Toán 12 Phân dạng ứng dụng tích phân

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Dạng 1. Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trường hợp 1.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x),{\rm{ }}x = a,{\rm{ }}x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).
Phương pháp giải toán
+) Giải phương trình f(x) = g(x) (1)
+) Nếu (1) vô nghiệm thì \(S = \left| {\int\limits_a^b {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} } \right|\).
+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .\(\left[ {a;b} \right]\). giả sử \(\alpha \) thì
\(S = \left| {\int\limits_a^\alpha {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_\alpha ^b {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} } \right|\)
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số \(f(x) - g(x)\) trên đoạn \(\left[ {a;{\rm{ b}}} \right]\) rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân.

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x)\) là \(S = \int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \). Trong đó \(\alpha ,{\rm{ }}\beta \) là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) \(\left( {a \le \alpha < \beta \le b} \right)\).
Phương pháp giải toán
  • Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) tìm các giá trị \(\alpha ,\beta \).
  • Bước 2. Tính \(S = \int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)như trường hợp 1.

Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} + 11x - 6,{\rm{ }}y = 6{x^2}\), \(x = 0,{\rm{ }}x = 2\). (Đơn vị diện tích)
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{{18}}{{23}}$
Đặt \(h(x) = ({x^3} + 11x - 6) - 6{x^2} = {x^3} - 6{x^2} + 11x - 6\)
\(h(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 2 \vee x = 3\) (loại).
Bảng xét dấu
ứng dụng tích phân_1.png

\(S = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right)dx} \) \( = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^3} + \frac{{11{x^2}}}{2} - 6x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^3} + \frac{{11{x^2}}}{2} - 6x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{2}\).
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^3},{\rm{ }}y = 4x\) là:
A. 8
B. 9
C. 12
D. 13
Ta có \({x^3} = 4x \Leftrightarrow x = - 2 \vee x = 0 \vee x = 2\)
\( \Rightarrow S = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 4x} \right)dx} } \right|\)\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2}} \right)} \right|_0^2} \right| = 8\).
Vậy \(S = 8\) (đvdt).
Chú ý:Nếu trong đoạn \(\left[ {\alpha ;{\rm{ }}\beta } \right]\) phương trình \(f(x) = g(x)\) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công thức \(\int\limits_\alpha ^\beta {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} = \left| {\int\limits_\alpha ^\beta {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} } \right|\).
Câu 3. Cho đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là
ứng dụng tích phân_3.png

