Toán 12 Học Lũy thừa lớp 12

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
1. Định nghĩa lũy thừa và căn
  • Cho số thực b và số nguyên dương n \((n \ge 2)\). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \({a^n} = b\).
  • Chú ý: Với n lẻ và \(b \in \mathbb{R}\): Có duy nhất một căn bậc n của \(b\), kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
lũy thừa và căn.PNG

2. Một số tính chất của lũy thừa
  • Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:
\({a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};\) \(\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }};\) \({({a^\alpha })^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\;;\) \({(ab)^\alpha } = {a^\alpha } \cdot {b^\alpha };\) \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}};\) \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \alpha }} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^\alpha } \cdot \)
  • Nếu a > 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \); Nếu 0 < a < 1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \).
  • Với mọi 0 < a < b, ta có: \({a^m} < {b^m} \Leftrightarrow m > 0\); \({a^m} > {b^m} \Leftrightarrow m < 0\)
  • Chú ý:
* Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
* Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
* Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3. Một số tính chất của căn bậc n
Với \(a,b \in \mathbb{R};n \in {\mathbb{N}^*}\), ta có:
  • $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} = \left| a \right|,\,\forall a.$
  • \(\sqrt[{2n + 1}]{{{a^{2n + 1}}}} = a,\forall a\).
  • $\sqrt[{2n}]{{ab}} = \sqrt[{2n}]{{\left| a \right|}}.\sqrt[{2n}]{{\left| b \right|}},\,\forall ab \ge 0.$
  • \(\sqrt[{2n + 1}]{{ab}} = \sqrt[{2n + 1}]{a} \cdot \sqrt[{2n + 1}]{b},\forall a,b\).
  • $\sqrt[{2n}]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[{2n}]{{\left| a \right|}}}}{{\sqrt[{2n}]{{\left| b \right|}}}},\,\forall ab \ge 0;\,b \ne 0.$
  • \(\sqrt[{2n + 1}]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[{2n + 1}]{a}}}{{\sqrt[{2n + 1}]{b}}},\forall a,\forall b \ne 0\).
Với \(a,b \in \mathbb{R},\) ta có:
  • \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m},\forall a > 0\), n nguyên dương, M nguyên.
  • \(\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{nm}]{a},\forall a \ge 0\), n ,Mnguyên dương.
  • Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\,,\forall a > 0,m,n\)nguyên dương, \(p,q\) nguyên. Đặc biệt: \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{m \cdot n}]{{{a^m}}}\).

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng :
A. \({a^{ - n}}\)xác định với mọi \(\forall a \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\};\forall n \in N\)
B. ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}};\forall a \in \mathbb{R}$
C. \({a^0} = 1;\forall a \in \mathbb{R}\)
D. \(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}};\forall a \in \mathbb{R};\forall m,n \in \mathbb{Z}\)
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 2. Tìm x để biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^{ - 2}}\) có nghĩa:
A. \(\forall x \ne \frac{1}{2}\)
B. \(\forall x > \frac{1}{2}\)
C. \(\forall x \in \left( {\frac{1}{2};2} \right)\)
D. \(\forall x \ge \frac{1}{2}\)
Biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^{ - 2}}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow 2x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}\)
Câu 3. Tìm x để biểu thức \({\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\) có nghĩa:
B. \(\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
A. $\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C. \(\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).
D. \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).
Biểu thức \({\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
Câu 4. Tìm x để biểu thức \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\) có nghĩa:
A. \(\forall x \in \mathbb{R}\)
B. Không tồn tại \(x\)
C. \(\forall x > 1\) D.\(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\rm{0}} \right\}\)
Biểu thức \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}\)
Câu 5. Cho $a \in \mathbb{R}$và $n = 2k(k \in {\mathbb{N}^*})$, \({a^n}\) có căn bậc n là :
A. a.
B. |a|.
C. - a.
D. ${a^{\frac{n}{2}}}$.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 6. Cho $a \in \mathbb{R}$và $n = 2k + 1(k \in {\mathbb{N}^*})$, \({a^n}\) có căn bậc n là :
A. ${a^{\frac{n}{{2n + 1}}}}$.
B. |a|.
C. - a.
D. a.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 7. Phương trình \({x^{2016}} = 2017\) có tập nghiệm$\mathbb{R}$trong là :
A. \({\rm{T = \{ }} \pm \sqrt[{2017}]{{2016}}{\rm{\} }}\) B \({\rm{T = \{ }} \pm \sqrt[{2016}]{{2017}}{\rm{\} }}\)
C. \({\rm{T = \{ }}\sqrt[{2016}]{{2017}}{\rm{\} }}\)
D. \({\rm{T = \{ }} - \sqrt[{2016}]{{2017}}{\rm{\} }}\)
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 8. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình \({x^{2015}} = - 2\) vô nghiệm.
B. Phương trình \({x^{21}} = 21\) có 2 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình \({x^e} = \pi \) có 1 nghiệm.
D. Phương trình \({x^{2015}} = - 2\) có vô số nghiệm.
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 9. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có một căn bậc n của số 0 là 0.
B. \( - \frac{1}{3}\) là căn bậc 5 của \( - \frac{1}{{243}}\).
C. Có một căn bậc hai của 4.
D. Căn bậc 8 của 2 được viết là \( \pm \sqrt[8]{2}\).
Áp dụng tính chất của căn bậc n
Câu 10. Tính giá trị ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}$, ta được :
A. 12
B. 16
C. 18
D. 24
Phương pháp tự luận. ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {({2^{ - 4}})^{\frac{{ - 3}}{4}}} + {\left( {{2^{ - 3}}} \right)^{\frac{{ - 4}}{3}}} = {2^3} + {2^4} = 24$
Phương pháp trắc nghiệm. Sử dụng máy tính
Câu 11. Viết biểu thức \(\sqrt {a\sqrt a } \)\(\left( {a > 0} \right)\) về dạng lũy thừa của alà.
A. \({a^{\frac{5}{4}}}\)
B. \({a^{\frac{1}{4}}}\)
C. \({a^{\frac{3}{4}}}\)
D. \({a^{\frac{1}{2}}}\)
Phương pháp tự luận. \(\sqrt {a\sqrt a } = \sqrt a .\sqrt[4]{a} = {a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{3}{4}}}\)
Phương pháp trắc nghiệm. Gán một hoặc hai giá trị để kiểm tra kết quả. Cụ thể gán \(a = 2\) rồi sử dụng máy tính kiểm tra các đáp số bằng cách xét hiệu bằng không, sau đó để an toàn chọn thêm một giá trị bất kỳ nữa, nhập vào máy tính\(\sqrt {a\sqrt a } - {a^{\frac{3}{4}}}\)được kết quả 0 suy ra A là đáp án đúng.
Câu 14. Viết biểu thức $\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}$ về dạng lũy thừa \({2^m}\) ta được \(m = ?\).
A. \( - \frac{{13}}{6}\).
B. \(\frac{{13}}{6}\).
C. \(\frac{5}{6}\).
D. $ - \frac{5}{6}$.
Phương pháp tự luận. $\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt[6]{{{2^2}}}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}} = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}} = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}$.
Câu 12. Viết biểu thức \(\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}}\,,\,\,\left( {a,b > 0} \right)\) về dạng lũy thừa \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m}\) ta được \(m = ?\).
A. \(\frac{2}{{15}}\).
B. \(\frac{4}{{15}}\).
C. \(\frac{2}{5}\).
D. \(\frac{{ - 2}}{{15}}\).
Phương pháp tự luận. $\sqrt[5]{{\frac{b}{a}\sqrt[3]{{\frac{a}{b}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{b}{a}}}.\sqrt[{15}]{{\frac{a}{b}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{1}{5}}}.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{{15}}}} = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{ - \frac{2}{{15}}}}$.
Câu 13. Cho \(a > 0\); \(b > 0\). Viết biểu thức ${a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a $ về dạng\({a^m}\) và biểu thức ${b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b $ về dạng\({b^n}\). Ta có m + n = ?
A. \(\frac{1}{3}\)
B. - 1
C. 1
D. \(\frac{1}{2}\)
Phương pháp tự luận. ${a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow m = \frac{5}{6}$;${b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b = {b^{\frac{2}{3}}}:{b^{\frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{6}}} \Rightarrow n = \frac{1}{6}$
\( \Rightarrow m + n = 1\)
Câu 14. Cho\(x > 0\);\(y > 0\). Viết biểu thức ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }}$; về dạng\({x^m}\) và biểu thức ${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }}$; về dạng\({y^n}\). Ta có \(m - n = ?\)
A. \( - \frac{{11}}{6}\)
B. \(\frac{{11}}{6}\)
C. \(\frac{8}{5}\)
D. \( - \frac{8}{5}\)
Phương pháp tự luận. ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^{\frac{4}{5}}}.{x^{\frac{5}{6}}}.{x^{\frac{1}{{12}}}} = {x^{\frac{{103}}{{60}}}} \Rightarrow m = \frac{{103}}{{60}}$
${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^{\frac{4}{5}}}:\left( {{y^{\frac{5}{6}}}.{y^{\frac{1}{{12}}}}} \right) = {y^{ - \frac{7}{{60}}}} \Rightarrow n = - \frac{7}{{60}}$\( \Rightarrow m - n = \frac{{11}}{6}\)
Câu 15. Viết biểu thức $\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} $ về dạng\({2^x}\) và biểu thức $\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}}$ về dạng\({2^y}\). Ta có \({x^2} + {y^2} = ?\)
A. \(\frac{{2017}}{{567}}\)
B. \(\frac{{11}}{6}\)
C. \(\frac{{53}}{{24}}\)
D. \(\frac{{2017}}{{576}}\)
Phương pháp tự luận.
Ta có: $\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} = \frac{{\sqrt 2 .\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[8]{{{2^3}}}}} = {2^{\frac{3}{8}}} \Rightarrow x = \frac{3}{8}$; $\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{{{2.2}^{\frac{3}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{3}}}}} = {2^{\frac{{11}}{6}}} \Rightarrow y = \frac{{11}}{6}$\( \Rightarrow \) \({x^2} + {y^2} = \frac{{53}}{{24}}\)
Câu 16. Cho $f(x) = \sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x}$khi đó $f(0,09)$bằng :
A. 0,09
B. 0,9
C. 0,03
D. 0,3
Phương pháp tự luận.
Vì \(x = 0,09 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \left( {\forall x \ge 0} \right)$$ \Rightarrow f\left( {0,09} \right) = 0,3$
Câu 17. Cho $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{\sqrt[6]{x}}}$khi đó $f\left( {1,3} \right)$ bằng:
A. 0,13.
B. 1,3.
C. 0,013.
D. 13.
Phương pháp tự luận.
Vì \(x = 1,3 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{\sqrt[6]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{2}{3}}}}}{{{x^{\frac{1}{6}}}}} = x$$ \Rightarrow f\left( {1,3} \right) = 1,3$
Câu 18. Cho $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}}$. Khi đó $f(2,7)$ bằng
A. 0,027.
B. 0,27.
C. 2,7.
D. 27.
Phương pháp tự luận.
Vì \(x = 2,7 > 0\) nên ta có: $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{4}}}.{x^{\frac{5}{{12}}}} = x$$ \Rightarrow f\left( {2,7} \right) = 2,7$.
Câu 19. Đơn giản biểu thức $\sqrt {81{a^4}{b^2}} $, ta được:
A. $ - 9{a^2}\left| b \right|$.
B. $9{a^2}\left| b \right|$.
C. $9{a^2}b$.
D. $3{a^2}\left| b \right|$.
Phương pháp tự luận. $\sqrt {81{a^4}{b^2}} = \sqrt {{{\left( {9{a^2}b} \right)}^2}} = \left| {9{a^2}b} \right| = 9{a^2}\left| b \right|$.
