Toán 12 Phương trình logarit và bất phương trình logarit

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa

  • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
  • Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho a, b > 0, a ≠ 1
  • Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \({\log _a}f(x) = b\)
  • Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \({\log _a}f(x) > b;\,\,{\log _a}f(x) \ge b;\,\,{\log _a}f(x) < b;\,\,{\log _a}f(x) \le b\)
3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
Đưa về cùng cơ số
  • \({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) = g(x)\end{array} \right.\), với mọi 0 < a, a ≠ 1.
  • Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) > 0\\f(x) > g(x)\end{array} \right.\).
  • Nếu \(0 < a < 1\) thì ${\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) > 0\\f(x) < g(x)\end{array} \right.$.
Đặt ẩn phụ
Mũ hóa

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Điều kiện xác định của phương trình
Câu
1: Điều kiện xác định của phươg trình \(\log ({x^2} - x - 6) + x = \log (x + 2) + 4\) là
A. x > 3
B. x > - 2
C. \(\mathbb{R}\backslash {\rm{[}} - 2;3]\)
D. x > 2
2. Kiểm tra xem giá trị nào là nghiệm của phương trình
Câu
2: Phương trình \({\log _3}(3x - 2) = 3\)có nghiệm là:
A. $x = \frac{{29}}{3}$
B. $x = \frac{{11}}{3}$
C. $x = \frac{{25}}{3}$
D. x = 87
3. Tìm tập nghiệm của phương trình
Câu
3: Phương trình $\log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0$ có tập nghiệm là:
A. \(\left\{ {3;15} \right\}\)
B. \(\left\{ {1;3} \right\}\)
C. \(\left\{ {1;2} \right\}\)
D. \(\left\{ {1;5} \right\}\)
4. Tìm số nghiệm của phương trình
Câu
4: Số nghiệm của phương trình \({\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 2\) là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
5. Tìm nghiệm lớn nhất, hay nhỏ nhất của phương trình
Câu
5: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình \({\log ^3}x - 2{\log ^2}x = \log x - 2\) là
A. $x = \frac{1}{2}$
B. $x = \frac{1}{4}$
C. x = 2
D. \(x = 4\)
6. Tìm mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình (tổng, hiệu, tích, thương…)
Câu
6: Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0$. Khi đó tích \({x_1}.{x_2}\) bằng:
A. 1
B. - 1
C. - 2
D. 2
7. Cho một phương trình, nếu đặt ẩn phụ thì thu được phương trình nào (ẩn t)
Câu
7: Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) thì phương trình \(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1\) trở thành phương trình nào
A. \({t^2} - 5t + 6 = 0\)
B. \({t^2} + 5t + 6 = 0\)
C. \({t^2} - 6t + 5 = 0\)
D. \({t^2} + 6t + 5 = 0\)
8. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình thỏa điều kiện về nghiệm số (có nghiệm, vô nghiệm, 2 nghiệm thỏa điều kiện nào đó…)
Câu
8: Tìm m để phương trình \(\log _3^2x + 2{\log _3}x + m - 1 = 0\) có nghiệm
A. \(m \le 2\)
B. m < 2
C. \(m \ge 2\)
D. m > 2
Câu 9: Tìm m để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)
A. \(m \in [0;2]\)
B. \(m \in (0;2)\)
C. \(m \in (0;2]\)
D. \(m \in [0;2)\)
9. Điều kiện xác định của bất phương trình
Câu
10: Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}(4x + 2) - {\log _{\frac{1}{2}}}(x - 1) > lo{g_{\frac{1}{2}}}x\) là:
A. x > 1
B. x > 0
C. $x > - \frac{1}{2}$
D. x > -1
10. Tìm tập nghiệm của bất phương trình
Câu
11: Bất phương trình \({\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2\) có tập nghiệm:
A. $( - \infty ;0]$
B. \(( - \infty ;0)\)
C. ${\rm{[}}0; + \infty )$
D. $\left( {0; + \infty } \right)$
Câu 12: Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:
A. \(\left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
B. \(\left[ {1 - \sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\)
D. \(\left( { - \infty ;1 - \sqrt 2 } \right]\)
11. Tìm nghiệm nguyên (tự nhiên) lớn nhất, nguyên (tự nhiên) nhỏ nhất của bất phương trình
Câu
13: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:
A. 17
B. 16
C. 15
D. 18
12. Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình thỏa điều kiện về nghiệm số (có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện nào đó…)
Câu
14: Tìm m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} - 1).{\log _2}({2.5^x} - 2) \le m\) có nghiệm \(x \ge 1\)
A. \(m \ge 3\)
B. m > 3
C. \(m \le 3\)
D. m<3


II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
1. Điều kiện xác định của phươg trình \({\log _{2x - 3}}16 = 2\) là:
A. \(x \in \mathbb{R}\backslash \left[ {\frac{3}{2};2} \right]\).
B. \(x \ne 2\).
C. \(\frac{3}{2} < x \ne 2\).
D. \(x > \frac{3}{2}\).
Biểu thức\({\log _{2x - 3}}16\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3 > 0\\2x - 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x \ne 2$
Câu 2. Điều kiện xác định của phươg trình \({\log _x}(2{x^2} - 7x - 12) = 2\) là:
A. \(x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
B. \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\).
C. \(x \in \left( {0;1} \right)\).
D. \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Biểu thức \({\log _x}(2{x^2} - 7x - 12)\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2{x^2} - 7x + 12 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\2\left[ {{{(x - \frac{7}{4})}^2} + \frac{{47}}{{16}}} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in (0;1) \cup (1; + \infty )$
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình \({\log _5}(x - 1) = {\log _5}\frac{x}{{x + 1}}\)là:
A. $x \in \left( {1; + \infty } \right)$.
B. \(x \in \left( { - 1;0} \right)\).
C. \(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} - 1;0]\).
D. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\).
Biểu thức \({\log _5}(x - 1)\)và \({\log _5}\frac{x}{{x + 1}}\) xác định$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{x + 1}} > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1 \vee x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$
chọn đáp án A.
Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình\({\log _9}\frac{{2x}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}\) là:
A. $x \in \left( { - 1; + \infty } \right)$.
B. \(x \in \mathbb{R}\backslash {\rm{[}} - 1;0]\).
C. $x \in \left( { - 1;0} \right)$.
D. \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\).
Biểu thức \({\log _9}\frac{{2x}}{{x + 1}}\) xác định :
$ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow x < - 1 \vee x > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup (0; + \infty )$
Câu 5. Phương trình \({\log _2}(3x - 2) = 2\)có nghiệm là:
A. \(x = \frac{4}{3}\).
B. \(x = \frac{2}{3}\).
C. x = 1.
D. x = 2.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2 > 0\\3x - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$.
Câu 6. Phương trình\({\log _2}(x + 3) + {\log _2}(x - 1) = {\log _2}5\) có nghiệm là:
A. x = 2.
B. x = 1.
C. x = 3.
D. x = 0.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\(x + 3)(x - 1) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 8\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 2$.
Câu 7. Phương trình \({\log _3}({x^2} - 6) = {\log _3}(x - 2) + 1\) có tập nghiệm là:
A. \(T = {\rm{\{ }}0;3\} \).
B. \(T = \emptyset \).
C. \(T = {\rm{\{ }}3\} \).
D. $T = {\rm{\{ }}1;3\} $.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6 > 0\\x - 3 > 0\\{x^2} - 6 = 3(x - 3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - \sqrt 6 \vee x > \sqrt 6 \\x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $.
Câu 8. Phương trình $\log _2^{}x + {\log _2}(x - 1) = 1$ có tập nghiệm là:
A. \(\left\{ { - 1;3} \right\}\).
B. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
C. \(\left\{ 2 \right\}\).
D. \(\left\{ 1 \right\}\).
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 1 > 0\\{\log _2}\left[ {x(x - 1)} \right] = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$, chọn đáp án A.
Câu 9. Phương trình $\log _2^2(x + 1) - 6{\log _2}\sqrt {x + 1} + 2 = 0$ có tập nghiệm là:
A. \(\left\{ {3;15} \right\}\).
B. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
C. \(\left\{ {1;2} \right\}\).
D. \(\left\{ {1;5} \right\}\).
PT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{\log ^2}_2(x + 1) - 3{\log _2}(x + 1) + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}(x + 1) = 1\\{\log _2}(x + 1) = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Câu 10. Số nghiệm của phương trình\({\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 2\) là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\\{\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\frac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\frac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) - 1 = 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 16\end{array} \right. \Rightarrow x = 16$.
Câu 11. Số nghiệm của phương trình\({\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x\) là:
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. 3.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2x - 1 > 0\\{\log _2}x.{\log _3}(2x - 1) = 2{\log _2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\{\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x - 1) - 2} \right] = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\{\log _3}(2x - 1) = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.$.
Câu 12. Số nghiệm của phương trình\({\log _2}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _2}x = 0\)là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} + 1 > 0\\{x^2} - x + 1 > 0\\{\log _{{2^{}}}}({x^3} + 1) - {\log _2}({x^2} - x + 1) - 2{\log _{{2^{}}}}x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\frac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\frac{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}({x^2} - x + 1)}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset $.
Câu 13. Số nghiệm của phương trình ${\log _5}\left( {5x} \right) - {\log _{25}}\left( {5x} \right) - 3 = 0$là :
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _5}(5x) - {\log _{25}}(5x) - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _5}(5x) - \frac{1}{2}{\log _5}(5x) - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\frac{1}{2}{\log _5}(5x) - 3 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _5}(5x) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\5x = {5^6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = {5^5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {5^5}$.
Câu 14. Phương trình\({\log _3}(5x - 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\).Giá trị của \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\) là
A. 5.
B. 14.
C. 3.
D. 13.
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - 3 > 0\\{\log _3}(5x - 3) + {\log _{\frac{1}{3}}}({x^2} + 1) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{5}\\{\log _3}(5x - 3) - {\log _3}({x^2} + 1) = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{5}\\{\log ^{}}_3(5x - 3) = {\log ^{}}_3({x^2} + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{5}\\5x - 3 = {x^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{5}\\{x^2} - 5x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{5}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$Vậy \(2{x_1} + 3{x_2} = 2.1 + 3.4 = 14\).
Câu 15. Hai phương trình \(2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\) và \({\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)\) lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là \({x_1},{x_2}\). Tổng \({x_1} + {x_2}\) là?
A. 8.
B. 6.
C. 4.
D. 10.
PT1:\(2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\)
PT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 > 0\\2x + 1 > 0\\2{\log _5}(3x - 1) + 1 = {\log _{\sqrt[3]{5}}}(2x + 1)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{3}\\{\log _5}{(3x - 1)^2} + {\log _5}5 = 3{\log _5}(2x + 1)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{3}\\{\log _5}5{(3x - 1)^2} = {\log _5}{(2x + 1)^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{3}\\5{(3x - 1)^2} = {(2x + 1)^3}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{3}\\5(9{x^2} - 6x + 1) = 8{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{3}\\8{x^3} - 33{x^2} + 36x - 4 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{8}\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} = 2$
PT2:\({\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)\)
PT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 8 > 0\\x + 2 > 0\\{\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 2 \vee x > 4\\x > - 2\\{\log _2}({x^2} - 2x - 8) = 1 + {\log _2}(x + 2)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{\log _2}({x^2} - 2x - 8) = {\log _2}2(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{x^2} - 2x - 8 = 2(x + 2)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\{x^2} - 4x - 12 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 6\)
Vậy \({x_1} + {x_2} = 2 + 6 = 8\).
