Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. MẶT NÓN

Mặt nón tròn xoay.png

1/ Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng$\left( P \right)$, cho 2 đường thẳng d, ∆cắt nhau tại Ovà chúng tạo thành góc $\beta $ với ${0^0} < \beta < {90^0}$. Khi quay mp(P) xung quanh trục ∆ với góc $\beta $ không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O(hình 1).
 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
 Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc $2\beta $ gọi là góc ở đỉnh.

2/ Hình nón tròn xoay
Cho $\Delta OIM$vuông tại Iquay quanh cạnh góc vuông $OI$ thì đường gấp khúc $OIM$ tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
 Đường thẳng $OI$gọi là trục, O là đỉnh, $OI$gọi là đường cao và $OM$ gọi là đường sinh của hình nón.
 Hình tròn tâm I, bán kính $r = IM$ là đáy của hình nón.

3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáyrvà đường sinh là $l$ thì có:
 Diện tích xung quanh: ${{S_{xq}} = \pi .r.l}$
 Diện tích đáy (hình tròn): ${{S_\partial } = \pi .{r^2}}$
 Thể tích khối nón: ${{V_{non}} = \frac{1}{3}{S_\partial }.h = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h}$=> Diện tích toàn phần hình nón: ${{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_\partial }}$.

4/ Tính chất:
TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi \(mp(P)\) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu \(mp(P)\) cắt mặt nón theo 2 đường sinh => Thiết diện là tam giác cân.
+ Nếu \(mp(P)\) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp\((Q)\) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu \(mp(Q)\) vuông góc với trục hình nón => giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu \(mp(Q)\) song song với 2 đường sinh hình nón => giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu \(mp(Q)\) song song với 1 đường sinh hình nón => giao tuyến là 1 đường parabol.

II. MẶT TRỤ
1/ Mặt trụ tròn xoay

Trong mp(P) cho hai đường thẳng ∆và Ƞ₻ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định ∆ thì đường thẳng $l$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
 Đường thẳng ∆ được gọi là trụC.
 Đường thẳng $l$ được gọi là đường sinh.
 Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2/ Hình trụ tròn xoay
mặt nón tròn xoay.png
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
 Đường thẳng AB được gọi là trụC.
 Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
 Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
 Hình tròn tâm A, bán kính $r = AD$ và hình tròn tâm B, bán kính $r = BC$ được gọi là 2 đáy của hình trụ.
 Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằngr, khi đó:
 Diện tích xung quanh của hình trụ: ${{S_{xq}} = 2\pi rh}$
 Diện tích toàn phần của hình trụ: ${{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{Day}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}}$
 Thể tích khối trụ: ${V = B.h = \pi {r^2}h}$

4/ Tính chất:
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm trên ∆ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục ∆ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng $\frac{{2r}}{{\sin \varphi }}$, trong đó $\varphi $ là góc giữa trục ∆ và mp(α) với ${0^0} < \varphi < {90^0}$.
 Cho mp(α) song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng d.
+ Nếu d < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh => thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu d = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu d > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.

III. MẶT CẦU
1/ Định nghĩa

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng ${\rm{R}}$ gọi là mặt cầu tâm O, bán kính ${\rm{R}}$, kí hiệu là: $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$. Khi đó $S\left( {O;{\rm{R}}} \right) = \left\{ {M|OM = R} \right\}$

2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
tương đối của một điểm đối với mặt cầu.png
Cho mặt cầu$S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$và một điểm Abất kì, khi đó:
 Nếu $OA = {\rm{R}} \Leftrightarrow A \in S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$. Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao cho $\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB} $ thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của mặt cầu.
 Nếu $OA < {\rm{R}} \Leftrightarrow A$nằm trong mặt cầu.
 Nếu $OA > {\rm{R}} \Leftrightarrow A$nằm ngoài mặt cầu.
=>Khối cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$ là tập hợp tất cả các điểm M sao cho $OM \le {\rm{R}}$.