Câu 20. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({a^{\sqrt 3 }} > {a^{\sqrt 7 }}\)
A. a < 1.
B. 0 < a < 1.
C. a > 1.
D. 1 < a < 2.
Do \(\sqrt 3 < \sqrt 7 \) và số mũ không nguyên \( \Rightarrow {a^{\sqrt 3 }} > {a^{\sqrt 7 }}\) $ \Leftrightarrow 0 < a < 1$.
Câu 21. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({a^{ - \frac{1}{{17}}}} > {a^{ - \frac{1}{8}}}\)
A. a > 1.
B. a < 1.
C. 0 < a < 1.
D. 1 < a < 2.
Do \( - \frac{1}{{17}} > - \frac{1}{8}\) và số mũ không nguyên nên \({a^{ - \frac{1}{{17}}}} > {a^{ - \frac{1}{8}}}\) khi a > 1.
Câu 22. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({a^{ - 0,25}} > {a^{ - \sqrt 3 }}\)
A. 1 < a < 2.
B. a < 1.
C. 0 < a < 1.
D. a > 1.
Do \( - 0,25 > - \sqrt 3 \) và số mũ không nguyên nên \({a^{ - 0,25}} > {a^{ - \sqrt 3 }}\) khi a > 1.
Câu 23. Rút gọn biểu thức \(\frac{{\frac{{{a^{1,5}} + {b^{1,5}}}}{{{a^{0,5}} + {b^{0,5}}}} - {a^{0,5}}{b^{0,5}}}}{{{a^{0.5}} - {b^{0.5}}}}\) ta được :
A. a + b.
B. $\sqrt a - \sqrt b $.
C. $\sqrt a + \sqrt b $.
D. a - b.
\(\frac{{\frac{{{a^{1,5}} + {b^{1,5}}}}{{{a^{0,5}} + {b^{0,5}}}} - {a^{0,5}}{b^{0,5}}}}{{{a^{0.5}} - {b^{0.5}}}} = \frac{{\frac{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^3}}}{{\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} }}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \frac{{\sqrt a - 2\sqrt {ab} + \sqrt b }}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \sqrt a - \sqrt b \)
Câu 24. Đơn giản biểu thức $\sqrt[4]{{{x^8}{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}$, ta được:
A. ${x^2}\left( {x + 1} \right)$.
B. $ - {x^2}\left( {x + 1} \right)$
C. ${x^2}\left( {x - 1} \right)$.
D. ${x^2}\left( {x + 1} \right)$.
Phương pháp tự luận. $\sqrt[4]{{{x^8}{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \left| {{x^2}\left( {x + 1} \right)} \right| = {x^2}\left| {x + 1} \right|$.
Câu 25. Đơn giản biểu thức $\sqrt[3]{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^9}}}$, ta được:
A. $ - x{\left( {x + 1} \right)^3}$.
B. $x{\left( {x + 1} \right)^3}$.
C. $\left| {x{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right|$.
D. $x\left| {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right|$.
Phương pháp tự luận. $\sqrt[3]{{{x^3}{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {x{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right)}^3}}} = x{\left( {x + 1} \right)^3}$
Câu 26. Khẳng định nào sau đây đúng
A. ${a^0} = 1\forall a$.
B. ${a^2} > 1 \Leftrightarrow a > 1$.
C. $2\sqrt 3 < 3\sqrt 2 $.
D. ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 1}} < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}$.
Đáp án A và B sai do áp dụng trực tiếp lí thuyết.
Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và D.
Câu 27. Nếu \({\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)^{a + 2}} < 2\sqrt 3 - 1\) thì
A. $a < - 1$.
B. a < 1.
C. a > - 1.
D. $a \ge - 1$.
Do \(2\sqrt 3 - 1 > 1\)nên \({\left( {2\sqrt 3 - 1} \right)^{a + 2}} < 2\sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow a + 2 < 1 \Leftrightarrow a < - 1\)
Câu 28. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. ${\left( {0,01} \right)^{ - \sqrt 2 }} > {\left( {{\rm{10}}} \right)^{ - \sqrt 2 }}$. B.${\left( {0,01} \right)^{ - \sqrt 2 }} < {\left( {{\rm{10}}} \right)^{ - \sqrt 2 }}$.
C. ${\left( {0,01} \right)^{ - \sqrt 2 }} = {\left( {{\rm{10}}} \right)^{ - \sqrt 2 }}$. D.\({a^0} = 1,\forall a \ne 0\).
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
Câu 29. Trong các khẳng định sau đây , khẳng định nào đúng?
A. ${\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} < {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}$.
B. ${\left( {\sqrt {11} - \sqrt 2 } \right)^6} > {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 2 } \right)^7}$.
C. ${\left( {4 - \sqrt 2 } \right)^3} < {\left( {4 - \sqrt 2 } \right)^4}$.
D. ${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^4} < {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^5}$.
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
Câu 30. Nếu \({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{2m - 2}} < \sqrt 3 + \sqrt 2 \) thì
A. $m > \frac{3}{2}$.
B. $m < \frac{1}{2}$.
C. $m > \frac{1}{2}$.
D. $m \ne \frac{3}{2}$.
Ta có \(\sqrt 3 + \sqrt 2 = \frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} \Rightarrow \)\({\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{2m - 2}} < {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow 2m - 2 > - 1 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\)
Câu 31. Cho n nguyên dương$\left( {n \ge 2} \right)$ khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a > 0$.
B. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a \ne 0$.
C. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a \ge 0$.
D. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$$\forall a \in \mathbb{R}$.
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 32. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. $\sqrt {ab} = \sqrt a \sqrt b $$\forall a,b$.
B. $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} \ge 0$$\forall a$,n nguyên dương$\left( {n \ge 1} \right)$.
C. $\sqrt[{2n}]{{{a^{2n}}}} = \left| a \right|$$\forall a$,n nguyên dương$\left( {n \ge 1} \right)$.
D. $\sqrt[4]{{{a^2}}} = \sqrt a $$\forall a \ge 0$.
Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 33. Cho $a > 0,b < 0$, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = ab$.
