Toán 12 Nguyên hàm và bảng công thức tính nhanh

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Nguyên hàm của f(x) là một hàm F(x) có đạo hàm bằng f(x), nghĩa là, F′(x) = f(x).
  • Kí hiệu: $\int {f(x)dx} $
  • Vậy ta viết: $\int {f(x)dx} $ = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x)
1. TÍNH CHẤT
  • $\int {f'(x)} dx = f(x) + C$
  • $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]} dx = \int {f(x)} dx \pm \int {g(x)} dx$
  • $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} $ với k ≠ 0
2. ĐỊNH LÝ 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I. Khi đó:
  • Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
  • Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc I.
3. ĐỊNH LÝ 2: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

4. MỘT SỐ HÀM SỐ NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP
công thức tính nguyên hàm.PNG


5. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lí sau:

Định lí: Giả sử u = u(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên I sao cho hàm số hợp f[u(x)] xác định trên I. Khi đó, ta có:$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right].u'\left( x \right)dx} = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C\,\left( 1 \right)$ ở đó F(u) là một nguyên hàm của f(u).

Nhận xét rằng: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx và f[u(x)].u'(x)dx = f(u)du do đó, công thức (1) được viết gọn dưới dạng: $\[\int {f(u)du} $\] = F(u) + C. Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = φ(u) (nếu có thể).
  • Bước 2: Xác định vi phân dx = φ’(u)du.
  • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du.
  • Bước 4: Khi đó: $\int {f\left( x \right)dx = } \int {g\left( u \right)du} $
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là

DẤU HIỆU

CÓ THỂ CHỌN

Hàm có mẫu số

u là mẫu số

Hàm f(x, $\sqrt {\varphi (x)} $)

u = φ(x) hoặc u = $\sqrt {\varphi (x)} $

Hàm f(x) =\(\frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}\)

⇒Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt: u = $\sqrt {x + a} $ + $\sqrt {x + b} $
⇒ Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt: u = $\sqrt { - x - a} $ + $\sqrt { - x - b} $

Hàm f(x)=\(\frac{{a.\sin x + b.\cos x}}{{c.\sin x + d.\cos x + e}}\)

u = tan$\frac{x}{2}$ (với cos$\frac{x}{2}$ ≠ 0)



6. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cơ sở của phương pháp là định lí sau:

Định lí: Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I thì: $\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx} = u\left( x \right).v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx} $ hoặc viết $\int {u.dv} = uv - \int {v.du} $.

Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1: Biến đổi: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right)dx} $.
  • Bước 2: Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {f_1}(x)\\ dv = {f_2}(x)dx \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} du\\ v \end{array} \right.$
  • Bước 3: Khi đó: $\int {f\left( x \right)} dx = uv - \int v du$.
Lưu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
  • a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
  • b. Tích phân bất định $\int {vdu} $ được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm
 
Sửa lần cuối: