Lý thuyết phương trình, hệ phương trình

I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Định nghĩa: Cho hai biểu thức f(x) và g(x) của cùng biến số x.

1. Mệnh đề chứa biến x dạng f(x) = g(x) được gọi là phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) của phương trình.
2. Ngoài các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa, đôi khi x còn phải thoả mãn thêm những điều kiện khác nữa. Ta gọi chung các điều kiện ấy là điều kiện xác định của phương trình f(x) = g(x).
3. Số x$_0$ gọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu nó thoả mãn ĐKXĐ của phương trình và mệnh đề f(x$_0$) = g(x$_0$) là đúng.
4. Việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình gọi là giải phương trình. Nói cách khác, giải một phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó.

* Chú ý:

1. Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.
2. Ta thường kí hiệu tập nghiệm của phương trình là T. Phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ..., nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (tức là T = ∅) thì ta gọi là vô nghiệm, phương trình có T = $\mathbb{R}$ thì gọi là nghiệm đúng với mọi x.
3. Nhiều trường hợp, ta không thể tính được giá trị chính xác của nghiệm, hoặc bài toán chỉ yêu cầu tính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính xác cho trước). Giá trị đó gọi là nghiệm gần đúng của phương trình.

2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa: Hai phương trình f₁(x) = g₁(x) và f₂(x) = g₂(x) có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương. Khi đó, ta viết: f₁(x) = g₁(x) <=> f₂(x) = g₂(x).
Chú ý: Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng điều kiện xác định D và tương đương với nhau, ta nói: "Hai phương trình tương đương trong điều kiện D" hoặc "Với điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau".
Định nghĩa (Phép biến đổi tương đương): Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình được gọi là các phép biến đổi tương đương. Phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phương trình tương đương với nó.

Định lí 1: Cho phương trình f(x) = g(x) với ĐKXĐ D, h(x) là một biểu thức xác định với mọi x thoả mãn điều kiện D (h(x) có thể là hằng số). Khi đó, với điều kiện D, phương trình f(x) = g(x) tương đương với mỗi phương trình sau:

• f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
• f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với ∀x ∈ D.

Hệ quả: Với ĐKXĐ của phương trình ban đầu thì:

• (Quy tắc chuyển vế): f(x) + h(x) = g(x) <=> f(x) = g(x) - h(x).
• (Quy tắc rút gọn): f(x) + h(x) = g(x) + h(x) <=> f(x) = g(x).

3. PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Định nghĩa: Cho phương trình f1(x) = g1(x) có tập nghiệm T$_1$. Phương trình f$_2$(x) = g$_2$(x) có tập nghiệm T$_2$ được gọi là hệ quả của phương trình f$_1$(x) = g$_1$(x) nếu T$_1 ⊂ T$_2$.
Định lí 2: Khi bình phương hai vế của phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho: f(x) = g(x) => f$^2$(x) = g$^2$(x)
* Chú ý:

1. Nếu hai vế của một phương trình luôn cúng dấu với mọi x thoả mãn ĐKXĐ của phương trình thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương.
2. Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả, ta phải thử lại vào phương trình đã cho để phát hiện và loại nghiệm ngoại lai.

4. PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN

Định nghĩa: Cho hai biểu thức f(x, y,…) và g(x, z,…).

1. Mệnh đề chứa các biến dạng f(x, y,…) = g(x, z,…) được gọi là phương trình nhiều ẩn ẩn; x, y, z,… gọi là các ẩn số của phương trình.
2. Các số x = x$_0$, y = y$_0$, z = z$_0$,… thoả mãn ĐKXĐ của phương trình và mệnh đề f(x$_0$, y$_0$,…) = g(x$_0$, z$_0$,…) là đúng thì bộ (x$_0$, y$_0$, z$_0$,…) được gọi là một nghiệm của phương trình.

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Với yêu cầu "Giải và biện luận phương trình ax + b = 0" ta sẽ thực hiện như sau: Viết lại phương trình dưới dạng: ax = -b. (1)
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì: (1) <=> 0 = -b <=> b = 0. Vậy, ta được:

• Nếu b = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ $\mathbb{R}$.
• Nếu b ≠ 0, phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0 thì: (1) <=> x = -$\frac{b}{a}$, tức là phương trình có nghiệm duy nhất.
Kết luận:

• Với a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = -$\frac{b}{a}$.
• Với a = b = 0 , phương trình nghiệm đúng với mọi x.
• Với a = 0 và b ≠ 0, phương trình vô nghiệm.

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Với yêu cầu "Giải và biện luận phương trình ax$^2$ + bx + c = 0 (1)" ta sẽ thực hiện như sau:
Trường hợp 1. Với a = 0 thì phương trình có dạng: bx + c = 0 <=> bx = -c. (2)
a. Nếu b = 0 thì: (2) <=> 0 = -c <=> c = 0.