B. $\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = ab$.
C. $\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| {ab} \right|$.
D. $\sqrt {{a^4}{b^2}} = - {a^2}b$.
Áp dụng tính chất căn bâc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 34. Tìm điều kiện của a để khẳng định \(\sqrt {{{(3 - a)}^2}} = a - 3\) là khẳng định đúng ?
A. $\forall a \in \mathbb{R}$.
B. $a \le 3$.
C. a > 3.
D. $a \ge 3$.
Ta có \(\sqrt {{{(3 - a)}^2}} = \left| {a - 3} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}neu\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}a \ge 3\\ - a + 3\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}neu\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}a < 3\end{array} \right.\)
Câu 35. Cho a là số thực dương, $m,n$ tùy ý. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai ?
A ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$.
B. $\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}$.
C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m + n}}$.
D. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$.
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án C là đáp án chính xác.
Câu 36. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}} > {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\)
A. 1 < a < 2.
B. a < 1.
C. a > 1.
D. 0 < a < 1.
Do \(\frac{1}{2} > - \frac{1}{2}\) và số mũ không nguyên \( \Rightarrow {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}} > {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\) $ \Leftrightarrow \frac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1$.
Câu 37. Nếu ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{6}}}$và ${b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }}$thì :
A. a < 1;0 < b < 1.
B. a > 1;b < 1.
C. 0 < a < 1;b < 1.
D. a > 1;0 < b < 1.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} > \frac{1}{6}\\{a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{6}}}\end{array} \right. \Rightarrow a > 1\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 < \sqrt 3 \\{b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Rightarrow 0 < b < 1\)
Vậy đáp án D đúng.
Câu 38. Nếu ${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \sqrt 3 + \sqrt 2 $thì
A. $\forall x \in \mathbb{R}$.
B. $x < 1$.
C. $x > - 1$.
D. $x < - 1$.
Vì $\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right).\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right) = 1$$ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right) = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}$nên
${\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \sqrt 3 + \sqrt 2 $$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > \frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}$$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^x} > {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^{ - 1}}$.
Mặt khác $0 < \sqrt 3 - \sqrt 2 < 1$ $ \Rightarrow $$x < - 1$. Vậy đáp án A là chính xác.
Câu 39. Với giá trị nào của a thì phương trình ${2^{a{x^2} - 4x - 2a}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{ - 4}}}}$có hai nghiệm thực phân biệt.
A. $a \ne 0$
B. $\forall a \in \mathbb{R}$
C. $a \ge 0$
D. a > 0
Ta có ${2^{a{x^2} - 4x - 2a}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{ - 4}}}}$(*)$ \Leftrightarrow {2^{a{x^2} - 4x - 2a}} = {2^2} \Leftrightarrow a{x^2} - 4x - 2a = 2$$ \Leftrightarrow a{x^2} - 4x - 2\left( {a + 1} \right) = 0$
PT (*) có hai nghiệm phân biệt $a{x^2} - 4x - 2\left( {a + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\2{a^2} + 2a + 4 > o\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow a \ne 0$
Vậy đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 40. Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau:
A. ${\left( { - 3} \right)^{ - 4}}$.
B. ${\left( { - 3} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$.
C. ${0^4}$.
D. ${\left( {\frac{1}{{{2^{ - 3}}}}} \right)^0}$.
Vì \( - \frac{1}{3} \notin \mathbb{R}\) nên ${\left( { - 3} \right)^{ - \frac{1}{3}}}$không có nghĩa. Vậy đáp án B đúng.
Câu 41. Đơn giản biểu thức $P = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}$được kết quả là
A. ${a^{\sqrt 2 }}$.
B. ${a^{2\sqrt 2 - 1}}$.
C. ${a^{1 - \sqrt 2 }}$.
D. a.
$P = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2 + 1}} = {a^{\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}} = a$. Vậy đáp án D đúng.
Câu 42. Biểu thức ${\left( {a + 2} \right)^\pi }$có nghĩa với :
A. a > - 2
B. $\forall a \in \mathbb{R}$
C. a > 0
D. a < - 2
${\left( {a + 2} \right)^\pi }$có nghĩa khi \(a + 2 > 0 \Leftrightarrow a > - 2\). Vậy đáp án A đúng.
Câu 43. Cho$n \in N;n \ge 2$ khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a \ne 0$.
B. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a > 0$.
C. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a \ge 0$.
D. ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$,$\forall a \in \mathbb{R}$.
Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a
Câu 44. Cho $a > 0,b < 0$, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = ab$
B. $\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = ab$
C. $\sqrt {{a^2}{b^2}} = \left| {ab} \right|$
D. $\sqrt {{a^2}{b^4}} = a{b^2}$
Do $a > 0,b < 0$nên $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = \sqrt[4]{{{{(ab)}^4}}} = \left| {ab} \right| = - ab$. Đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 45. So sánh hai số M và n nếu \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n}\)
A. m > n.
B. m = n.
C. m < n.
D. Không so sánh được.
Do \(0 < \sqrt 2 - 1 < 1\) nên \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n\).
Câu 46. Nếu ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{6}}}$và${b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }}$thì
A. a > 1;0 < b < 1
B. a > 1;b < 1
C. 0 < a < 1;b < 1
D. a < 1;0 < b < 1
Do $\frac{1}{2} > \frac{1}{6}$nên ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{6}}} \Rightarrow a > 1$.
Vì $\sqrt 2 < \sqrt 3 $nên ${b^{\sqrt 2 }} > {b^{\sqrt 3 }} \Rightarrow 0 < b < 1$vậy đáp án A là đáp án chính xác.