A. $S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $
B. $S = \int\limits_{ - 2}^1 {f(x)dx} $
C. $S = \int\limits_0^{ - 2} {f(x)dx + } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $ D.$S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx - } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $
Theo định nghĩa ta có $S = \int\limits_{ - 2}^0 {f(x)dx - } \int\limits_0^1 {f(x)dx} $
Câu 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là
A. 19
B. 18
C. 20
D. 21
Ta có \({x^3} \ge 0\)trên đoạn ${\rm{[}}1;3]$ nên $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3}} \right|dx = } \int\limits_1^3 {{x^3}dx} = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_1^3 = 20$
Câu 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4 là
A. 4
B. \(\frac{{14}}{5}\)
C. \(\frac{{13}}{3}\)
D. \(\frac{{14}}{3}\)
Ta có \(\sqrt x \ge 0\)trên đoạn ${\rm{[1}};4]$ nên $S = \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt x } \right|dx = } \int\limits_1^4 {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}\left. {{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4 = \frac{{14}}{3}$
Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, \(x = 8\) là
A. \(\frac{{45}}{2}\)
B. \(\frac{{45}}{4}\)
C. \(\frac{{45}}{7}\)
D. \(\frac{{45}}{8}\)
Ta có \(\sqrt[3]{x} \ge 0\)trên đoạn ${\rm{[1;8}}]$ nên $S = \int\limits_1^8 {\left| {\sqrt[3]{x}} \right|dx = } \int\limits_1^8 {\sqrt[3]{x}dx} = \frac{3}{4}\left. {{x^{\frac{4}{3}}}} \right|_1^8 = \frac{{45}}{4}$
Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \pi \), \(x = \frac{{3\pi }}{2}\) là
A. 1
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 2
D. \(\frac{3}{2}\)
Ta có \(\sin x \le 0\) trên đoạn $\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ nên $S = \int\limits_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\sin x} \right|dx = } - \int\limits_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin xdx = } \left. {\cos x} \right|_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} = 1$
Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \tan x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \frac{\pi }{6}\), \(x = \frac{\pi }{4}\) là
A. \(\ln \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
B. \(\ln \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
C. \( - \ln \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
D. \( - \ln \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Ta có \(\tan x \ge 0\) trên đoạn $\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{4}} \right]$ nên $S = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\tan x} \right|dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx = } \left. { - \ln (\cos x)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = - \ln \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^{2x}}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
A. \(\frac{{{e^6}}}{2} + \frac{1}{2}\)
B. \(\frac{{{e^6}}}{2} - \frac{1}{2}\)
C. \(\frac{{{e^6}}}{3} + \frac{1}{3}\)
D. \(\frac{{{e^6}}}{3} - \frac{1}{3}\)
Ta có \({e^{2x}} \ge 0\) trên đoạn ${\rm{[}}0;3]$ nên $S = \int\limits_0^3 {\left| {{e^{2x}}} \right|dx = } \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx = } \left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_0^3 = \frac{{{e^6}}}{2} - \frac{1}{2}$
[DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG]
VẬN DỤNG THẤP
Câu
10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 4 là
A. \(\frac{{53}}{4}\)
B. \(\frac{{51}}{4}\)
C. \(\frac{{49}}{4}\)
D. \(\frac{{25}}{2}\)
Ta có \({x^3} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \in {\rm{[}}1;4]\)
Khi đó diện tích hình phẳng là
$S = \int\limits_1^4 {\left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|} dx = \left| {\int\limits_1^3 {({x^3} - 3{x^2}} )dx} \right| + \left| {\int\limits_3^4 {({x^3} - 3{x^2}} )dx} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_1^3} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^3}} \right)} \right|_3^4} \right| = 6 + \frac{{27}}{4} = \frac{{51}}{4}$
Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 4\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
A. \(\frac{{142}}{5}\)
B. $\frac{{143}}{5}$
C. $\frac{{144}}{5}$
D. \(\frac{{141}}{5}\)
Ta có \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in {\rm{[0}};3]\)
Khi đó diện tích hình phẳng là
$\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^4} - 3{x^2} - 4} \right|} dx = \left| {\int\limits_0^2 {({x^4} - 3{x^2} - 4} )dx} \right| + \left| {\int\limits_2^3 {({x^4} - 3{x^2} - 4} )dx} \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - 4x} \right)} \right|_0^2} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - 4x} \right)} \right|_2^3} \right| = \frac{{48}}{5} + \frac{{96}}{5} = \frac{{144}}{5}\end{array}$
Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) , trục hoành và đường thẳng x = 2là
A. \(3 + 2\ln 2\)
B. $3 - \ln 2$
C. $3 - 2\ln 2$
D. \(3 + \ln 2\)
Ta có \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) nên $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} dx = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^2} \right| = 3 - 2\ln 2$
Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng \(y = - x\) là
A. $\frac{7}{2}$
B. $\frac{9}{4}$
C. 3
D. $\frac{9}{2}$
Ta có \(2 - {x^2} = - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) và \(2 - {x^2} \ge - x,\forall x \in {\rm{[}} - 1;2]\)
Nên $S = \int\limits_{ - 1}^2 {(2 + x - {x^2})dx = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{9}{2}} $
Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \cos 2x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\) là
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Ta có \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} \in \left[ {{\rm{0;}}\frac{\pi }{2}} \right]\)
