Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Tính Chất Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
B. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} .\)
C. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx}\)
D. \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)

Ta có \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}\) (1)
Xét tích phân \(A = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} ,\) đặt \(x = - t \Rightarrow t = - x.\)
Khi \(x = - 2 \Rightarrow t = 2;{\rm{ }}x = 0 \Rightarrow t = 0.\) Do đó \(A = - \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)d\left( { - t} \right)} = \int\limits_0^2 {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} .\)
Thế vào (1) ta được \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( { - x} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} .\)