Câu 47. Choa,$b$là các số dương. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}.{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}.{b^6}} }}}}\) được kết quả là :
A. $a{b^2}$.
B. ${a^2}b$.
C. $ab$.
D. ${a^2}{b^2}$.
\(P = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}.{b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}.{b^6}} }}}} = \frac{{{a^3}.{b^2}}}{{\sqrt[6]{{{a^{12}}.{b^6}}}}} = \frac{{{a^3}.{b^2}}}{{{a^2}.b}} = ab\). Vậy đáp án C là chính xác.
Câu 48. Cho ${3^{\left| \alpha \right|}} < 27$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\left[ \begin{array}{l}\alpha < - 3\\\alpha > 3\end{array} \right.$.
B. $\alpha > 3$.
C. $\alpha < 3$.
D. $ - 3 < \alpha < 3$.
Ta có ${3^{\left| \alpha \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha \right| < 3 \Leftrightarrow - 3 < \alpha < 3$. Vậy đáp án D là đáp án chính xác.
Câu 49. Giá trị của biểu thức $A = {\left( {a + 1} \right)^{ - 1}} + {\left( {b + 1} \right)^{ - 1}}$với $a = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}$ và $b = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}$
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 4.
$A = {\left( {a + 1} \right)^{ - 1}} + {\left( {b + 1} \right)^{ - 1}} = {\left( {2 + \sqrt 3 + 1} \right)^{ - 1}} + {\left( {2 - \sqrt 3 + 1} \right)^{ - 1}}$$ = \frac{1}{{3 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 3 }}$$ = 1$
Vậy đáp án C là đáp án chính xác.
LŨY THỪA VẬN DỤNG
Câu 50. Biết ${4^x} + {4^{ - x}} = 23$ tính giá trị của biểu thức $P = {2^x} + {2^{ - x}}$ :
A. \(5\).
B. $\sqrt {27} $.
C. \(\sqrt {23} \).
D. \(25\).
.
Do ${2^x} + {2^{ - x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$
Nên ${2^x} + {2^{ - x}} = \sqrt {{{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2}\,} = \sqrt {{2^{2x}} + 2 + {2^{ - 2x}}} = \sqrt {{4^x} + {4^{ - x}} + 2} = \sqrt {23 + 2} = 5$.
Câu 51. Cho a là số thực dương. Biểu thức \(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}}\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
A. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
B. \({a^{\frac{2}{3}}}\).
C. \({a^{\frac{3}{4}}}\).
D. \({a^{\frac{4}{3}}}\).
.
\(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}} = \sqrt[4]{{{a^{\frac{8}{3}}}}} = {\left( {{a^{\frac{8}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\) hoặc \(\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{{a^8}}}}} = \sqrt[{12}]{{{a^8}}} = {a^{\frac{8}{{12}}}} = {a^{\frac{2}{3}}}\)
Câu 52. Cho \(x\) là số thực dương. Biểu thức \(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}}\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
A. \({x^{\frac{7}{{12}}}}\).
B. \({x^{\frac{5}{6}}}\).
C. \({x^{\frac{{12}}{7}}}\).
D. \({x^{\frac{6}{5}}}\).
.
\(\sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}} = \sqrt[4]{{{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}}} = \sqrt[4]{{{x^{\frac{7}{3}}}}} = {\left( {{x^{\frac{7}{3}}}} \right)^{\frac{1}{4}}}\, = {x^{\frac{7}{{12}}}}\).
Câu 53. Cho b là số thực dương. Biểu thức \(\frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}}\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
A. – 2.
B. – 1.
C. 2.
D. 1.
.
\(\frac{{\sqrt[5]{{{b^2}\sqrt b }}}}{{\sqrt[3]{{b\sqrt b }}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^2}{b^{\frac{1}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{b{b^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{\sqrt[5]{{{b^{\frac{5}{2}}}}}}}{{\sqrt[3]{{{b^{\frac{3}{2}}}}}}} = \frac{{{{\left( {{b^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{5}}}}}{{{{\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\, = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}}}} = 1\)
Câu 54. Cho \(x\) là số thực dương. Biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
A. \({x^{\frac{{256}}{{255}}}}\).
B. \({x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
C. \({x^{\frac{{127}}{{128}}}}\).
D. \({x^{\frac{{128}}{{127}}}}\).
Cách 1: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{1}{2}}}} } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } \)\( = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Nhận xét: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } = {x^{\frac{{{2^8} - 1}}{{{2^8}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Ta nhẩm \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =.
Câu 55. Cho hai số thực dương a và \(b\). Biểu thức \(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{\frac{b}{a}\sqrt {\frac{a}{b}} }}}}\) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
A. \({x^{\frac{7}{{30}}}}\).
B. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{{31}}{{30}}}}\).
C. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{{30}}{{31}}}}\).
D. \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{6}}}\).
\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{\frac{b}{a}\sqrt {\frac{a}{b}} }}}} = \)\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{\frac{a}{b}{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{{ - 1}}{6}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{5}{6}}}}} = \)\(\sqrt[5]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{\frac{5}{6}}}}} = \)\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^{\frac{1}{6}}}\)
Câu 56. Cho các số thực dương a và \(b\). Rút gọn biểu thức \(P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}}} \right)\,\)được kết quả là:
A. a - b.
B. \(a - {b^2}\).
C. b - a.
D. \({a^3} - {b^3}\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{2}{3}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{\frac{1}{3}}}.{b^{\frac{2}{3}}} + {b^{\frac{4}{3}}}} \right)\, = {\left( {{a^{\frac{1}{3}}}} \right)^3} - {\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^3} = a - {b^2}$
Câu 57. Cho các số thực dương a và \(b\). Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)được kết quả là:
A. \(\sqrt[4]{b}\).
B. \(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}\).
C. b - a.
D. \(\sqrt[4]{a}\).
$P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$.
\( = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,\,}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)\( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}\).