Nên \(S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} } \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2xdx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right| = 1\)
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 4\) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là
A. \(\frac{{71}}{5}\)
B. $\frac{{73}}{5}$
C. $\frac{{72}}{5}$
D. \(14\)
Ta có \({x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in {\rm{[0}};3]\)
Khi đó diện tích hình phẳng là
$\begin{array}{l}S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^4} - 3{x^2} - 4} \right|} dx = \left| {\int\limits_0^2 {({x^4} - 3{x^2} - 4} )dx} \right| + \left| {\int\limits_2^3 {({x^4} - 3{x^2} - 4} )dx} \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - 4x} \right)} \right|_0^2} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - 4x} \right)} \right|_2^3} \right| = \frac{{48}}{5} + \frac{{96}}{5} = \frac{{144}}{5}\end{array}$
Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\), trục hoành và đường thẳng x = 2 là
A. \(3 + 2\ln 2\)
B. $3 - \ln 2$
C. $3 - 2\ln 2$
D. \(3 + \ln 2\)
Ta có \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) nên
$S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} dx = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {x - \ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^2} \right| = 3 - 2\ln 2$
Câu 17. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\) và đường thẳng \(y = - x\) là
A. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{9}{4}$
C. 3
D. $\frac{7}{2}$
Ta có \(2 - {x^2} = - x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) và \(2 - {x^2} \ge - x,\forall x \in {\rm{[}} - 1;2]\)
Nên $S = \int\limits_{ - 1}^2 {(2 + x - {x^2})dx = \left. {\left( {2x + \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = \frac{9}{2}} $
Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \cos 2x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\) là
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có \(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} \in {\rm{[0;}}\frac{\pi }{2}{\rm{]}}\)
Nên
\(S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} } \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos 2xdx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}} \right| = 1\)
Câu 19. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\) là
A. \(\frac{1}{{12}}\)
B. \(\frac{1}{{13}}\)
C. \(\frac{1}{{14}}\)
D. \(\frac{1}{{15}}\)
Ta có \(\sqrt x = \sqrt[3]{x} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Nên \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - \sqrt[3]{x}} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^1 {(\sqrt x - \sqrt[3]{x})dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} - \frac{3}{4}\sqrt[3]{{{x^4}}}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{1}{{12}}\)
Câu 20. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(y = {x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\) là
A. \(\frac{{37}}{{13}}\)
B. \(\frac{{37}}{{12}}\)
C. 3
D. 4
Ta có \(2{x^3} - 3{x^2} + 1 = {x^3} - 4{x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)
Nên \(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 2}^0 {({x^3} + {x^2} - 2x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_0^1 {({x^3} + {x^2} - 2x)dx} } \right|\)
\( = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{37}}{{12}}\)
Câu 21. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4\), đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành là
A. \(\frac{{22}}{3}\)
B. \(\frac{{32}}{3}\)
C. \(\frac{{25}}{3}\)
D. \(\frac{{23}}{3}\)
Xét pt \( - {x^2} + 4 = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) có nghiệm x = 2
Suy ra \(S = \int\limits_0^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx + \int\limits_2^3 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx} } = \frac{{23}}{3}\)
Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = x\ln x\), trục hoành và đường thẳng \(x = e\) là
A. \(\frac{{{e^2} - 1}}{2}\)
B. \(\frac{{{e^2} + 1}}{2}\)
C. \(\frac{{{e^2} - 1}}{4}\)
D. \(\frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
Xét pt \(x\ln x = 0\) trên nữa khoảng \(\left( {0;e} \right]\)có nghiệm x = 1
Suy ra \(S = \int\limits_1^e {x\ln xdx} = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\)
Câu 23. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + x - 2,\,\,y = x + 2\)và hai đường thẳng \(x = - 2;\,\,x = 3\). Diện tích của (H) bằng
A. \(\frac{{87}}{5}\)
B. \(\frac{{87}}{4}\)
C. \(\frac{{87}}{3}\)
D. \(\frac{{87}}{5}\)
Xét phương trình \(({x^2} + x - 2) - (x + 2) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Suy ra \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx = \frac{{87}}{3}} } \)
Câu 24. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \left( {1 + {e^x}} \right)x,\,\,y = \left( {1 + e} \right)x\). Diện tích của (H) bằng
A. $\frac{{e - 1}}{2}$
B. $\frac{{e - 2}}{2}$
C. $\frac{{e - 2}}{2}$
D. $\frac{{e + 1}}{2}$
Xét pt \(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {1 + e} \right)x = 0\) có nghiệm \(x = 0,\,\,x = 1\)
Suy ra \(S = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {e - {e^x}} \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {x\left( {e - {e^x}} \right)dx} = \frac{{e - 2}}{2}\)
VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO
Câu
25. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \left| {{x^2} - 1} \right|,\,\,y = \left| x \right| + 5\). Diện tích của (H) bằng
A. \(\frac{{71}}{3}\)
B. \(\frac{{73}}{3}\)
C. \(\frac{{70}}{3}\)
D. \(\frac{{74}}{3}\)
Xét pt \(\left| {{x^2} - 1} \right| = \left| x \right| + 5\) có nghiệm \(x = - 3,\,\,x = 3\)
Suy ra \(S = \int\limits_{ - 3}^3 {\left| {\left( {\left| {{x^2} - 1} \right| - \left( {\left| x \right| + 5} \right)} \right)} \right|} dx = 2\int\limits_0^3 {\left| {\left| {{x^2} - 1} \right| - \left( {x + 5} \right)} \right|} dx\)
Bảng xét dấu \({x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)
ứng dụng tích phân_26.png