3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu$S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$và một mp(P) . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp(P) và h là hình chiếu của O trên $mp\left( P \right) \Rightarrow d = OH$.
 Nếu $d < R \Leftrightarrow $ mp(P) cắt mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$ theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp(P) có tâm là h và bán kính $r = HM = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} $ (hình a).
 Nếu $d > R \Leftrightarrow mp\left( P \right)$ không cắt mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$ (hình b).
 Nếu $d = R \Leftrightarrow mp\left( P \right)$ có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$ tiếp xúc mp(P) . Do đó, điều kiện cần và đủ để mp(P) tiếp xúc với mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$ là $d\left( {O,\left( P \right)} \right) = R$ (hình c).
tương đối của một điểm đối với mặt cầu.png


4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$và một đường thẳng∆. Gọi h là hình chiếu củaOtrên đường thẳng∆và$d = OH$là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng∆. Khi đó:
 Nếu $d > R \Leftrightarrow \Delta $không cắt mặt cầu$S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$.
 Nếu $d < R \Leftrightarrow \Delta $cắt mặt cầu$S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$tại hai điểm phân biệt.
 Nếu $d = R \Leftrightarrow \Delta $và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu là$d = d\left( {O,\Delta } \right) = R$.
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$ thì:
 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$.
 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
 Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu $S\left( {O;{\rm{R}}} \right)$.

5/ Diện tích và thể tích mặt cầu
Diện tích mặt cầu: ${{S_C} = 4\pi {R^2}}$.
Thể tích mặt cầu: ${{V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3}}$.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1/ Các khái niệm cơ bản

 Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
=>Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
 Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
=>Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
 Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
=>Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.
 Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương)=> Tâm là I, là trung điểm của $AC'$.
- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương)=> Bán kính: $R = \frac{{AC'}}{2}$.
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.png
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
hình lăng trụ đứng.png
Xét hình lăng trụ đứng ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}.A_1^,A_2^,A_3^,...A_n^,$, trong đó có 2 đáy ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$ và $A_1^,A_2^,A_3^,...A_n^,$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {O'} \right)$. Lúc đó,
mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
- Tâm: I với I là trung điểm của OO’.
- Bán kính: $R = I{A_1} = I{A_2} = ... = IA_n^,$

c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
hình chóp đều.PNG
- Hình chóp S.ABC có $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = {90^0}$.
+ Tâm: I là trung điểm của SC
+ Bán kính: $R = \frac{{SC}}{2} = IA = IB = IC$.
- Hình chóp $S.ABCD$ có $\widehat {SAC} = \widehat {SBC} = \widehat {SDC} = {90^0}$.
+ Tâm: Ilà trung điểm của$SC$.
+ Bán kính: $R = \frac{{SC}}{2} = IA = IB = IC = ID$.

d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều$S.ABC...$
hình chóp đều.PNG
- Gọi O là tâm của đáy$ \Rightarrow SO$là trục của đáy.
- Trong mặt phẳng xác định bởi$SO$và một cạnh bên, chẳng hạn như $mp\left( {SAO} \right)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh$SA$ là ∆ cắt $SA$ tại M và cắt $SO$ tại I=> là tâm của mặt cầu.
- Bán kính: Ta có: $\Delta SMI \sim \Delta SOA \Rightarrow \frac{{SM}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SA}} \Rightarrow $ Bán kính là: $R = IS = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = IA = IB = IC = ...$

e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp $S.ABC...$ có cạnh bên $SA \bot $ đáy $\left( {ABC...} \right)$ và đáy $ABC...$ nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC...$ được xác định như sau:
hình chóp có cạnh bên vuông góc.png
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với $mp\left( {ABC...} \right)$ tại O.
- Trong $mp\left( {d,SA} \right)$, ta dựng đường trung trực ∆của cạnh$SA$, cắt$SA$tạiM, cắt dtại I => là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính $R = IA = IB = IC = IS = ...$
- Tìm bán kính: Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét $\Delta MAI$ vuông tại M có: $R = AI = \sqrt {M{I^2} + M{A^2}} = \sqrt {A{O^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}} $.

f/ Hình chóp khác.
- Dựng trục ∆ của đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của một cạnh bên bất kì.
- $\left( \alpha \right) \cap \Delta = I \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.
trung tuyến của cạnh huyền.PNG

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\) (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên.

