Người ta dự định xây một cây cầu có hình Parabol để bắc qua song rộng 480m. Bề dày của khối bê tông làm mặt cầu là 30cm

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Người ta dự định xây một cây cầu có hình Parabol để bắc qua song rộng 480m. Bề dày của khối bê tông làm mặt cầu là 30cm chiều rộng của mặt cầu là 5m điểm tiếp giáp giữa mặt cầu với mặt đường cách bờ sông 5m, điểm cao nhất của khối bê tông làm mặt cầu so với mặt đường là 2m. Thể tích theo m3 của khối bê tông làm mặt cầu nằm trong khoảng nào?
A. (210;220)
B. (96;110)
C. (490;500)
D. (510;520)

Gọi đường cong tương ứng với vành trên và vành dưới của cầu lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\)
Dựng hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường biểu diễn của mặt phẳng sông là trục Ox và vị trí cao nhất cây cầu có tọa độ là (0;2).
Ta thấy phương trình của 2 parabol \(({C_1})\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) đều có dạng \(y = a{x^2} + b,\) dựa vào các điểm mà Parabol đi qua ta có các phương trình tương ứng:
\(\begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):y = f(x) = - \frac{2}{{{{245,3}^2}}}{x^2} + 2\\\left( {{C_1}} \right):y = g(x) = - \frac{{1,7}}{{{{245}^2}}}{x^2} + 1,7\end{array}\)
Diện tích mặt cắt cây cầu: \(S = 2\left( {\int\limits_0^{245,3} {f(x)dx} - \int\limits_0^{245} {g(x)dx} } \right) = \frac{{494}}{5}({m^2}).\)
Suy ra thể tích cây cầu là: \(V = \frac{{494}}{5}.5 = 494\,({m^3}).\)