Vậy \(S = 2\left| {\int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} - x - 4} \right)} dx + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - x - 6} \right)dx} } \right| = \frac{{73}}{3}\)
Câu 26. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = \left| {{x^2} - 4x + 3} \right|,\,\,y = x + 3\). Diện tích của (H) bằng
A. \(\frac{{108}}{5}\)
B. \(\frac{{109}}{5}\)
C. \(\frac{{109}}{6}\)
D. \(\frac{{119}}{6}\)
Xét pt \(\left| {{x^2} - 4x + 3} \right| = x + 3\) có nghiệm \(x = 0,\,\,x = 5\)
Suy ra \(S = \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} + 5x} \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 3x + 6} \right)dx} } + \int\limits_3^5 {\left( { - {x^2} + 5x} \right)dx} = \frac{{109}}{6}\)
Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \((P):\,y = {x^2} + 3\), tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng
A. $\frac{8}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. 2
D. $\frac{7}{3}$
PTTT của (P) tại x = 2 là \(y = 4x + 3\)
Xét pt \(\left( {{x^2} + 3} \right) - \left( {4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)} \right|dx = \left| {\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)dx} } \right|} = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2} \right| = \frac{8}{3}\)
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số ${y^2} - 2y + x = 0,\,\,\,x + y = 0$ là
A. $\frac{9}{4}$
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{7}{2}$
D. $\frac{{11}}{2}$
Biến đổi về hàm số theo biến số y là $x = - {y^2} + 2y,\,\,\,x = - y$
Xét pt tung độ giao điểm $( - {y^2} + 2y) - \left( { - y} \right) = 0$ có nghiệm $y = 0,\,\,y = 3$
Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left| { - {y^2} + 3y} \right|dy = \int\limits_0^3 {\left( { - {y^2} + 3y} \right)dy} = \frac{9}{2}} $
Câu 29. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2};\,\,y = \frac{1}{{27}}{x^2};\,\,y = \frac{{27}}{x}$ bằng
A. $27\ln 2$
B. $27\ln 3$
C. $28\ln 3$
D. $29\ln 3$
Xét các pthđgđ ${x^2} - \frac{{{x^2}}}{{27}} = 0 \Rightarrow x = 0;{x^2} - \frac{{27}}{x} = 0 \Rightarrow x = 3;\frac{{{x^2}}}{{27}} - \frac{{27}}{x} = 0 \Rightarrow x = 9$
Suy ra
ứng dụng tích phân_30.png

$S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right)} dx + \int\limits_3^9 {\left( {\frac{{27}}{x} - \frac{{{x^2}}}{{27}}} \right)dx = 27\ln 3} $
Câu 30. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
ứng dụng tích phân_31.png

A. $\frac{8}{3}$
B. $\frac{{11}}{3}$
C. $\frac{7}{3}$
D. $\frac{{10}}{3}$
Ta có ${y^2} = y + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = 2\end{array} \right.$ , Nên $S = \int\limits_0^2 {(y + 2 - {y^2})dy = \frac{{10}}{3}} $
Câu 31. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng $y = 8x,y = x$ và đồ thị hàm số $y = {x^3}$ là $\frac{a}{b}$. Khi đó a + bbằng
A. 68
B. 67
C. 66
D. 65
Ta có $8x - x = 0 \Rightarrow x = 0;8x - {x^3} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\sqrt 2 \end{array} \right.;x - {x^3} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$
ứng dụng tích phân_32.png

Nên $S = \int\limits_0^1 {\left( {8x - x} \right)} dx + \int\limits_1^{2\sqrt 2 } {\left( {8x - {x^3}} \right)dx = \frac{{63}}{4}} $
Câu 32. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1,y = x và đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{4}$ trong miền $x \ge 0,y \le 1$là $\frac{a}{b}$. Khi đó $b - a$bằng
A. 4
B. 2
C. 3
D. 1
Ta có $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1;x - \frac{{{x^2}}}{4} = 0 \Rightarrow x = 0;1 - \frac{{{x^2}}}{4} = 0 \Rightarrow x = 2$
ứng dụng tích phân_33.png

Nên $S = \int\limits_0^1 {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)} dx + \int\limits_1^2 {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{4}} \right)dx = \frac{5}{6}} $
Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \left\{ \begin{array}{l} - x,{\rm{ n\~O u x}} \le {\rm{1}}\\x - 2,{\rm{ n\~O u x > 1}}\end{array} \right.$ và $y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}$ là $\frac{a}{b}$. Khi đó $a + 2b$bằng
A. 16
B. 15
C. 17
D. 18
[Phương pháp tự luận]
Ta có
$\begin{array}{l}\frac{{10}}{3}x - {x^2} = - x \Rightarrow x = 0\\\frac{{10}}{3}x - {x^2} = x - 2 \Rightarrow x = 3\end{array}$
Nên $S = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} + x} \right)} dx + \int\limits_1^3 {\left( {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - x + 2} \right)dx = \frac{{13}}{2}} $
Câu 34. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $(C):y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 4}}{{x - 1}}$ , tiệm cận xiêm của $(C)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = a{\rm{ }}(a < 0)$ có diện tích bằng $5$ Khi đó $a$ bằng
A. $1 - {e^5}$
B. $1 + {e^5}$
C. $1 + 2{e^5}$
D. $1 - 2{e^5}$
[Phương pháp tự luận]
Ta có
$TCX:y = - x + 3$
Nên $S(a) = \int\limits_a^0 {\left( { - \frac{1}{{x - 1}}} \right)} dx = \int\limits_0^a {\left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right)} dx = \left. {\ln \left| {x - 1} \right|} \right|_0^a = \ln (1 - a)$
Suy ra $\ln (1 - a) = 5 \Leftrightarrow a = 1 - {e^5}$
Dạng 2. Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:
Tính thể tích khối tròn xoay:
Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a và x = b (với a < b ) quay quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} $.
Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a và x = b (với a < b) quay quanh trục Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} $.