Lúc đó:
mặt cầu ngoại tiếp.png
- Tâm O của mặt cầu: \(\Delta \cap {\rm{mp(}}\alpha ) = \left\{ O \right\}\)
- Bán kính: \(R = SA\left( { = SO} \right)\). Tuỳ vào từng trường hợp.

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất: \(\forall M \in \Delta :{\rm{ }}MA = MB = MC{\rm{ }}\)
Suy ra: \(MA = MB = MC{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}M \in \Delta {\rm{ }}\)

2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy.
đường tròn ngoại tiếp tam giác.png
VD: Một số trường hợp đặc biệt
đường tròn ngoại tiếp tam giác.png

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng $\Delta SMO$ đồng dạng với $\Delta SIA \Rightarrow \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SI}}$.
bán kính mặt cầu.PNG
4. Nhận xét quan trọng: \(\exists M,S:\,\,\left\{ \begin{array}{l}MA = MB = MC\\SA = SB = SC\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{SM}}\) là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
Ví dụ:
Cho $S.ABC:\,\left\{ \begin{array}{l} SA \bot \left( {ABC} \right)\\ ABC \bot B \end{array} \right.$. Theo đề bài: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {BC \bot AB\left( {gt} \right)}\\ {BC \bot SA\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)} \end{array}} \right.$=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
bán kính mặt cầu ngoại tiếp.png

Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông => nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC. Gọi I là trung điểm SC=>I là tâm MCNT khối chóp S.ABC và bán kính R = SI.

Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.png

+ Vẽ SG⊥(ABC) thì Glà tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
+ Trên mặt phẳng (SGC), vẽ đường trung trực của SC, đường này cắt SG tạ iI thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC và bán kính R = SI.
+ Ta có $\Delta SGC \sim \Delta SKI\left( {g - g} \right) \Rightarrow \frac{{SG}}{{SK}} = \frac{{SC}}{{SI}} \Rightarrow R = \frac{{SC.SK}}{{SG}} = \frac{{S{C^2}}}{{2SG}}$

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Mặt bên (SAB) ⊥(ABC) và ∆SAB đều. Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB,AC.
chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.png

Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (do MA = MB =MC).
Dựng d$_1$ là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( d$_1$ qua M và song song SH).
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB và d$_2$ là trục đường tròn ngoại tiếp ∆SAB, d$_2$ cắt d$_1$ tại I =>I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
=>Bán kính R = SI. Xét $\Delta SGI \to SI = \sqrt {G{I^2} + S{G^2}} $


BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu
1. Cho một mặt cầu có diện tích là S, thể tích khối cầu đó là V. Tính bán kính R của mặt cầu.
A. \(R = \frac{{3V}}{S}\).
B. $R = \frac{S}{{3V}}$.
C. \(R = \frac{{4V}}{S}\).
D. \(R = \frac{V}{{3S}}\).
Ta có công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu là:
\(S = 4\pi {r^2};\,\,V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) \( \Rightarrow \) \(\frac{{3V}}{S} = r\).
Câu 2. Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và điểm A cố định với \(OA = d\). Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu \(S(O;R)\) tại M. Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM?
A. \(\sqrt {2{R^2} - {d^2}} \).
B. \(\sqrt {{d^2} - {R^2}} \).
C. \(\sqrt {{R^2} - 2{d^2}} \).
D. $\sqrt {{d^2} + {R^2}} $.
2_ mặt cầu.png

Vì ∆ tiếp xúc với $S(O;R)$ tại M nên \(OM \bot \Delta \) tại M.
Xét tam giác \(OMA\) vuông tại M, ta có:
\(A{M^2} = O{A^2} - O{M^2} = {d^2} - {R^2} \Rightarrow AM = \sqrt {{d^2} - {R^2}} \).
Câu 3. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(a,b,c\). Gọi \((S)\) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu \((S)\) theo \(a,b,c\).
A. \(\pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
B. \(2\pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
C. \(4\pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
D. \(\frac{\pi }{2}({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
Đường kính của mặt cầu \((S)\) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu \((S)\) có bán kính \(r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) . Do đó diện tích mặt cầu \((S)\) là: \(S = 4\pi {r^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\).
Câu 4. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là \(a,b,c\). Gọi \((S)\) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu \((S)\) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.
4_hình hộp chữ nhật.png

Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu \((S)\) chính là tâm của hình hộp chữ nhật.
Câu 5. Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và đường thẳng ∆. Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng ∆ tiếp xúc với \(S(O;R)\) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?
A. $d = R$.
B. $d > R$.
C. $d < R$.
D. $d \ne R$.
5_mặt cầu.png

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với \(S(O;R)\) khi d = R.
Câu 6. Cho đường tròn (C) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C). Có tất cả bao nhiêu mặt cầu chứa đường tròn (C) và đi qua A ?
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. vô số.
6_mặt cầu.png

Trên đường tròn (C) lấy điểm điểm \({M_0}\) cố định. Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của \(A{M_0}\) và đường thẳng ∆ là trục của (C). Gọi I giao điểm của (α) và ∆ thì mặt cầu tâm I thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất. Giả sử M là điểm bất kì khác nằm trên đường tròn (C), gọi \((\alpha ')\) là mặt phẳng trung trực của AM và \(I' = (\alpha ') \cap \Delta \) thì mặt cầu tâm tâm \(I'\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có:
\(I'A = I'M = I'{M_0}\) \( \Rightarrow \) \(I'\) thuộc mặt phẳng trung trực (α) của \(A{M_0}\) nên \(I' = (\alpha ) \cap \Delta \).
Từ đó suy ra $I' \equiv I$. Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7. Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và \(B\) là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
B. đường thẳng trung trực của AB.
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB.
D. trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có \(IA = IB\). Do đó I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Câu 8. Cho mặt cầu \(S(O;R)\) và mặt phẳng (α). Biết khoảng cách từ O tới (α) bằng d . Nếu \(d < R\) thì giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt cầu \(S(O;R)\)là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?
A. \(\sqrt {Rd} \).
B. \(\sqrt {{R^2} + {d^2}} \).
C. \(\sqrt {{R^2} - {d^2}} \).
D. \(\sqrt {{R^2} - 2{d^2}} \).
Gọi I là hình chiếu của O lên (α) và M là điểm thuộc đường giao tuyến của (α) và mặt cầu \(S(O;R)\). Xét tam giác OIM vuông tại I , ta có: \(OM = R\) và \(OI = d\) nên \(IM = \sqrt {{R^2} - {d^2}} \).
Câu 9. Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu \(S(O;R)\) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
9_Mặt cầu.png

+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(MO\) thì dễ dàng thấy rằng mp(α) luôn cắt mặt cầu \(S(O;R)\) theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm O, bán kính r. Trong mp(α), ta thấy từ điểm M nằm ngoài (C) ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến \(M{T_1},\,M{T_2}\) với đường tròn (C). Hai tiếp tuyến này cũng chính là tiếp tuyến với mặt cầu \(S(O;R)\).
+ Do có vô số mặt phẳng (α) chứa đường thẳng \(MO\) cắt mặt cầu \(S(O;R)\) theo các giao tuyến là đường tròn (C) khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M nằm ngoài mặt cầu.
Câu 10. Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu \(S(O;R)\) tại M. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .
B. Mặt phẳng trung trực của OA .
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM.
D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với \(OM\).
10_mặt cầu.png

Trong mặt phẳng \((d,O)\), xét tam giác \(OMA\) vuông tại M có MH là đường cao. Ta có: \(O{M^2} = OH.OA \Rightarrow OH = \frac{{{R^2}}}{{2R}} = \frac{R}{2}.\) Do đó H cố định. Vậy M thuộc mặt phẳng vuông góc với OA tại H .
Câu 11. Một đường thẳng thay đổi d qua A và tiếp xúc với mặt cầu $S(O;R)$ tại M. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:
A. \(\frac{R}{2}\).
B. \(\frac{{R\sqrt 3 }}{3}\).
C. \(\frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{3R\sqrt 3 }}{4}\).
11_mặt cầu.png