Câu 16. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0$. Khi đó tích${x_1}.{x_2}$ bằng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. - 2.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện:\(0 < x \ne 1\)
PT$ \Leftrightarrow {\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 - {\log _{{2^4}}}x = 0 \Leftrightarrow {\log _x}2 - \frac{1}{4}{\log _2}x = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _x}2 - \frac{1}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4{{({{\log }_x}2)}^2} - 1}}{{4{{\log }_x}2}} = 0 \Leftrightarrow 4{({\log _x}2)^2} - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow {({\log _x}2)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _x}2 = \frac{1}{2}\\{\log _x}2 = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 = {x^{\frac{1}{2}}}\\2 = {x^{ - \frac{1}{2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 4\\{x_2} = \frac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy \({x_1}.{x_2} = 4.\frac{1}{4} = 1\).
[Phương pháp trắc nghiệm]
Đáp án B,D có tích âm thì có thể \({x_1} < 0\)hoặc\({x_2} < 0\)thì không thỏa mãn điều kiện của \(x\)nên loại.
Câu 17. Nếu đặt \(t = {\log _2}x\) thì phương trình\(\frac{1}{{5 - {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{1 + {{\log }_2}x}} = 1\) trở thành phương trình nào?
A. \({t^2} - 5t + 6 = 0\).
B. \({t^2} + 5t + 6 = 0\).
C. \({t^2} - 6t + 5 = 0\).
D. \({t^2} + 6t + 5 = 0\).
Đặt \(t = {\log _2}x\)
PT$ \Leftrightarrow \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2(5 - t)}}{{(5 - t)(1 + t)}} = 1 \Leftrightarrow 1 + t + 2(5 - t) = (5 - t)(1 + t)$
$ \Leftrightarrow 11 - t = 5 + 4t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = 0$.
Câu 18. Nếu đặt \(t = \lg x\) thì phương trình$\frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1$ trở thành phương trình nào?
A. \({t^2} + 2t + 3 = 0\).
B. \({t^2} - 3t + 2 = 0\).
C. \({t^2} - 2t + 3 = 0\).
D. \({t^2} + 3t + 2 = 0\).
Đặt \(t = \lg x\)
PT$ \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1 \Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)$
$ \Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0$.
Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình \({\log _2}^3x - 2{\log ^2}_2x = {\log _2}x - 2\) là:
A. \(x = 4\).
B. $x = \frac{1}{4}$.
C. x = 2.
D. $x = \frac{1}{2}$.
TXĐ:x > 0
PT$ \Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x = {\log _2}x - 2 \Leftrightarrow {\log _2}^3x - 2{\log _2}^2x - {\log _2}x + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow {\log _2}^3x - {\log _2}x - 2{\log _2}^2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\log _2}x({\log ^2}_2x - 1) - 2({\log ^2}_2x - 1) = 0$
$ \Leftrightarrow ({\log ^2}_2x - 1)({\log _2}x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log ^2}_2x - 1 = 0\\{\log _2}x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = - 1\\{\log _2}x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\\x = 4\end{array} \right.$
$ \Rightarrow x = \frac{1}{2}$là nghiệm nhỏ nhất.
Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}(4x + 2) - {\log _{\frac{1}{2}}}(x - 1) > lo{g_{\frac{1}{2}}}x\)là:
A. $x > - \frac{1}{2}$.
B. x > 0.
C. x > 1.
D. x > - 1.
BPT xác định khi:\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\4x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > - \frac{1}{2}\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).
Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _2}(x + 1) - 2{\log _4}(5 - x) < 1 - {\log _2}(x - 2)\)là:
A. 2 < x < 5.
B. 1 < x < 2.
C. 2 < x < 3.
D. - 4 < x < 3.
BPT xác định khi :$\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\5 - x > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x < 5\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < x < 5$.
Câu 22. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_2}(2 - {x^2})} \right] > 0\)là:
A. \(x \in {\rm{[}} - 1;1]\).
B. \(x \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\).
C. \(x \in \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
D. \(x \in \left( { - 1;1} \right)\).
BPT xác định khi :$\left\{ \begin{array}{l}2 - {x^2} > 0\\{\log _2}(2 - {x^2}) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\2 - {x^2} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\1 - {x^2} > 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < 1$.
Câu 23. Bất phương trình${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2$ có tập nghiệm là:
A. ${\rm{[}}0; + \infty )$.
B. \(( - \infty ;0)\).
C. $( - \infty ;0]$.
D. $\left( {0; + \infty } \right)$.
Xét \(x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) > {\log _2}2 = 1\left( 1 \right)\)
\(x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) > {\log _3}3 = 1\left( 2 \right)\)
Cộng vế với vế của\(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\)ta được:${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2$
Mà BPT: ${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2$ nên \(x > 0\left( {loai} \right)\)
Xét \(x \le 0 \Rightarrow {2^x} \le {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \le 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) \le {\log _2}2 = 1\left( 3 \right)\)
\(x \le 0 \Rightarrow {4^x} \le {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \le 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) \le {\log _3}3 = 1\left( 4 \right)\)
Cộng vế với vế của\(\left( 3 \right)\)và\(\left( 4 \right)\)ta được:${\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \le 2\left( {tm} \right)$
Vậy \(x \le 0\)hay \(x \in \left( { - \infty ;0} \right]\).
Câu 24. Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:
A. \(\left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
B. \(\left[ {1 - \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
C. \(\left( { - \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\).
D. \(\left( { - \infty ;1 - \sqrt 2 } \right]\).
TXĐ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1 \vee x > 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$
BPT$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge {\log _{{2^{ - 1}}}}\left( {x - 1} \right) + 1$
$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} \ge 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} \ge 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) \ge 0$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1 - \sqrt 2 \left( {loai} \right)\\x \ge 1 + \sqrt 2 \left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 1 + \sqrt 2 $
Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) \ge {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:
A. 6.
B. 10.
C. 8.
D. 9.
BPT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\\ + {\log _2}\left( {{{\log }_{{2^2}}}x} \right) \ge {\log _{{2^2}}}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) \ge \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ + {\log _2}\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) \ge \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) - 1 \ge \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right)\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) \ge 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _2}x \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ge 8\end{array} \right. \Rightarrow x \ge 8$
Câu 26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình\({\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) \le {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {1 - x} \right)\)là:
A. x = 0.
B. x = 1.
C. $x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$.
D. $x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$.
BPT$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} > 0\\1 - x > 0\\{\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) \le - {\log _3}\left( {1 - x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x < 1\\{\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right) + {\log _3}\left( {1 - x} \right) \le 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\{\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - x} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\{\log _3}\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - x} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - x} \right) \le 1\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x({x^2} - x - 1) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x \le \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \le x \le \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \vee 0 \le x < 1$
\( \Rightarrow x = 0\)là nghiệm nguyên nhỏ nhất.
