I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
1. ĐỊNH NGHĨA
Với mỗi góc α (0$^0$ ≤ α ≤ 180$^0$), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx = α. Giả sử điểm M có toạ độ (x, y). Khi đó:
Ta có: sinα = y, cosα = x, tanα = $\frac{y}{x}$ = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, cotα = $\frac{x}{y}$ = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
3. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ kí hiệu là $\vec a$.$\vec b$ là một số thực được xác định bởi:
$\vec a$.$\vec b$ = |$\vec a$|.|$\vec b$|.cos($\vec a$,$\vec b$).
Từ định nghĩa với $\vec a$, $\vec b$ ≠ $\overrightarrow 0 $ ta có các kết quả:
3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Với mọi vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\overrightarrow c $ và với mọi số thực k ta đều có :
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: $\frac{a}{{\sin A}}$ = $\frac{b}{{\sin B}}$ = $\frac{c}{{\sin C}}$ = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
3. TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI CẠNH VÀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường trung tuyến tương ứng là m$_a$, m$_b$, m$_c$, ta có:
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường cao tương ứng là h$_a$, h$_b$, h$_c$, ta có:
1. ĐỊNH NGHĨA
Với mỗi góc α (0$^0$ ≤ α ≤ 180$^0$), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx = α. Giả sử điểm M có toạ độ (x, y). Khi đó:
- Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.
- Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.
- Tỉ số $\frac{y}{x}$ (với x ≠ 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.
- Tỉ số $\frac{x}{y}$ (với y ≠ 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.
Ta có: sinα = y, cosα = x, tanα = $\frac{y}{x}$ = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$, cotα = $\frac{x}{y}$ = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
a. sin(180$^0$ - α) = sinα.
b. cos(180$^0$ - α) = cosα.
c. tan(180$^0$ - α) = - tanα.
d. cot(180$^0$ - α) = - cotα.
Hàm số lượng giác của hai góc phụ nhaua. sin(90$^0$ - α) = cosα.
b. cos(90$^0$ - α) = sinα.
c. tan(90$^0$ - α) = cotα.
d. cot(90$^0$ - α) = tanα.
2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT3. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a. Sin$^2$α + cos$^2$α = 1.
b. tanα = $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ và cotα = $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$.
c. tanα.cotα = 1.
d. $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ = 1 + tan$^2$α và $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ = 1 + cot$^2$α.
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
- Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ ($\vec a$, $\vec b$ ≠ $\overrightarrow 0 $). Từ điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ $\overrightarrow {OA} $ = $\vec a$ và $\overrightarrow {OB} $ = $\vec b$. Khi đó: Số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$, hoặc góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.
- Ta thấy ngay việc xác định góc giữa hai vectơ không phụ thuộc vào việc chọn điểm O, do đó góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được kí hiệu là ($\vec a$, $\vec b$).
2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ kí hiệu là $\vec a$.$\vec b$ là một số thực được xác định bởi:
$\vec a$.$\vec b$ = |$\vec a$|.|$\vec b$|.cos($\vec a$,$\vec b$).
Từ định nghĩa với $\vec a$, $\vec b$ ≠ $\overrightarrow 0 $ ta có các kết quả:
a. ${\vec a^2}$ = $\vec a$.$\vec a$.cos0$^0$ = |$\vec a$|$^2$.
b. $\vec a$.$\vec b$ > 0 ⇔ cosα > 0 ⇔ 0$^0$ ≤ α < 90$^0$.
c. $\vec a$.$\vec b$ = 0 ⇔ cosα = 0 ⇔ α = 90$^0$ ⇔ $\vec a$ ⊥ $\vec b$.
d. $\vec a$.$\vec b$ < 0 ⇔ cosα < 0 ⇔ 90$^0$ < α ≤ 180$^0$.
Nếu một trong hai vectơ bằng $\overrightarrow 0 $ thì ta quy ước: $\vec a$.$\overrightarrow 0 $ = $\vec b$.$\overrightarrow 0 $ = 0.3. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Với mọi vectơ $\vec a$, $\vec b$, $\overrightarrow c $ và với mọi số thực k ta đều có :
- Tính chất 1 (Tính chất giao hoán): $\vec a$.$\vec b$ = $\vec b$.$\vec a$.
- Tính chất 2 (Tính chất phân phối): $\vec a$.($\vec b$ + $\overrightarrow c $) = $\vec a$.$\vec b$ + $\vec a$.$\overrightarrow c $
- Tính chất 3 m($\vec a$).$\vec b$ = m($\vec a$.$\vec b$).
- Nếu $\vec a$(a$_1$, a$_2$) và $\vec b$(b$_1$, b$_2$) thì: $\vec a$.$\vec b$ = a$_1$.b$_1$ + a$_2$.b$_2$.
- Góc α giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ xác định bởi: cosα = $\frac{{{a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.
1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có:
- a$^2$ = b$^2$ + c$^2$ - 2bccosA;
- b$^2$ = a$^2$ + c$^2$ - 2accosB;
- c$^2$ = a$^2$ + b$^2$ - 2abcosC.
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b ta có: $\frac{a}{{\sin A}}$ = $\frac{b}{{\sin B}}$ = $\frac{c}{{\sin C}}$ = 2R, trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
3. TỔNG BÌNH PHƯƠNG HAI CẠNH VÀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường trung tuyến tương ứng là m$_a$, m$_b$, m$_c$, ta có:
- b$^2$ + c$^2$ = 2$m_a^2$ + $\frac{{{a^2}}}{2}$,
- c$^2$ + a$^2$ = 2$m_b^2$ + $\frac{{{b^2}}}{2}$,
- a$^2$ + b$^2$ = 2$m_c^2$ + $\frac{{{c^2}}}{2}$.
Trong ΔABC có AB = c, BC = a, CA = b và các đường cao tương ứng là h$_a$, h$_b$, h$_c$, ta có:
- S = $\frac{1}{2}$aha = $\frac{1}{2}$bhb = $\frac{1}{2}$chc.
- S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$acsinB = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{{abc}}{{4R}}$
- S = pr = $\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} $.