Trong mặt phẳng \((d,O)\), xét tam giác \(OMA\) vuông tại M có MH là đường cao. Ta có: \(M{H^2} = HO.HA \Rightarrow M{H^2} = \frac{R}{2}.\frac{{3R}}{2} \Rightarrow MH = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).
Câu 12. Thể tích của một khối cầu là \(113\frac{1}{7}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy \(\pi \approx \frac{{22}}{7}\))
A. \(6\,{\rm{cm}}\).
B. \(2\,{\rm{cm}}\).
C. \(4\,{\rm{cm}}\).
D. \(3\,{\rm{cm}}\).
Thể tích khối cầu bán kính R là \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = \frac{{3V}}{{4\pi }} = \frac{{3.113\frac{1}{7}}}{{4.\frac{{22}}{7}}} = 27 \Rightarrow R = 3\) (cm).
Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy \(\pi \approx \frac{{22}}{7}\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
A. \(379,94\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
B. \(697,19\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
C. \(190,14\,{\rm{cm}}\).
D. \(95,07\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của kinh khí cầu là \(S = \pi {d^2} = \frac{{22}}{7}{.11^2} = 379,94\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Câu 14. Cho hình lập phương \(ABC
D. A'B'C'D'\) có độ dài mỗi cạnh là \(10\,{\rm{cm}}\). Gọi O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là:
A. \(S = 150\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}};V = 125\sqrt 3 \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
B. \(S = 100\sqrt 3 \pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}};V = 500\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
C. \(S = 300\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}};V = 500\sqrt 3 \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
D. \(S = 250\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}};V = 500\sqrt 6 \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
14_Hình lập phương.png

Dễ thấy tâm O của mặt cầu chính là tâm của hình lập phương.
Trong tam giác vuông $AA'C$ có: \(AC{'^2} = AA{'^2} + A'C{'^2}\).
Trong tam giác vuông $A'B'C'$ có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\).
Do đó \(A{C^2} = 100 + 100 + 100 = 300 \Rightarrow AC = 10\sqrt 3 \) (cm).
+ Bán kính mặt cầu tâm O là \(R = OA = \frac{1}{2}AC = 5\sqrt 3 \) (cm)
+ Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} = 300\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\) .
+ Thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {5\sqrt 3 } \right)^3} = 500\sqrt 3 \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).
Câu 15. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng A , chiều cao \(AH\). Quay đường tròn (C) xung quanh trục \(AH\), ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là:
A. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}\).
B. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{9}\).
C. \(\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).
D. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\).
15_đường tròn.PNG

\(AH\) là đường cao trong tam giác đều cạnh A nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Delta ABC\), thì \(O \in AH\) và \(OA = \frac{2}{3}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C)quanh trục \(AH\) là \(R = OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) . Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\) (đvtt).
Câu 16. Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng A , chiều cao \(AH\). Quay đường tròn (C) xung quanh trục \(AH\), ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là:
A. \(\frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).
B. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{9}\).
C. \(\frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}\).
D. \(\frac{{4\pi {a^3}}}{3}\).
16_đường tròn ngoại tiếp.png

\(AH\) là đường cao trong tam giác đều cạnh A nên \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Delta ABC\), thì \(O \in AH\) và \(OA = \frac{2}{3}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C)quanh trục \(AH\) là \(R = OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) . Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\) (đvtt).
Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC = 2a\) và \(\widehat B = {30^0}\). Quay tam giác vuông này quanh trục AB, ta được một hình nón đỉnh \(B\). Gọi \({S_1}\) là diện tích toàn phần của hình nón đó và \({S_2}\) là diện tích mặt cầu có đường kính A
B. Khi đó, tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:
A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1\).
B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{1}{2}\).
C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{2}{3}\).
D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{3}{2}\).
17_mặt cầu.png

Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có: $AC = BC\sin {30^0} = a;\,AB = BC\cos {30^0} = a\sqrt 3 $.
Diện tích toàn phần hình nón là: ${S_1} = {S_{xq}} + {S_{day}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi a.2a + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}$.
Diện tích mặt cầu đường kính AB là: ${S_2} = \pi A{B^2} = \pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi {a^2}$.
Từ đó suy ra, tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 1\).
* MẶT NÓN
Câu
18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh \(2a\), diện tích xung quanh là ${S_1}$ và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích \({S_2}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. \(2{S_2} = 3{S_1}\).
B. \({S_1} = 4{S_2}\).
C. \({S_2} = 2{S_1}\).
D. \({S_1} = {S_2}\).
18_hình nón có thiết diện qua trục.png