Câu 58. Cho các số thực dương a và \(b\). Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,\)được kết quả là:
A. - 1 .
B. 1.
C. 2 .
D. - 2.
$P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3}\, + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right]\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}$
$ = \left\{ {\frac{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2}} \right]\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right\}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = \left[ {{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{ab}} + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{ab}}} \right]\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = 1$
Câu 59. Cho các số thực dương a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}\) là
A. 0 .
B. - 1 .
C. 1.
D. - 2.
$P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = 0$
Câu 60. Cho số thực dương a. Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\)là:
A. 1.
B. \(a + 1\).
C. \(2a\).
D. a.
\(P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a(a + 1)}}{{a + 1}} = a\)
Câu 61. Cho \(a > 0,b > 0\). Biểu thức thu gọn của biểu thức $P = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)$là:
A. \(\sqrt[{10}]{a} - \sqrt[{10}]{b}\).
B. \(\sqrt a - \sqrt b \).
C. a - b.
D. \(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left[ {{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}\, - {{\left( {{b^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}} \right] \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {{a^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{2}}}} \right)$
$ = {\left( {{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = a - b$.
Câu 62. Cho \(a > 0,b > 0\).Biểu thức thu gọn của biểu thức $P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)$là:
A. \(\sqrt[3]{{ab}}\).
B. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).
C. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^3}\,}}\).
D. \(\,\sqrt[3]{{ab}}\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {\frac{{2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}} \right)\,$$\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\,\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}} = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right) \cdot \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} \cdot $
Câu 63. Cho\(a > 0,b > 0\)và $a \ne b$. Biểu thức thu gọn của biểu thức $P = \frac{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}}$ là:
A. $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.
B. $\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}$.
C. $\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}$.
D. $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$.
$P = \frac{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[6]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[6]{b}} \right)}^2}\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \right)\,\left( {\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$
Câu 64. So sánh hai số M và n nếu \(3,{2^m} < 3,{2^n}\) thì:
A. m > n.
B. m = n.
C. m < n.
D. Không so sánh được.
Do \(3,2 > 1\) nên \(3,{2^m} < 3,{2^n} \Leftrightarrow m < n\).
Câu 65. So sánh hai số M và n nếu \({\left( {\sqrt 2 } \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 } \right)^n}\)
A m > n.
B. m = n.
C. m < n.
D. Không so sánh được.
Do \(\sqrt 2 > 1\) nên \({\left( {\sqrt 2 } \right)^m} < {\left( {\sqrt 2 } \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
Câu 66. So sánh hai số M và n nếu \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^m} > {\left( {\frac{1}{9}} \right)^n}\)
A. Không so sánh được.
B. m = n.
C. m > n.
D. m < n.
Do \(0 < \frac{1}{9} < 1\) nên \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^m} > {\left( {\frac{1}{9}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
Câu 67. So sánh hai số M và n nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\)
A. m < n.
B. m = n.
C. m > n.
D. Không so sánh được.
Do \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
Câu 68. So sánh hai số M và n nếu \({\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^n}\)
A. m = n.
B. m < n.
C. m > n.
D. Không so sánh được.
Do \(\sqrt 5 - 1 > 1\) nên \({\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m < n\).
Câu 69. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({(a - 1)^{ - \frac{2}{3}}} < {(a - 1)^{ - \frac{1}{3}}}\)
A. a > 2.
B. a > 0.
C. a > 1.
D. 1 < a < 2.
Do \( - \frac{2}{3} < - \frac{1}{3}\) và số mũ không nguyên nên \({(a - 1)^{ - \frac{2}{3}}} < {(a - 1)^{ - \frac{1}{3}}}\) khi \(a - 1 > 1 \Leftrightarrow a > 2\).
Câu 70. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({(2a + 1)^{ - 3}} > {(2a + 1)^{ - 1}}\)
A. $\left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} < a < 0\\a < - 1\end{array} \right.$.
B. $ - \frac{1}{2} < a < 0$.
C. $\left[ \begin{array}{l}0 < a < 1\\a < - 1\end{array} \right.$.
D. $a < - 1$.
Do \( - 3 < - 1\) và số mũ nguyên âm nên ${(2a + 1)^{ - 3}} > {(2a + 1)^{ - 1}}$ khi $\left[ \begin{array}{l}0 < 2a + 1 < 1\\2a + 1 < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{2} < a < 0\\a < - 1\end{array} \right.$.
Câu 71. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \({\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - 0,2}} < {a^2}\)
A. 0 < a < 1.
B. a > 0.
C. a > 1.
D. a < 0.
\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^{ - 0,2}} < {a^2} \Leftrightarrow {a^{0,2}} < {a^2}\)
Do \(0,2 < 2\) và có số mũ không nguyên nên ${a^{0,2}} < {a^2}$khi a > 1.
Câu 72. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \(\left( {1 - a} \right){\,^{ - \frac{1}{3}}} > \left( {1 - a} \right){\,^{ - \frac{1}{2}}}\)
A. a < 1.
B. a > 0.
C. 0 < a < 1.
D. a > 1.
Do \( - \frac{1}{3} > - \frac{1}{2}\) và số mũ không nguyên \( \Rightarrow \left( {1 - a} \right){\,^{ - \frac{1}{3}}} > \left( {1 - a} \right){\,^{ - \frac{1}{2}}}\) $ \Leftrightarrow a > 1$.
Câu 73. Kết luận nào đúng về số thực a nếu \(\left( {2 - a} \right){\,^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2}\)
A. a > 1.
B. 0 < a < 1.
C. 1 < a < 2.
D. a < 1.
Do \(\frac{3}{4} < 2\) và có số mũ không nguyên \( \Rightarrow \left( {2 - a} \right){\,^{\frac{3}{4}}} > {\left( {2 - a} \right)^2}\) $ \Leftrightarrow 0 < 2 - a < 1 \Leftrightarrow - 2 < - a < - 1 \Leftrightarrow 2 > a > 1$
Câu 74. Rút gọn biểu thức $\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x{y^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}y}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x{y^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}y}}} \right).\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}}}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}}$ được kết quả là:
A. y - x.
B. x + y.
C. 2.
D. $\frac{2}{{\sqrt {xy} }}$.
$\begin{array}{l}\left( {\frac{{{x^{\frac{1}{2}}} - {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x{y^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}y}} + \frac{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}}{{x{y^{\frac{1}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}y}}} \right).\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}}}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}} = \left( {\frac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{x\sqrt y + y\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{x\sqrt y - y\sqrt x }}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3}\sqrt y }}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}}\\ = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3}\sqrt y }}{{x + y}} - \frac{{2y}}{{x - y}} = \frac{2}{{x - y}}.x - \frac{{2y}}{{x - y}} = 2\\\end{array}$
Câu 75. Biểu thức $f\left( x \right) = {({x^2} - 3x + 2)^{ - 3}} - 2\sqrt x $ xác định với :
A.$\forall x \in (0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1;2\} $. B.$\forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )$ .