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu
35. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{4}{x}\;,\;y = 0\;,\;x = 1\;,\;x = 4$ quanh trục ox là:
A. $6\pi $
B. $6\pi $
C. ${\rm{12}}\pi $
D. $6\pi $
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_1^4 {\pi .{{(\frac{4}{x})}^2}dx} = 12\pi .\)
Câu 36. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \cos 4x{\rm{,}}\,\,{\rm{Ox,}}\,\,{\rm{x = 0,}}\,\,{\rm{x = }}\frac{\pi }{8}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(\frac{{{\pi ^2}}}{2}\)
B. \(\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}\)
C. \(\frac{\pi }{4}\)
D. \(\left( {\frac{{\pi + 1}}{{16}}} \right).\pi \)
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{8}} {\pi .{{\cos }^2}4xdx} = \frac{{{\pi ^2}}}{{16}}.\)
Câu 37. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x),\,\,Ox,\,\,x{\rm{ }} = {\rm{ }}a,\,\,x{\rm{ }} = {\rm{ }}b\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f(x)dx.} \)
B. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)
C. \(V = \int\limits_a^b {{\pi ^2}.{f^2}(x)dx.} \)
D. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx.} \)
Câu 38. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {x - 1\,} $; trục Ox và đường thẳng x = 3 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. $\frac{3}{2}\pi $
B. $3\pi $
C. $2\pi $
D. $\pi $
Giao điểm của hai đường \(y = \sqrt {x - 1} \)và \(y = 0\) là \(A(1;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_1^3 {(x - 1)dx = 2\pi .} \)
Câu 39. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} + 1,\,\,y = 0,\,\,x = 0,\,\,x = 1\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. $\frac{{79\pi }}{{63}}$
B. $\frac{{23\pi }}{{14}}$
C. $\frac{{5\pi }}{4}$
D. $9\pi $
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{({x^3} + 1)}^2}dx = \frac{{23\pi }}{{14}}.} \)
Câu 40. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^2} = x,\,\,x = a,\,\,x = b\,\,(0 < a < b)\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(V = {\pi ^2}\int_a^b {xdx.} \)
B. \(V = \pi \int_a^b {\sqrt x dx.} \)
C. \(V = \pi \int_a^b {xdx.} \)
D. \(V = {\pi ^2}\int_a^b {\sqrt x dx.} \)
Với $x \in \left[ {a;b} \right]$thì ${y^2} = x \Leftrightarrow y = \sqrt x $.
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int_a^b {xdx.} \)
Câu 41. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = - {x^2} + 2x,\,\,y = 0\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(\frac{{496\pi }}{{15}}\)
B. \(\frac{{4\pi }}{3}\)
C. \(\frac{{64\pi }}{{15}}\)
D. \(\frac{{16\pi }}{{15}}\)
Giao điểm của hai đường \({y^2} = - {x^2} + 2x\)và \(y = 0\) là \(O(0;0)\)và \(A(2;0)\). Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^2 {{{( - {x^2} + 2x)}^2}dx = \frac{{16\pi }}{{15}}.} \)
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {1 - {x^2}} ,\,\,y = 0\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(\frac{{3\pi }}{2}\)
B. \(\frac{{2\pi }}{3}\)
C. \(\frac{\pi }{2}\)
D. \(\frac{4}{3}\pi \)
Giao điểm của hai đường \(y = \sqrt {1 - {x^2}} \)và \(y = 0\) là \(B( - 1;0)\)và \(A(1;0)\). Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})dx = \frac{{4\pi }}{3}.} \)
Câu 43. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0;\;x = \pi \) và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm \((x;0;0)\)bất kỳ là đường tròn bán kính \(\sqrt {\sin x} \) là:
A. \(V = 2.\)
B. \(V = \pi .\)
C. \(V = 4\pi .\)
D. \(V = 2\pi .\)
Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường \(x = 0;\;x = \pi ;\;y = \sqrt {\sin x} ;\;Ox\)quay trục Ox.
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^\pi {\sin {\rm{x}}dx = 2\pi .} \)
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \tan x,\,\,y = 0,\,\,x = 0,\,\,x = \frac{\pi }{3}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\)
B. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\)
C. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\)
D. \(V = \pi \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right)\)
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}dx = \pi \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right).} \)
Câu 45. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 1 + \sqrt x {\rm{,}}\,\,{\rm{Ox,}}\,\,{\rm{x = 0,}}\,\,{\rm{x = 4}}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \({\pi ^2}\frac{{28}}{3}\)
B. \(\pi .\frac{{68}}{3}\)
C. \(\pi \frac{{28}}{3}\)
D. \({\pi ^2}.\frac{{68}}{3}\)
Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {\pi .{{(1 + \sqrt x )}^2}dx} = \frac{{68\pi }}{3}.\)
VẬN DỤNG
Câu
46. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \({x^2} + {y^2} = 16\)(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:
ứng dụng tích phân_47.png

