Mạch dao động

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Mạch dao động.png

* Nguyên tắc hoạt động mạch LC: dựa vào hiện tượng TỰ CẢM.
Ta có: \(u = \frac{q}{C};\ u = e-i.R = e\)
\(e = -\phi ' = -(Li)' = -Li' = -Lq''\)
\(\Rightarrow \frac{q}{C} = -Lq'' \Leftrightarrow q'' = -\frac{1}{LC}q\)
Đặt \(\omega ^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow q'' = -\omega ^2.q \ (*)\)
Nghiệm của phương trình (*) có dạng \(q = Q_0\cos (\omega t + \varphi )\)
Vậy điện tích của mạch LC lý tưởng dao động điều hòa với tần số góc \(\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)
→ Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi }{\omega } = 2 \pi .\sqrt{LC}\)
→ Tần số: \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi .\sqrt{LC}}\)
* Phương trình điện áp: \(u = \frac{q}{C} = \frac{Q_0}{C}.\cos (\omega t + \varphi )\)
\(\Rightarrow u = U_0.\cos (\omega t + \varphi ),\ \ \ U_0 = \frac{Q_0}{C}\)
* Phương trình cường độ dòng điện: \(i = q' = -\omega Q_0.\sin (\omega t + \varphi )\)
\(\Rightarrow i = I_0.\cos (\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}),\ \ \ I_0 = \omega Q_0\)
\(T = \frac{2\pi }{\omega } = 2\pi \sqrt{LC} = 2\pi \frac{Q_0}{I_0}\)
* Mối liên hệ về pha: Trong mạch LC lý tưởng, điện tích q và điện áp u luôn dao động cùng pha và cùng trễ pha \(\frac{\pi }{2}\) so với i.
* Công thức độc lập thời gian:
\(\cdot \ q\perp i \Rightarrow \left ( \frac{q}{Q_0} \right )^2 + \left ( \frac{i}{I_0} \right )^2 = 1 \Leftrightarrow Q_{0}^{2} = q^2 + \left ( \frac{i}{\omega } \right )^2\)
\(\cdot \ u \perp i \Rightarrow \left ( \frac{u}{U_0} \right )^2 + \left ( \frac{i}{I_0} \right )^2 = 1 \Leftrightarrow u = \pm U_0\sqrt{1-\left ( \frac{i}{I_0} \right )^2}\)
* Dao động điện có sự tương tự với dao động cơ
Khi thay q ⇔ x; Q$_{0}$ ⇔ A; i ⇔ v,...
* Năng lượng mạch LC
+ Năng lượng điện trường: \(W_C = \frac{1}{2}Cu^2 = \frac{1}{2}CU_{0}^{2}.\cos ^2(\omega t + \varphi )\)
+ Năng lượng từ trường: \(W_L = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}LI_{0}^{2}.\sin ^2(\omega t + \varphi )\)
+ Năng lượng điện từ: \(W = W_C + W_L = \frac{1}{2}Cu^2 + \frac{1}{2}Li^2 = \frac{Q_{0}^{2}}{2C}\) (hằng số)
\(W = W_{C\ max}\ (W_L = 0)\)
\(W = W_{L\ max}\ (W_C = 0)\)

VD: Cho mạch LC lý tưởng gồm L = 4 mH; C = 9 nF; U$_{0}$ = 12 V
a) Tìm \(\omega\), T, f, I$_{0}$, Q$_{0}$, W?
b) Viết biểu thức q biết tại t = 0, \(q = \frac{Q_0}{2}\) và đang tăng? Suy ra biểu thức u và i?
c) Tìm \(\frac{W_C}{W_L}\) khi i = 3 mA và khi u = 4 V?
d) Trong 1 chu kỳ, tìm thời gian để độ lớn cường độ dòng điện i không vượt quá \(9\sqrt{3}\) mA?
Giải:
L = 4 mH = 4.10$^{-3}$ H
C = 9 nF = 9.10$^{-9}$ F
U$_{0}$ = 12 V
a)
\(\cdot \ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{4.10^{-3}.9.10^{-9}}} = \frac{10^6}{6}\ (rad/s)\)
\(\cdot \ T = \frac{2\pi }{\omega } = \frac{2\pi }{\frac{10^6}{6}} = 12\pi .10^{-6} \ (s)\)
\(\cdot \ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{12\pi .10^{-6}} = \frac{10^6}{12\pi }\ (Hz)\)
\(\cdot \ I_0 = \omega Q_0\)
\(\cdot \ Q_0 = CU_0 = 9.10^{-9}.12 = 108.10^{-9} \ (C)\)
\(I_0 = \omega Q_0 = \frac{10^6}{6}.108.10^{-9} = 18.10^{-3}\ (A) = 18\ (mA)\)
\(W = \frac{1}{2}CU_{0}^{2} = \frac{1}{2}.9.10^{-9}.12^2 = 648.10^{-9}\ (J)\)
b) \(q = Q_0 \cos (\omega t + \varphi )\)
\(t = 0: \left\{\begin{matrix} q = \frac{Q_0}{2} \Rightarrow \frac{Q_0}{2} = Q_0 \cos \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = \pm \frac{\pi}{3}\\ dang\ tang \Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3} \hspace{5,2cm} \end{matrix}\right.\)
Vậy \(q = 108.10^{-9}.\cos (\frac{10^6}{6} t - \frac{\pi }{3}) \ (C)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} u = 12\cos \left ( \frac{10^6}{6}t - \frac{\pi }{3} \right )\ (V) \hspace{1cm}\\ i = 18\cos \left ( \frac{10^6}{6}t - \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2} \right )\ (mA) \end{matrix}\right.\)
c)
\(\cdot \ \left\{\begin{matrix} \frac{W_C}{W_L} = \ ? \ \ \ \\ i = 3\ mA \end{matrix}\right.\)
\(\frac{W_C}{W_L} =\frac{W-W_L}{W_L} = \frac{W}{W_L} - 1 = \frac{\frac{1}{2}LI_{0}^{2}}{\frac{1}{2}Li^2} - 1 = \left ( \frac{I_0}{i} \right )^2 - 1 = 35\)
\(\cdot \ \left\{\begin{matrix} \frac{W_C}{W_L} = \ ? \ \ \\ u = 4\ V \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{W_C}{W_L} = \frac{W_C}{W-W_C} = \frac{\frac{1}{2}Cu^2}{\frac{1}{2}CU_{0}^{2}-u^2} = \frac{u^2}{U_{0}^{2}-u^2} = \frac{1}{8}\)
d) \(\left\{\begin{matrix} Trong \ 1T \hspace{4cm}\\ |i| \leq 9\sqrt{3}\ mA = \frac{I_0\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \Delta t= \ ? \end{matrix}\right.\)
Mạch dao động.png

\(\Rightarrow \Delta t = 4t_0 = 4\frac{T}{6} = \frac{2}{3}.12\pi .10^{-6} = 8\pi .10^{-6}\ (s)\)