C.$\forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1;2\} $.
D. $\forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1\} $.
$f\left( x \right) = {({x^2} - 3x + 2)^{ - 3}} - 2\sqrt x $ xác định $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \ne 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 1\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall x \in {\rm{[}}0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1;2\} $
Câu 76. Biểu thức $f\left( x \right) = {\left( {\frac{{4x - 3{x^2}}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \right)^{\frac{{ - 2}}{3}}}$ xác định khi:
A.$x \in \left[ { - 1; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]$. B.$x \in ( - \infty ; - 1) \cup \left( { - \frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right)$.
C.$x \in \left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {0;\frac{4}{3}} \right)$.
D. $x \in \left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)$.
$f\left( x \right) = {\left( {\frac{{4x - 3{x^2}}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \right)^{\frac{{ - 2}}{3}}}$ xác định khi $\frac{{4x - 3{x^2}}}{{2{x^2} + 3x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \forall x \in ( - 1; - \frac{1}{2}) \cup (0;\frac{4}{3})$
Câu 77. Biểu thức $f\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right)^{\frac{1}{4}}}$ chỉ xác định với :
A. $x \in \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$. B.$x \in \left( { - \infty ;1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {1;1 + \sqrt 3 } \right)$.
C.$x \in \left( {1 - \sqrt 3 ;1} \right)$. D.$x \in \left( {1 - \sqrt 3 ;1} \right) \cup \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$.
$f\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right)^{\frac{1}{4}}}$ xác định khi ${x^3} - 3{x^2} + 2 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \left( {1 - \sqrt 3 ;1} \right) \cup \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$
Câu 78. Biểu thức ${\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = 1$ với :
A.$x = 2$. B.$x = 3$. C.$x = 2;x = 3$.
D. Không tồn tại $x$.
${\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}}$ xác định $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$
Khi đó ${\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^{{x^2} - 5x + 6}} = {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {loai} \right)\\x = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$
Câu 79. Với giá trị nào của x thì \({({x^2} + 4)^{x - 5}} > {\left( {{x^2} + 4} \right)^{5x - 3}}\)
A. $x > - \frac{1}{2}$.
B. $x < \frac{1}{2}$. C.$x < - \frac{1}{2}$.
D. $x > \frac{1}{2}$.
\({({x^2} + 4)^{x - 5}} > {\left( {{x^2} + 4} \right)^{5x - 3}}\) xác định $\forall x \in \mathbb{R}$
Khi đó ${x^2} + 4 > 1\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {({x^2} + 4)^{x - 5}} > {\left( {{x^2} + 4} \right)^{5x - 3}} \Leftrightarrow x - 5 > 5x - 3 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$
Câu 80. Cho \({\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) khi đó
A.a > 2.
B. a < 1.
C. a > 1.
D. a < 2.
Do $ - \frac{2}{3} < - \frac{1}{3}$\( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} < {\left( {a - 1} \right)^{ - \frac{1}{3}}} \Leftrightarrow a - 1 > 1 \Leftrightarrow a > 2\)
Câu 81. Cho \(a = 1 + {2^{ - x}}\), \(b = 1 + {2^x}\). Biểu thức biểu diễn b theo a là:
A. \(\frac{{a - 2}}{{a - 1}}\).
B. \(\frac{{a - 1}}{a}\).
C. \(\frac{{a + 2}}{{a - 1}}\).
D. \(\frac{a}{{a - 1}}\).
Ta có: \(a = 1 + {2^{ - x}} > 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({2^x} = \frac{1}{{a - 1}}\)
Do đó: \(b = 1 + \frac{1}{{a - 1}} = \frac{a}{{a - 1}} \cdot \)
Câu 82. Cho số thực dương a. Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}}\) là:
A. a.
B. a + 1.
C. 2a.
D. 1.
\(P = \frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ - \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ - \frac{1}{4}}}} \right)}} = \frac{{a + {a^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a(a + 1)}}{{a + 1}} = a \cdot \)
Câu 83. Cho các số thực dương a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức $P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$ có dạng là$P = xa + yb$. Tính \(x + y?\)
A. x + y = 97.
B. x + y = - 65.
C. x - y = 56.
D. y - x = - 97.
Ta có: $P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) = \left( {{{\left( {2{a^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}\, - {{\left( {3{b^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}\,} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$
$ = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} - 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$$ = {\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = 16a - 81b$.
Do đó: \(x = 16,y = - 81\).
Câu 84. Cho các số thực dương phân biệt a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức $P = \frac{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}}$ là:
A. $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.
B. $\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}$.
C. $\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}$.
D. $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$.
$P = \frac{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[6]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[6]{b}} \right)}^2}\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \frac{{\left( {\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} \right)\,\left( {\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} \cdot $
Câu 85. Cho các số thực dương a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}\) là:
A. - 2.
B. - 1 .
C. 1.
D. 0 .
$P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{b^{\frac{1}{6}}} + {a^{\frac{1}{6}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {\left( {ab} \right)^{\frac{1}{3}}} = 0$
Câu 86. Cho các số thực dương a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức
\(P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,\)
A. - 1 .
B. 1.
C. 2 .
D. - 2.
$P = \left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a}} \right)}^3}\, + {{\left( {\sqrt[3]{b}} \right)}^3}\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}$
$ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\left( {{{\sqrt[3]{a}}^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + {{\sqrt[3]{b}}^2}} \right)\,}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = \left( {{{\sqrt[3]{a}}^2} - \sqrt[3]{{ab}} + {{\sqrt[3]{b}}^2} - \sqrt[3]{{ab}}} \right)\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,$$ = {\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\,:{\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)^2}\, = 1$
Câu 87. Cho các số thực dương a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right)$
A. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^3}}}\).
B. \(\sqrt[3]{{ab}}\).
C. \(\frac{{\sqrt[3]{{ab}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).
D. \(\,\sqrt[3]{{ab}}\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,\).
$P = \left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right):\left( {2 + \sqrt[3]{{\frac{a}{b}}} + \sqrt[3]{{\frac{b}{a}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} + \frac{{\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a}}}} \right)\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\left( {\frac{{2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}} \right)\,$$\, = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\,:\,\frac{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}} = \left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right) \cdot \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} \cdot $
Câu 88. Cho số thực dương \(x\). Biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ có dạng \({x^{\frac{a}{b}}}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a và b là:
A. a + b = 509.
B. a + 2b = 767.
C. 2a + b = 709.
D. 3a - b = 510.
Cách 1: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{1}{2}}}} } } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \)\( = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \)
\( = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \)\( = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} } \)\( = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \)\( = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\). Do đó \(a = 255,\,b = 256\).
Nhận xét: \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } = {x^{\frac{{{2^8} - 1}}{{{2^8}}}}} = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\).
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Nhẩm \(\sqrt x = {x^{\frac{1}{2}}}\). Ta nhập màn hình 1a2=(M+1)1a2
Sau đó nhấn 7 lần (bằng với số căn bậc hai còn lại chưa xử lý) phím =. Chọn đáp án A.
Câu 89. Cho các số thực dương phân biệt a và \(b\). Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\) có dạng \(P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}\). Khi đó biểu thức liên hệ giữa M và n là:
A. 2m - n = - 3.
B. m + n = - 2.
C. m - n = 0.
D. m + 3n = - 1.
$P = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a} + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^2}\, - {{\left( {\sqrt[4]{b}} \right)}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}$.
\( = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,\,}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\,}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\)\( = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}\).
Do đó \(m = - 1;\,n = 1\).
Câu 90. Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}},(a > 0,a \ne \pm 1),\) có dạng \(P = \frac{m}{{a + n}} \cdot \) Khi đó biểu thức liên hệ giữa M và n là:
A. m + 3n = - 1.
B. m + n = - 2
C. m - n = 0
D. 2m - n = 5
\(P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\)
\( = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a - 1}}} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{2}{{a - 1}} \cdot \)
Do đó \(m = 2;\,n = - 1\).
Câu 91. Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $0,65\% /$tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là:
A. ${(2,0065)^{24}}$ triệu đồng.
B. ${(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
C. $2.{(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
D. $2.{(2,0065)^{24}}$ triệu đồng.
Gọi số tiền gửi vào vào là M đồng, lãi suất là r/tháng.
 Cuối tháng thứ nhất: số tiền lãi là: Mr. Khi đó số vốn tích luỹ đượclà:
${T_1} = M + Mr = M(1 + r)$.
 Cuối tháng thứ hai: số vốn tích luỹ được là:
${T_2} = {T_1} + {T_1}r = {T_1}(1 + r) = M(1 + r)(1 + r) = M{(1 + r)^2}$.
\( \cdots \)
 Tương tự, cuối tháng thứ n: số vốn tích luỹ đượclà: ${T_n} = M{(1 + r)^n}$.
Áp dụng công thức trên với \(M = 2,\) \(r = 0,0065,\) \(n = 24\), thì số tiền người đó lãnh được sau 2 năm (24 tháng) là: ${T_{24}} = 2.{(1 + 0,0065)^{24}} = 2.{(1,0065)^{24}}$ triệu đồng.
Câu 92. Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(0,7\% /\)tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là:
A. 3 triệu 600 ngàn đồng.
B. 3 triệu 800 ngàn đồng.
C. 3 triệu 700 ngàn đồng.
D. 3 triệu 900 ngàn đồng.
Áp dụng công thức trên với \({T_n} = 5\), \(r = 0,007,\) \(n = 36\), thì số tiền người đó cần gửi vào ngân hàng trong 3 năm (36 tháng) là: $M = \frac{{{T_n}}}{{{{(1 + r)}^n}}} = \frac{5}{{{{\left( {1,007} \right)}^{36}}}} \approx 3,889636925$ triệu đồng.
Câu 93. Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất \(0,7\% /\)tháng. Sau sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên \(0,9\% /\)tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống \(0,6\% /\)tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác An rút được số tiền là (biết trong khoảng thời gian này bác An không rút tiền ra):
A. \( \approx 5436521,164\) đồng.
B. \( \approx 5468994,09\) đồng.
C. \( \approx 5452733,453\) đồng.
D. \( \approx 5452771,729\) đồng.
Số vốn tích luỹ của bác An sau \(6\) tháng gửi tiền với lãi suất \(0,7\% /\)tháng là:
\({T_1} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}\) triệu đồng;
Số vốn tích luỹ của bác An sau 9 tháng gửi tiền (3 tháng tiếp theo với lãi suất \(0,9\% /\)tháng) là:
\({T_2} = {T_1}.{\left( {1,009} \right)^3} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}.{\left( {1,009} \right)^3}\) triệu đồng;
Do đó số tiền bác An lãnh được sau 1 năm (12 tháng) từ ngân hàng (3 tháng tiếp theo sau đó với lãi suất \(0,6\% /\)tháng) là:
\(T = {T_2}.{\left( {1,006} \right)^3} = 5.{\left( {1,007} \right)^6}.{\left( {1,009} \right)^3}.{\left( {1,006} \right)^3}\) triệu đồng\( \approx 5452733,453\) đồng.
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...