A. \(\int_{ - 4}^4 {4\left( {16 - {x^2}} \right)dx} \)
B. \(\int_{ - 4}^4 {4{x^2}dx} \)
C. \(\int_{ - 4}^4 {4\pi {x^2}dx} \)
D. \(\int_{ - 4}^4 {4\pi \left( {16 - {x^2}} \right)dx} \)
Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng \(2.\sqrt {16 - {x^2}} \). Vậy thể tích của vật thể bằng \(V = \int_{ - 4}^4 {S(x)dx} = \int_{ - 4}^4 {4\left( {16 - {x^2}} \right)dx} .\)
Câu 47. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường ${y^2} = 4x$ và đường thẳng x = 4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
ứng dụng tích phân_48.png

A. $32\pi $
B. $64\pi $
C. $16\pi $
D. $4\pi $
Giao điểm của hai đường \({y^2} = 4x\)và x = 4 là \(D(4; - 4)\)và \(E(4;4)\). Phần phía trên Ox của đường \({y^2} = 4x\)có phương trình \(y = 2\sqrt x \). Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^4 {\pi .{{(2\sqrt x )}^2}dx} = 32\pi .\)
Câu 48. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x,\,\,y = 0,\,\,x = 2\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_49.png

A. \(2{\ln ^2}2 - 4\ln 2 + 2\)
B. \(\pi \left( {2{{\ln }^2}2 + 4\ln 2 - 2} \right)\)
C. \(\pi \left( {2{{\ln }^2}2 - 4\ln 2 + 2} \right)\)
D. \(\pi \left( {2\ln 2 - 1} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = \ln x\) và \(y = 0\) là điểm \(C(1;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_1^2 {\pi .{{\ln }^2}xdx = \pi \left( {2{{\ln }^2}2 - 4\ln 2 + 2} \right).} \)
Câu 49. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = a.{x^2},\,\,y = bx\,\,(a,b \ne 0)\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_50.png

A. \(V = \pi .\frac{{{b^3}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)\)
B. \(V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}}\)
C. \(V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}\)
D. \(V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right)\)
Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = a{x^2}\) và \(y = bx\) là các điểm \(O(0;0)\) và \(A(\frac{b}{a};\frac{{{b^2}}}{a})\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_0^{\frac{b}{a}} {\pi .{b^2}{x^2}dx - \int\limits_0^{\frac{b}{a}} {\pi .{a^2}{x^4}dx} = \pi .\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}).} \)
Câu 50. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,y = \frac{1}{3}{x^2}\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_51.png

A. \(V = \frac{{24\pi \sqrt 3 }}{5}\)
B. \(V = \frac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}\)
C. \(V = \frac{{28\pi \sqrt 2 }}{5}\)
D. \(V = \frac{{24\pi \sqrt 2 }}{5}\)
Tọa độ giao điểm của hai đường \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) và \(y = \frac{1}{3}{x^2}\) là các điểm \(A( - \sqrt 3 ;1)\) và \(B(\sqrt 3 ;1)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: \(V = \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\pi .(4 - {x^2})dx - \int\limits_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\pi .\frac{1}{9}{x^4}dx} = \pi .} \frac{{28\sqrt 3 }}{5}.\)
Câu 51. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 3x,\,\,y = x,\,\,x = 0,\,\,x = 1\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_52.png

