 1 ≠ 0
\((2m + 1)x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2m+1}\)
\(I=\lim_{x \rightarrow {-\frac{1}{2m+1}}^+} \frac{4x + 6}{(2m + 1)x + 1}\)
\(I = \lim_{x \rightarrow {-\frac{1}{2m+1}}^+} (4x + 6) = 4.\left ( -\frac{1}{2m+1} \right ) + 6\)
\(= \frac{-4 + 12m + 6}{2m + 1} = \frac{12m + 2}{2m + 1}\)
12m + 2 ≠ 0 thì \(I = \pm \infty\)
12m + 2 = 0 ⇔ \(m = - \frac{1}{6}\) thì \(y = \frac{4x + 6}{\left ( -\frac{1}{3} + 1 \right )x + 1} = 6\)
\(m = - \frac{1}{6}\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left \{ -\frac{1}{2};-\frac{1}{6} \right \}\)

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1 : Tìm tiệm cận các hàm số sau

• a) $y = \frac{{4x - 3}}{{2x + 5}}{\rm{ }}$
• b) ${\rm{y = }}\frac{{{\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 6x + 15}}{{x - 1}}$
• c) ${\rm{y = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + {x^2} - 4x - 2}}{{{x^2} - 4}}$
• d) $y = \frac{{2x - 8}}{{2{x^2} + 3x + 9}}$

Bài 2 : Tìm tiệm cận hàm số

• a) $y = \frac{{m{x^2} + 5x - 2}}{{x + 1}}$
• b) ${\rm{ y = }}\frac{{{\rm{x + 2}}}}{{{x^2} - 4x + m}}$
• c) ${\rm{ y = }}\frac{{{\rm{m }}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$

Bài 3: Cho ( C m ) : $y = f(x) = \frac{{2{x^2} + mx - 2}}{{x - 1}}$. Tìm m để đường tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 4
Bài 4: Cho (Cm ): $y = f(x) = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}$. Tìm m để đường tiệm cận xiên tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 5: Cho ( C ): $y = f(x) = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$

• 1) CMR : Tích khoảng cách từ M Thuộc (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi
• 2) Tìm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận đạt nhỏ nhất

Bài 6: Tìm tiệm cận các hàm số sau

• a) $y = \sqrt {{x^2} - 3x + 2} $
• b) ${\rm{ y = x + 2 - 3}}\sqrt {{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 4} $
• c) ${\rm{y = }}\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$
• d) ${\rm{ y = x }}\sqrt {\frac{{{\rm{x + 1}}}}{{{\rm{x - 1}}}}} $

Bài 7: Cho (C) : $y = f(x) = \frac{{{x^2}\sin \alpha + 2x\cos \alpha + 1}}{{x + 2}}$

• 1) Xác định tiêm cận xiên của đồ thị hàm số
• 2) Tìm ỏ để khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên đạt giá trị Max

Bài 8 : Tìm m để hàm số : $y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} + mx + 1}}$

• a) Có đúng một tiệm cận đứng
• b) Có hai tiệm cận đứng x= x1 và x = x2 sao cho $\frac{{{x_1}^2}}{{{x_2}^2}} + \frac{{{x_2}^2}}{{{x_1}^2}} > 7$

Bài 9: Cho (C) : $y = f(x) = \frac{{a{x^2} + (2a - 1)x + a + 3}}{{x - 2}}$ với a #0 và a# 1. Chứng minh rằng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định
Bài 10: Cho (C) : $y = f(x) = \frac{{(m + 1){x^2} - {m^2}}}{{x - m}}{\rm{ }}(m \ne 0)$. Chứng minh rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định.

• Xem thêm: Chuyên đề bài tập trắc nghiệm tiệm cận
• Nguồn: 7scv.com