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}({x^2} - 3x + 1) \le 0\) là:
A. \(S = \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\).
B. \(S = \left( {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right)\) .
C. \(S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\).
D. \(S = \emptyset \).
BPT\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1 > 0\\{\log _2}({x^2} - 3x + 1) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1 > 0\\{x^2} - 3x + 1 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1 > 0\\{x^2} - 3x + 1 \le 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} \vee x > \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\\0 \le x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2};3} \right]\)
Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình \({\log _2}(x - 5) + {\log _3}(x + 2) = 3\)là:
A. $x \ge 5$.
B. x > - 2.
C. - 2 < x < 5.
D. x > 5.
[Phương pháp tự luận]
PT xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 > 0\\x + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _2}(X - 5) + {\log _3}(X + 2) - 3\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
C. Vậy loại đáp án B và
C.
Nhấn CALC và cho $X = 5$(thuộc đáp án D) máy tính không tính đượ
C. Vậy loại
D.
Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình \(\log ({x^2} - 6x + 7) + x - 5 = \log (x - 3)\)là:
A. $x > 3 + \sqrt 2 $.
B. x > 3.
C. $\left[ \begin{array}{l}x > 3 + \sqrt 2 \\x < 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.$.
D. $x < 3 - \sqrt 2 $.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6{\rm{x + 7}} > 0\\x - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 3 + \sqrt 2 \\x < 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2 \)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\log ({X^2} - 6X + 7) + X - 5 - \log (X - 3)\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính đượ
C. Vậy loại đáp án C và D.
Nhấn CALC và cho x = 4(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
C. Vậy loại B.
Câu 30. Phương trình ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6$có nghiệm là:
A. x = 27.
B. x = 9.
C. $x = {3^{12}}$.
D. .$x = {\log _3}6$..
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _3}X + {\log _{\sqrt 3 }}X + {\log _{\frac{1}{3}}}X - 6\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.
Câu 31. Phương trình $\ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x$có nghiệm là:
A. x = - 2.
B. $\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.$.
C. x = 4.
D. x = 1.
[Phương pháp tự luận]
$\ln \frac{{x - 1}}{{x + 8}} = \ln x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\frac{{x - 1}}{{x + 8}} = x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \frac{{X - 1}}{{X + 8}} - \ln X\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.
Câu 32. Phương trình $\log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0$có tập nghiệm là:
A. $\left\{ {8;2} \right\}$.
B. $\left\{ {1;3} \right\}$.
C. $\left\{ {6;2} \right\}$.
D. $\left\{ {6;8} \right\}$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\log _2^2x - 4{\log _2}x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 8\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\log _2^2X - 4{\log _2}X + 3\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.
Câu 33. Tập nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{\log _2}{\left( {x + 2} \right)^2} - 1 = 0$là:
A. $\left\{ 0 \right\}$.
B. $\left\{ {0; - 4} \right\}$.
C. $\left\{ { - 4} \right\}$.
D. $\left\{ { - 1;0} \right\}$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x \ne - 2$
$pt \Leftrightarrow {\log _2}\left| {x + 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + 2} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 2\\x + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\frac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\left( {X + 2} \right)}^2}} \right) - 1\)
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.
Câu 34. Tập nghiệm của phương trình ${\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} \right)$ là:
A. $\left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}$.
B. $\left\{ {1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right\}$.
C. $\left\{ {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}$.
D. $\left\{ {1 - \sqrt 2 } \right\}$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0và ${x^2} - x - 1 > 0$
Với điều kiện đó thì ${\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ . Phương trình đã cho tương đương phương trình
${\log _{\frac{1}{2}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {x^2} - x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 $
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${\log _2}\frac{1}{X} - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{X^2} - X - 1} \right)$
Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng.
Câu 35. Phương trình ${\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
[Phương pháp tự luận]
${\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {2^{2x + 1}} \Leftrightarrow {2.4^x} - {3.2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _2}\left( {3x{2^X} - 1} \right) - 2X - 1 = 0\)
Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn = . Máy hiện X=0.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
C. Viết lại phương trình: \(\frac{{{{\log }_2}\left( {3x{2^X} - 1} \right) - 2X - 1}}{{X - A}} = 0\)
Ấn SHIFT CAL
C. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1.
Ấn Alpha X Shift STO
B.
Ấn A
C. Viết lại phương trình: $\frac{{{{\log }_2}\left( {3{\rm{x}}{2^X} - 1} \right) - 2X - 1}}{{\left( {X - A} \right)\left( {X - B} \right)}} = 0$
Ấn SHIFT CAL
C. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1=
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.
Câu 36. Số nghiệm của phương trình $\ln \left( {{x^2} - 6{\rm{x}} + 7} \right) = \ln \left( {x - 3} \right)$là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
[Phương pháp tự luận]
$\ln \left( {{x^2} - 6x + 7} \right) = \ln \left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\{x^2} - 6x + 7 = x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \left( {{X^2} - 6X + 7} \right) - \ln \left( {X - 3} \right) = 0\)
Ấn SHIFT CALC nhập X=4 (chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình), ấn = . Máy hiện X=5.
Ấn Alpha X Shift STO A
Ấn A
C. Viết lại phương trình: \(\frac{{\ln \left( {{X^2} - 6X + 7} \right) - \ln \left( {X - 3} \right)}}{{X - A}} = 0\)
Ấn SHIFT CAL
C. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =.
Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm.
Câu 37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $ - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} \right)$ là:
A. $\frac{1}{5}$.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
$\begin{array}{l} - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow - 2{\log _3}\left( {x - 2} \right).{\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x - 2} \right) = 0\\{\log _5}x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}\left( {x - 2} \right) = 0\\{\log _5}x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}$
So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x = 3.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {X - 2} \right).{\log _5}X - 2{\log _3}\left( {X - 2} \right)$
Nhấn CALC và cho $X = \frac{1}{5}$ (số nhỏ nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
A.