A. \(V = \frac{{8\pi }}{3}.\)
B. \(V = \frac{{4\pi }}{3}.\)
C. \(V = \frac{{2\pi }}{3}.\)
D. \(V = \pi .\)
Tọa độ giao điểm của đường x = 1 với \(y = x\) và \(y = 3x\) là các điểm \(C(1;1)\) và \(B(3;1)\). Tọa độ giao điểm của đường \(y = 3x\) với \(y = x\) là \(O(0;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_0^1 {\pi .9{x^2}dx - \int\limits_0^1 {\pi .{x^2}dx} = \pi .} \frac{8}{3}.$
Câu 52. Gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$, $\left( {{C_2}} \right):y = g\left( x \right)$, hai đường thẳng $x = a$, $x = b$, $a < b$. Giả sử rằng $\left( {{C_1}} \right)$ và $\left( {{C_2}} \right)$ không có điểm chung trên $\left[ {a,b} \right]$ và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh Ox là $V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} - {{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right)dx} $. Khi đó
ứng dụng tích phân_53.png

(1): f( x ) > g( x ), ∀x ∈ [a, b]
(2): f( x ) > g( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]
(3): 0 ≤ f( x ) < g( x ), ∀x ∈ [a, b]
Số nhận định đúng trong các nhận định trên là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Từ giả thiết ta suy ra có thể xảy ra một trong hai trường hợp:
(2): f( x ) > g( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] hoặc (3): 0 ≤ f( x ) < g( x ), ∀x ∈ [a, b]
Do đó số nhận định đúng là không.
Câu 53. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x.\sqrt {\ln x} ,\,\,y = 0,\,\,x = e\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_54.png

A. $\pi .\frac{{4{e^3} + 1}}{9}$
B. $\pi .\frac{{4{e^3} - 1}}{9}$
C. $\pi .\frac{{2{e^3} + 1}}{9}$
D. $\pi .\frac{{2{e^3} - 1}}{9}$
Tọa độ giao điểm của đường \(x = e\) với \(y = x\sqrt {\ln x} \) là điểm \(C(3;3)\). Tọa độ giao điểm của đường \(y = x\sqrt {\ln x} \) với \(y = 0\) là \(A(1;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_1^e {\pi .{x^2}\ln xdx = \pi .} \frac{{2{e^3} + 1}}{9}.$
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x,\,\,y = 0\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_55.png

A. $\frac{{729\pi }}{{35}}$
B. $\frac{{27\pi }}{4}$
C. $\frac{{256608\pi }}{{35}}$
D. $\frac{{7776\pi }}{5}$
Tọa độ giao điểm của đường \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) với \(y = 0\) là các điểm \(C(e;e)\) và \(A(3;0)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_0^3 {\pi .{{\left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x} \right)}^2}dx = \pi .} \frac{{729}}{{35}}.$
Câu 55. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn\({x^2} + {y^2} = 16\)(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
ứng dụng tích phân_56.png

A. $V = \frac{{256\sqrt 3 }}{3}.$
B. $V = \frac{{256}}{3}.$
C. $V = \frac{{32\sqrt 3 }}{3}.$
D. $V = \frac{{32}}{3}.$
Giao điểm của thiết diện và Ox là H. Đặt \(OH = x\) suy ra cạnh của thiết diện là \(2\sqrt {16 - {x^2}} \). Diện tích thiết diện tại H là \(S(x) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}4(16 - {x^2})\).
Vậy thể tích của vật thể là \(V = \int\limits_{ - 4}^4 {\sqrt 3 (16 - {x^2})dx = \frac{{256\sqrt 3 }}{3}.} \)
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2},\,\,{y^2} = 4x\) quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
ứng dụng tích phân_57.png

A. \(V = \frac{{88\pi }}{5}.\)
B. \(V = \frac{{9\pi }}{{70}}.\)
C. \(V = \frac{{4\pi }}{3}.\)
D. \(V = \frac{{6\pi }}{5}.\)
Với $x \in \left[ {0;2} \right]$ thì \({y^2} = 4x \Leftrightarrow y = \sqrt {4x} \)
Tọa độ giao điểm của đường \(y = 2{x^2}\) với \({y^2} = 4x\) là các điểm \(O(0;0)\) và \(A(1;2)\). Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: $V = \int\limits_0^1 {\pi .4xdx - \int\limits_0^1 {\pi .4{x^4}dx} = \pi .} \frac{6}{5}.$
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...