• Nếu c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ $\mathbb{R}$.
• Nếu c ≠ 0, phương trình vô nghiệm.

b. Nếu b ≠ 0 thì: (2) <=> x = -$\frac{c}{b}$: phương trình có nghiệm duy nhất.
Trường hợp 2. Với a ≠ 0 ta tính biệt thức: Δ = b$^2$ - 4ac (hoặc nếu b = 2b' thì tính Δ' = (b')$^2$ - ac).
a. Nếu Δ < 0 (hoặc Δ' < 0) thì phương trình (1) vô nghiệm.
b. Nếu Δ = 0 (hoặc Δ' = 0) thì phương trình (1) có nghiệm kép: x$_0$ = -$\frac{b}{{2a}}$ (hoặc x$_0$ = -$\frac{{b'}}{a}$).
c. Nếu Δ > 0 (hoặc Δ' > 0) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: X$_{1,2}$ = $\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ (hoặc x1,2 = $\frac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$).
Kết luận:

• Với a = b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ $\mathbb{R}$.
• Với a = b = 0 và c ≠ 0 , phương trình vô nghiệm.
• Với a = 0 và b ≠ 0 , phương trình có nghiệm duy nhất x = -$\frac{c}{b}$.
• Với a ≠ 0 và Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
• Với a ≠ 0 và Δ = 0, phương trình có nghiệm kép x$_0$ = -$\frac{b}{{2a}}$ (hoặc x$_0$ = -$\frac{{b'}}{a}$).
• Với a ≠ 0 và Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x$_{1,2}$ = $\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ ( hoặc x$_{1,2}$ = $\frac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$).

3. ĐỊNH LÍ VI -ÉT

Định lí: Nếu phương trình ax$^2$ + bx + c = 0, với a ≠ 0 có hai nghiệm x1 và x2 thì:
$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.
Hệ quả:

1. Nếu a + b + c = 0, phương trình ax$^2$ + bx + c = 0 có 2 nghiệm: $\left[\begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$.
2. Nếu a - b + c = 0, phương trình ax$^2$ + bx + c = 0 có 2 nghiệm $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \frac{c}{a}\end{array} \right.$.

* Chú ý: Trước khi áp dụng định lí Viét cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm: <=> $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$.
Định lí Viét được sử dụng để:
a. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
b. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm.
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
d. Xét dấu các nghiệm.
e. Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện K.
f. Ứng dụng khác.

III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI

a. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
b. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
c. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

IV. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax + by = c trong đó:

• a, b, c là hằng số và a, b không đồng thời bằng không.
• x, y là hai ẩn số.

Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Tập hợp các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là một đường thẳng, gọi là đường thẳng ax + by = c (mỗi điểm của đường thẳng ax + by = c biểu diễn một cặp nghiệm (x, y) của phương trình).

• Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng đó là đồ thị hàm số bậc nhất: y = - $\frac{a}{b}$x + $\frac{c}{b}$
• Nếu a = 0, b ≠ 0 thì đường thẳng đó là đồ thị hàm số y = $\frac{c}{b}$ đó là đường thẳng song song với Ox nếu c ≠ 0, trùng với Ox nếu c = 0.
• Nếu a ≠ 0, b = 0 thì đường thẳng đó có dạng x = $\frac{c}{a}$ đó là đường thẳng song song với Oy nếu c ≠ 0, trùng với Oy nếu c = 0.

* Chú ý:
1. Đường thẳng x = $\frac{c}{a}$ không phải là đồ thị hàm số.
2. Với yêu cầu giải phương trình ax + by = c, ta thường thực hiện ba công việc:

• Biến đổi để chỉ ra một vài nghiệm cụ thể của phương trình.
• Viết được công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
• Biểu diễn nghiệm của phương trình trên mặt phẳng toạ độ.

2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right..$.
Khi đó, đặt: D = a$_1$b$_2$ - a$_2$b$_1$, D$_x$ = c$_1$b$_2$ - c$_2$b$_1$, D$_y$ = c$_1$a2 - c$_2$a$_1$.
Ta có:
a. Nếu D ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = $\left( {\frac{{{D_x}}}{D},\,\,\frac{{{D_y}}}{D}} \right)$.
b. Nếu D = 0 thì:
- Nếu D$_x$ ≠ 0 hoặc D$_y$ ≠ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm.
- Nếu D$_x$ = D$_y$ = 0 thì hệ có vô số nghiệm (x$_0$, y$_0$) thoả mãn phương trình a$_1$x + b$_1$y = c$_1$.

V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

a. Hệ phương trình trong đó ccó một phương trình bậc nhất: Dùng phương pháp thế.
b. Hệ phương trình mà mỗi phương trình trong hệ không thay đổi khi thay thế đồng thời x bởi y và y bởi x: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ S = x + y; P = xy.