Nhấn CALC và cho $X = 1$ ta thấy sai. Vậy loại đáp án D.
Nhấn CALC và cho x = 2 ta thấy sai. Vậy loại đáp án C.
Câu 38. Nghiệm lớn nhất của phương trình $ - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x$ là :
A. 100.
B. 2.
C. 10.
D. 1000.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$ - {\log ^3}x + 2{\log ^2}x = 2 - \log x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = - 1\\\log x = 2\\\log x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{10}}\\x = 100\\x = 10\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính $ - {\log ^3}X + 2{\log ^2}X - 2 + \log X$
Nhấn CALC và cho $X = 1000$ (số lớn nhất) ta thấy sai. Vậy loại đáp án
D.
Nhấn CALC và cho $X = 100$ ta thấy đúng.
Câu 39. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\({\log _3}\left( {{x^2} - x - 5} \right) = {\log _3}\left( {2x + 5} \right)\).
Khi đó$\left| {{x_1} - {x_2}} \right|$bằng:
A. 5.
B. 3.
C. - 2.
D. 7.
[Phương pháp tự luận]
\({\log _3}\left( {{x^2} - x - 5} \right) = {\log _3}\left( {2x + 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 5 > 0\\{x^2} - x - 5 = 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 2\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2.
Câu 40. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\). Khi đó ${x_1}.{x_2}$bằng:
A. $\frac{1}{2}$.
B. $\frac{1}{8}$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $\frac{3}{4}$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x \ne \frac{1}{{16}}\end{array} \right.$.
Đặt $t = {\log _2}x$,điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}t \ne - 4\\t \ne 2\end{array} \right.$. Khi đó phương trình trở thành:
$\frac{1}{{4 + t}} + \frac{2}{{2 - t}} = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy ${x_1}.{x_2} = \frac{1}{8}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là $\frac{1}{2}$và $\frac{1}{4}$.
Câu 41. Gọi ${x_1},{x_2}$là 2 nghiệm của phương trình\({\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1\). Khi đó${x_1} + {x_2}$bằng:
A. - 3.
B. - 2.
C. $\sqrt {17} $.
D. $\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\x > 0\end{array} \right.$
\({\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0\)
Vậy${x_1} + {x_2} = - 3.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và
B. Tính A + B = – 3.
Câu 42. Nếu đặt $t = {\log _2}x$thì phương trình ${\log _2}\left( {4x} \right) - {\log _x}2 = 3$trở thành phương trình nào?
A. ${t^2} - t - 1 = 0$.
B. $4{t^2} - 3t - 1 = 0$.
C. $t + \frac{1}{t} = 1$.
D. $2t - \frac{1}{t} = 3$.
${\log _2}\left( {4x} \right) - {\log _x}2 = 3 \Leftrightarrow {\log _2}4 + {\log _2}x - \frac{1}{{{{\log }_2}x}} = 3 \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x - 1 = 0$
Câu 43. Nếu đặt $t = \log x$thì phương trình ${\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0$trở thành phương trình nào?
A. $9{t^2} - 20\sqrt t + 1 = 0$.
B. $3{t^2} - 20t + 1 = 0$.
C. $9{t^2} - 10t + 1 = 0$.
D. $3{t^2} - 10t + 1 = 0$.
${\log ^2}{x^3} - 20\log \sqrt x + 1 = 0 \Leftrightarrow 9{\log ^2}x - 10\log x + 1 = 0$
Câu 44. Cho bất phương trình $\frac{{1 - {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \frac{1}{2}$. Nếu đặt $t = {\log _3}x$ thì bất phương trình trở thành:
A. $2\left( {1 - 2t} \right) \le 1 + t$.
B. $\frac{{1 - 2t}}{{1 + t}} \le \frac{1}{2}$.
C. $1 - \frac{1}{2}t \le \frac{1}{2}\left( {1 + t} \right)$.
D. $\frac{{2t - 1}}{{1 + t}} \ge 0$.
$\frac{{1 - {{\log }_9}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - \frac{1}{2}{{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{2 - {{\log }_3}x}}{{2\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 - \frac{{2 - {{\log }_3}x}}{{1 + {{\log }_3}x}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{2{{\log }_3}x - 1}}{{1 + {{\log }_3}x}} \ge 0$
Câu 45. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _5}(x - 2) + {\log _{\frac{1}{5}}}(x + 2) > {\log _5}x - 3\) là:
A. x > 3.
B. x > 2.
C. x > - 2.
D. x > 0.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\x + 2 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > - 2\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _5}(X - 2) + {\log _{\frac{1}{5}}}(X + 2) - {\log _5}X + 3\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
D.
Nhấn CALC và cho $X = \frac{5}{2}$(thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369.
Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình \({\log _{0,5}}(5{\rm{x}} + 15) \le {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6{\rm{x}} + 8} \right)\) là:
A. x > - 2.
B. \(\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > - 2\end{array} \right.\).
C. x > - 3.
D. \( - 4 < x < - 2\).
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 15 > 0\\{x^2} + 6{\rm{x}} + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\\left[ \begin{array}{l}x > - 2\\x < - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > - 2\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{0,5}}(5X + 15) - {\log _{0,5}}({X^2} + 6{\rm{X}} + 8)\)
Nhấn CALC và cho $X = - 3,5$ máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và
D.
Nhấn CALC và cho $X = - 5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính được.
Vậy loại B, chọn
A.
Câu 47. Điều kiện xác định của bất phương trình \(\ln \frac{{{x^2} - 1}}{x} < 0\) là:
A. \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\).
B. \(x > - 1\).
C. x > 0.
D. \(\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\).
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(\frac{{{x^2} - 1}}{x} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\x > 1\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \(\ln \frac{{{X^2} - 1}}{X}\)
Nhấn CALC và cho x = - 0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và
D.
Nhấn CALC và cho $X = 0,5$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
C. Vậy loại B, chọn
A.
Câu 48. Bất phương trình $\log _{0,2}^2x - 5{\log _{0,2}}x < - 6$có tập nghiệm là:
A. $S = \left( {\frac{1}{{125}};\frac{1}{{25}}} \right)$.
B. $S = \left( {2;3} \right)$.
C. $S = \left( {0;\frac{1}{{25}}} \right)$.
D. $S = \left( {0;3} \right)$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\log _{0,2}^2 - 5{\log _{0,2}}x < - 6 \Leftrightarrow 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{125}} < x < \frac{1}{{25}}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\left( {\log _{0,2}^{}X} \right)^2} - 5{\log _{0,2}}X + 6\)
Nhấn CALC và cho $X = 2,5$ (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391. Vậy loại đáp án B và
D.
Nhấn CALC và cho $X = \frac{1}{{200}}$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048.
Câu 49. Vậy loại C, chọn
A. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) \ge 0$là:
A. $S = \left[ {1;6} \right]$.
B. $S = \left( {5;6} \right]$.
C. $S = \left( {5; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( {1; + \infty } \right)$.
[Phương pháp tự luận]
${\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) + {\log _3}\left( {x - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 1} \right) \ge {\log _3}\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 5 > 0\\x - 1 \ge {x^2} - 6x + 5\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1 \vee x > 5\\1 \le x \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < x \le 6$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{X^2} - 6{\rm{X}} + 5} \right) + {\log _3}\left( {X - 1} \right)\)
Nhấn CALC và cho x = 2 (thuộc đáp án A và D) máy tính không tính được. Vậy loại đáp án A và
D.
Nhấn CALC và cho $X = 7$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536.
Vậy loại C, chọn
B.
Câu 50. Bất phương trình ${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) < 0$có tập nghiệm là:
A. $S = \left( {0;\frac{3}{2}} \right)$.
B. $S = \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)$.
C. $S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
D. $S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$.
[Phương pháp tự luận]
${\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > \frac{1}{2}\end{array} \right.$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{X^2} - X + 1} \right)\)
Nhấn CALC và cho $X = - 5$ (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277…. Vậy loại đáp án A và
B.
Nhấn CALC và cho $X = 1$(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. Vậy chọn
C.
Câu 51. Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _3}\frac{{4x + 6}}{x} \le 0$là:
A. $S = \left[ { - 2; - \frac{3}{2}} \right)$.
B. $S = \left[ { - 2;0} \right)$.
C. $S = \left( { - \infty ;2} \right]$.
D. $S = \mathbb{R}\backslash \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]$.
[Phương pháp tự luận]
${\log _3}\frac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} > 0\\\frac{{4{\rm{x}} + 6}}{x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - \frac{3}{2} \vee x > 0\\ - 2 \le x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x < - \frac{3}{2}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _3}\frac{{4X + 6}}{X}\)
Nhấn CALC và cho $X = 1$ (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274. Vậy loại đáp án C và
D.
Nhấn CALC và cho $X = - 1$(thuộc đáp án B) máy tính không tính đượ
C. Vậy loại B, chọn
A.
Câu 52. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình ${\log _{0,2}}x - {\log _5}\left( {x - 2} \right) < {\log _{0,2}}3$ là:
A. x = 6.
B. x = 3.
C. x = 5.
D. x = 4.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x > 2$
${\log _{0,2}}x - {\log _5}\left( {x - 2} \right) < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {\log _{0,2}}\left[ {x\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _{0,2}}3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.$
So điều kiện suy ra $x > 3$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính \({\log _{0,2}}X - {\log _5}\left( {X - 2} \right) - {\log _{0,2}}3\)
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (nhỏ nhất) máy tính hiển thị 0. Vậy loại đáp án B.
Nhấn CALC và cho x = 4 máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn
D.
Câu 53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình ${\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} \right) > 2x - 1$ là:
A. x = 3.
B. x = 2.
C. x = 1.
D. x = - 1.
[Phương pháp tự luận]
${\log _3}\left( {{{4.3}^{x - 1}}} \right) > 2x - 1 \Leftrightarrow {4.3^{x - 1}} > {3^{2x - 1}} \Leftrightarrow {3^{2x}} - {4.3^x} < 0 \Leftrightarrow 0 < {3^x} < 4 \Leftrightarrow x < {\log _3}4$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Nhập vào màn hình máy tính ${\log _3}\left( {{{4.3}^{X - 1}}} \right) - 2X + 1$
Nhấn CALC và cho $X = 3$ (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án A.
Nhấn CALC và cho x = 2 máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại
B.
Nhấn CALC và cho $X = 1$ máy tính hiển thị 0.2618595071. Vậy chọn
C.
Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} \right) - 1} \right] = x$ là:
A. $x > \frac{{\sqrt[3]{2} + 1}}{3}$.
B. $x \ge \frac{1}{3}$.
C. x > 0.
D. $x \in (0; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}1\} $.
[Phương pháp tự luận]
Biểu thức ${\log _2}\left[ {3{{\log }_2}\left( {3x - 1} \right) - 1} \right] = x$ xác định khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l}3{\log _2}\left( {3x - 1} \right) - 1 > 0\\3x - 1 > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {3x - 1} \right) > \frac{1}{3}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 1 > {2^{\frac{1}{3}}}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3}\\x > \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{{2^{\frac{1}{3}}} + 1}}{3}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = \frac{1}{3}\)(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${\log _2}\left( {3x - 1} \right)$ được \({\log _2}(0)\) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án A.
Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình ${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|$ là:
A. $x \le - 1$.
B. $x \ge 1$.
C. $x > 0,x \ne 1$.
D. $x \le - 1$ hoặc $x \ge 1$.
[Phương pháp tự luận]
Phương trình xác định khi và chỉ khi : $\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt {{x^2} - 1} > 0\\x + \sqrt {{x^2} - 1} > 0\\{x^2} - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay x = - 1(thuộc A, D) vào biểu thức ${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ được \({\log _2}( - 1)\) không xác định, Thay \(x = \frac{1}{2}\)(thuộc C) vào biểu thức $\sqrt {{x^2} - 1} $ được \(\sqrt {\frac{{ - 3}}{4}} \) không xác định
Vậy loại A, C, D chọn đáp án B.
Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình ${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|$ là:
A. x = 1.
B. x = - 1.
C. x = 2.
D. x = 3.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: $x \ge 1$
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}6.{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) - {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\end{array}$
Đặt $t = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ ta được
$\begin{array}{l}{\log _2}6.{\log _3}6.{t^2} - t = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{1}{{{{\log }_2}6.{{\log }_3}6}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\\{\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = \frac{1}{{{{\log }_2}6.{{\log }_3}6}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}3{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} - 1} = 1\\x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 \in \mathbb{Z}\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {{x^2} - 1} = {2^{{{\log }_6}3}}\\x - \sqrt {{x^2} - 1} = {2^{ - {{\log }_6}3}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}}}{2} \notin \mathbb{Z}\end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được \(VT = VP\) chọn đáp án A.
Câu 57. Nếu đặt $t = {\log _2}x$ thì bất phương trình $\log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x \right)$ trở thành bất phương trình nào?
A. ${t^4} + 13{t^2} + 36 < 0$.
B. ${t^4} - 5{t^2} + 9 < 0$.
C. ${t^4} - 13{t^2} + 36 < 0$.
D. ${t^4} - 13{t^2} - 36 < 0$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}\log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \log _2^4x - {\left( {3{{\log }_2}x - 3} \right)^2} + 9\left( {5 - 2{{\log }_2}x} \right) - 4\log _2^2x < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^4x - 13\log _2^2x + 36 < 0\end{array}$
Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình $\log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x \right)$ là:
A. x = 7.
B. x = 8.
C. x = 4.
D. x = 1.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}\log _2^4x - \log _{\frac{1}{2}}^2\left( {\frac{{{x^3}}}{8}} \right) + 9{\log _2}\left( {\frac{{32}}{{{x^2}}}} \right) < 4\log _{{2^{ - 1}}}^2\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \log _2^4x - {\left( {3{{\log }_2}x - 3} \right)^2} + 9\left( {5 - 2{{\log }_2}x} \right) - 4\log _2^2x < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^4x - 13\log _2^2x + 36 < 0\\ \Leftrightarrow 4 < \log _2^2x < 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < {\log _2}x < 3\\ - 3 < {\log _2}x < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 < x < 8\\\frac{1}{8} < x < \frac{1}{4}\end{array} \right.\end{array}$
chọn đáp án A.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay \(x = 7;x = 8;x = 4;x = 1\)thấy \(x = 7\)đúng, chọn đáp án A.
Câu 59. Bất phương trình ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} - 72} \right)} \right) \le 1$ có tập nghiệm là:
A. $S = \left[ {{{\log }_3}\sqrt {73} ;2} \right]$.
B. $S = \left( {{{\log }_3}\sqrt {72} ;2} \right]$.
C. $S = \left( {{{\log }_3}\sqrt {73} ;2} \right]$.
D. $S = \left( { - \infty ;2} \right]$.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x > {\log _3}\sqrt {73} $
${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} - 72} \right)} \right) \le 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^x} - 72} \right) \le x \Leftrightarrow {9^x} - {3^x} - 72 \le 0 \Leftrightarrow {3^x} \le 9 \Leftrightarrow x \le 2$
Chọn đáp án A.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = {\log _3}\sqrt {73} \)(thuộc B, C, D) vào biểu thức ${\log _x}\left( {{{\log }_3}\left( {{9^x} - 72} \right)} \right)$ được \({\log _x}(0)\) không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án A.
Câu 60. Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình${\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1$. Khi đó tích \({x_1}.{x_2}\) bằng:
A. - 2.
B. 1.
C. - 1.
D. 2.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện $x < 0$hoặc $x > 1$
${\log _2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} = - 2$
Vậy chọn đáp án A.
Câu 61. Nếu đặt $t = {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right)$ thì phương trình ${\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = 1$ trở thành phương trình nào?
A. ${t^2} + t - 2 = 0$.
B. $2{t^2} = 1$.
C. ${t^2} - t - 2 = 0$.
D. ${t^2} = 1$.
Điều kiện: x > 0
$\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).\left[ {1 + {{\log }_2}\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] - 2 = 0\end{array}$
Vậy chọn đáp án A.
Câu 62. Số nghiệm của phương trình ${\log _4}\left( {x + 12} \right).{\log _x}2 = 1$ là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Điều kiện : $0 < x \ne 1$
${\log _4}\left( {x + 12} \right).{\log _x}2 = 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 12} \right) = {\log _2}{x^2} \Leftrightarrow - {x^2} + x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 4\end{array} \right.$
Loại $x = - 3$ chọn đáp án A
Câu 63. Phương trình $\log _5^2(2x - 1) - 8{\log _5}\sqrt {2x - 1} + 3 = 0$ có tập nghiệm là:
A. \(\left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
B. \(\left\{ {1;3} \right\}\).
C. \(\left\{ {3;63} \right\}\).
D. \(\left\{ {1;2} \right\}\).
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : \(x > \frac{1}{2}\)
$\begin{array}{l}\log _5^2(2x - 1) - 8{\log _5}\sqrt {2x - 1} + 3 = 0 \Leftrightarrow \log _5^2(2x - 1) - 4{\log _5}\left( {2x - 1} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _5}\left( {2x - 1} \right) = 1\\{\log _5}\left( {2x - 1} \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 63\end{array} \right.\end{array}$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 1\)(thuộc B, D) vào vế trái ta được \(3 = 0\) vô lý, vậy loại B, D,
Thay x = - 1vào \({\log _5}\left( {2x - 1} \right)\)ta được \({\log _5}\left( { - 3} \right)\)không xác định, nên loại A
Vậy chọn đáp án C.
Câu 64. Nếu đặt $t = {\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ thì bất phương trình ${\log _4}{\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} < {\log _{\frac{1}{4}}}{\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ trở thành bất phương trình nào?