Bán kính đáy của hình nón là A . Đường sinh của hình nón là \(2a\).
Do đó, ta có \({S_1} = \pi Rl = 3\pi {a^2}\,\,(1)\)
Mặt cầu có bán kính là \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), nên ta có \({S_2} = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi {a^2}\,\,(2)\).
Từ (1) và (2) suy ra \({S_1} = {S_2}\).
Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh \(2a\), có thể tích ${V_1}$ và hình cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích \({V_2}\). Khi đó, tỉ số thể tích \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\).
B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).
C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\).
D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\).
19_hình nón có thiết diện qua trục.png

Hình nón có bán kính đáy là A , chiều cao \(a\sqrt 3 \).
Do đó thể tích ${V_1} = \frac{1}{3}\pi {a^2}a\sqrt 3 = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
Hình cầu có bán kính \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên có thể tích ${V_1} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{2}$.
Từ đó suy ra \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\).
Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy A và đường cao là \(a\sqrt 3 \).
A. \(2\pi {a^2}\).
B. \(2\pi {a^2}\sqrt 3 \).
C. \(\pi {a^2}\).
D. \(\pi {a^2}\sqrt 3 \).
Hình trụ có bán kính đáy A và đường cao \(a\sqrt 3 \)nên \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi a.a\sqrt 3 = 2\pi {a^2}\sqrt 3 \).
Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng A . Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
B. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \).
D. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\).
21_Một hình nón có thiết diện.PNG

Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cạnh A nên đường sinh của hình nón là A và bán kính đáy là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) nên \({S_{xq}} = \pi \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 22. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Diện tích toàn phần \({S_{tp}}\) của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho là
A. \({S_{tp}} = \frac{{\pi {a^2}(1 + \sqrt 2 )}}{2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
B. \({S_{tp}} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
C. \({S_{tp}} = \pi {a^2}(1 + \sqrt 2 );V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
D. \({S_{tp}} = \frac{{\pi {a^2}(\sqrt 2 - 1)}}{2};V = \frac{{\pi {a^3}}}{{12}}\).
22_Một hình nón có thiết diện.png

+ Do thiết diện đi qua trục là tam giác \(\Delta SAB\) vuông cân tại đỉnh S, có cạnh huyền \(AB = a\sqrt 2 \) nên suy ra bán kính đáy hình nón là \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ; đường sinh hình nón \(l = SA = SB = a\); đường cao hình nón \(h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
+ Diện tích toàn phần hình nón là:
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi \frac{{a\sqrt 2 }}{2}a + \pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\pi {a^2}}}{2} = \frac{{\pi {a^2}(1 + \sqrt 2 )}}{2}\) (đvdt).
+ Thể tích khối nón tương ứng là: \(V = \frac{1}{2}Bh = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) (đvtt).
Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \(a\sqrt 2 \) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \({60^0}\). Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:
A. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 2 ;V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
D. \({S_{xq}} = \pi {a^2};V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
23_Một hình nón có thiết diện.png

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giải thiết ta có đường sinh $SA = a\sqrt 2 $ và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là \(\widehat {SAO} = {60^0}\). Trong tam giác vuông \(SAO\), ta có:
\(OA = SA\cos {60^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(SO = S
A. \sin {60^0} = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = \pi {a^2}\) (đvdt).
Thể tích của khối nón tròn xoay \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) (đvtt).
Câu 24. Một hình nón có đường kính đáy là \(2a\sqrt 3 \), góc ở đỉnh là \({120^0}\). Tính thể tích của khối nón đó theo A .
A. \(3\pi {a^3}\).
B. \(\pi {a^3}\).
C. \(2\sqrt 3 \pi {a^3}\).
D. \(\pi {a^3}\sqrt 3 \).
24_Một hình nón có thiết diện.png

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.
Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính \(R = OA = a\sqrt 3 \,{\rm{(cm)}}\)
và góc $\widehat {ASO} = \frac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}$ . Xét tam giác \(SOA\) vuông tại O, ta có $SO = \frac{{OA}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = a$. Do đó chiều cao hình nón là $h = a$.
Vậy thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi .3{a^2}.a = \pi {a^3}\) .
Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , \(AB = a\) và \(AC = \sqrt 3 a\). Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. \(l = a\).
B. \(l = \sqrt 2 a\).
C. \(l = \sqrt 3 a\).
D. \(l = 2a\).
Độ dài đường sinh \(l\) bằng độ dài cạnh \(BC\) của tam giác vuông ABC.
Theo định lý Pytago thì \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + 3{a^2} = 4{a^2} \Rightarrow BC = 2a\)
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là \(l = 2a.\)
* MẶT TRỤ
Câu
26. Cho một hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao H và thể tích \({V_1}\); một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và có thể tích \({V_2}\).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. \({V_2} = 3{V_1}\).
B. \({V_1} = 2{V_2}\).
C. \({V_1} = 3{V_2}\).
D. \({V_2} = {V_1}\).
26_hình trụ có bán kính đáy R.png

Hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao H nên thể tích \({V_1} = \pi {R^2}h\).
Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao H nên thể tích \({V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\).
Từ đó suy ra \({V_1} = 3{V_2}\) .
Câu 27. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao là h .
A. \(V = \pi {R^2}h\).
B. \(V = \pi R{h^2}\).
C. \(V = {\pi ^2}Rh\).
D. \(V = 2\pi Rh\).
Áp dụng công thức thể tích khối trụ, đáp án là \(V = \pi {R^2}h\).
Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy A , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A. \(\pi {a^2}\).
B. \(2\pi {a^2}\).
C. \(3\pi {a^2}\).
D. \(4\pi {a^2}\).
28_Một hình trụ có bán kính đáy.png

Một hình trụ có bán kính đáy A , có thiết diện qua trục là một hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng \(2a\). Do đó diện tích xung quanh hình trụ là
\({S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .a.2a = 4\pi {a^2}\).
Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy A và đường cao \(a\sqrt 3 \).
A. \(2\pi {a^2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\).
B. \(\pi {a^2}\sqrt 3 \).
C. \(\pi {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\).
D. \(2\pi {a^2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\).
29_Một hình trụ có bán kính đáy.png

Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi a.a\sqrt 3 = 2\pi {a^2}\sqrt 3 \); \({S_{day}} = \pi {a^2}\).
Do đó \({S_{tp}} = 2\pi {a^2}\sqrt 3 + 2\pi {a^2} = 2\pi {a^2}(1 + \sqrt 3 )\).
Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng A và thiết diện đi qua trục là một hình vuông.
A. \(2\pi {a^3}\).
B. \(\frac{2}{3}\pi {a^3}\).
C. \(4\pi {a^3}\).
D. \(\pi {a^3}\).
30_Một hình trụ có bán kính đáy.png

Theo bài ra thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên hình trụ có bán kính đáy là A , chiều cao \(2a\). Do đó thể tích khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.2a = 2\pi {a^3}\).
Câu 31. Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng \(6\pi \,({\rm{cm)}}\) và thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng \(10\,\,({\rm{cm)}}\).
A. \(48\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
B. \(24\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
C. \(72\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
D. \(18\pi \sqrt {34} 72\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
31_Một hình trụ có bán kính đáy.png

Gọi O,O' là hai tâm của đáy hình trụ và thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD.
Do chu vi đáy của hình trụ đó bằng \(6\pi \,({\rm{cm)}}\) nên bán kính đáy của hình trụ là \(R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{{6\pi }}{{2\pi }} = 3\,({\rm{cm)}}\).
Vì thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật ABCD có \(AC = 10\,\,({\rm{cm)}}\) và \(AB = 2R = 6\,{\rm{(cm)}}\) nên chiều cao của hình trụ là:
\(h = OO' = BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\) (cm).
Vậy thể tích khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {.3^2}.8 = 72\pi \,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\).
 

Đính kèm

Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...