A. $\frac{{{t^2} - 1}}{t} < 0$.
B. ${t^2} - 1 < 0$.
C. $\frac{{{t^2} - 1}}{t} > 0$.
D. $\frac{{{t^2} + 1}}{t} < 0$.
Điều kiện: \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (1; + \infty )\)
Sau khi đưa về cùng cơ số 4, rồi tiếp tục biến đổi về cùng cơ số 3 ta được bất phương trình
${\log _3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{1}{{{{\log }_3}\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} < 0$
Chọn đáp án A.
Câu 65. Phương trình ${\log _{2x - 3}}\left( {3{x^2} - 7x + 3} \right) - 2 = 0$ có nghiệm là:
A. x = 2;x = 3.
B. x = 2.
C. x = 3.
D. x = 1;x = 5.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện \(x > \frac{3}{2};x \ne 2\)
${\log _{2x - 3}}\left( {3{x^2} - 7x + 3} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 7x + 3 = {\left( {2x - 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.$
Lần lượt thay \(x = 1;x = 2\)(thuộc B,A, D) vào vê trái ta được đẳng thức sai, vậy loại B, A,
D. Vậy chọn đáp án C.
Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right)\) là:
A. 18.
B. 16.
C. 15.
D. 17.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(x > 1\)
${\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) > {\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) > 2 \Leftrightarrow {\log _2}x > 4 \Leftrightarrow x > 16$
Phương pháp trắc nghiệm]
Thay \(x = 16;15\)(thuộc B, C) vào phương trình ta được bất dẳng thức sai nên loại B, C
Thay \(x = 17;18\) vào phương trình ta được bất đẳng thức đúng
Vậy chọn đáp án D.
Câu 67. Phương trình $\frac{1}{{4 - \ln x}} + \frac{2}{{2 + \ln x}} = 1$ có tích các nghiệm là:
A. \({e^3}\).
B. \(\frac{1}{e}\).
C. e.
D. 2.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện: \(x > 0,x \ne {e^{ - 2}};x \ne {e^4}\)
$\frac{1}{{4 - \ln x}} + \frac{2}{{2 + \ln x}} = 1 \Leftrightarrow {\ln ^2}x - 3\ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 1\\\ln x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = e\\x = {e^2}\end{array} \right.$
Vậy chọn đáp án A.
Câu 68. Phương trình $9{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2}$ có bao nhiêu nghiệm?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1$
$9{x^{{{\log }_9}x}} = {x^2} \Leftrightarrow {\log _9}\left( {9{x^{{{\log }_9}x}}} \right) = {\log _9}\left( {{x^2}} \right) \Leftrightarrow 1 + \log _9^2x - 2{\log _9}x = 0 \Leftrightarrow {\log _9}x = 1 \Leftrightarrow x = 9$
Vậy chọn đáp án A.
Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình \({\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0\) là:
A. x = 3.
B. x = 1.
C. x = 2.
D. x = 4.
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1;x \ne 3$
\({\log _x}3 - {\log _{\frac{x}{3}}}3 < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\log }_3}x.\left( {{{\log }_3}x - 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 0\\{\log _3}x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x > 3\end{array} \right.\)
[Phương pháp trắc nghiệm]
Loại B, A vì \(x \ne 1;x \ne 3\)
Loại C vì \(x = 2 \Rightarrow {\log _2}3 - {\log _{\frac{2}{3}}}3 > 0\)Vậy chọn đáp án D.
Câu 70. Phương trình ${x^{\ln 7}} + {7^{\ln x}} = 98$ có nghiệm là:
A. x = e.
B. x = 2.
C. \(x = {e^2}\).
D. \(x = \sqrt e \).
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện : $x > 0;x \ne 1$
Đặt \(x = {e^t}\)
${x^{\ln 7}} + {7^{\ln x}} = 98 \Leftrightarrow {e^{t.\ln 7}} + {7^{\ln {e^t}}} = 98 \Leftrightarrow {2.7^t} = 98 \Leftrightarrow t = 2$
[Phương pháp trắc nghiệm]
Lần lượt thay \(x = 2;x = e;x = \sqrt e \) vào phương trình ta được đẳng thức sai, vậy loại A, B, D, vậy chọn đáp án C.
Câu 71. Bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) + 1\) có tập nghiệm là:
A. \(S = \left[ {1 - \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
B. \(S = \left[ {1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).
C. \(S = \left( { - \infty ;1 + \sqrt 2 } \right]\).
D. \(S = \left( { - \infty ;1 - \sqrt 2 } \right]\).
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện :x > 2
\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} - x - 2} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] \ge 1 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \sqrt 2 \le x \le 0\\x \ge 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)[Phương pháp trắc nghiệm]
Dựa vào điều kiện ta loại A, C,
D. Vậy chọn đáp án B.
Câu 72. Biết phương trình \(\frac{1}{{{{\log }_2}x}} - \frac{1}{2}{\log _2}x + \frac{7}{6} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $x_1^3 + x_2^3 = \frac{{2049}}{4}$.
B. $x_1^3 + x_2^3 = - \frac{{2047}}{4}$.
C. $x_1^3 + x_2^3 = - \frac{{2049}}{4}$.
D. $x_1^3 + x_2^3 = \frac{{2047}}{4}$.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình đã cho trở thành \(3{t^2} - 7t - 6 = 0\).
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 3\\{\log _2}x = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^3} = 9\\x = {2^{ - \frac{2}{3}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{4}}}\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {8;\frac{1}{{\sqrt[3]{4}}}} \right\} \Rightarrow x_1^3 + x_2^3 = \frac{{2049}}{4}$
Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^{x + 1}} - 3} \right)\) là:
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
Điều kiện: \({2^{x + 1}} - 3 > 0 \Leftrightarrow x > {\log _2}3 - 1\).
Ta có: \({\log _2}\left( {{4^x} + 4} \right) = x - {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^{x + 1}} - 3} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} - 3}} = x \Leftrightarrow \frac{{{4^x} + 4}}{{{2^{x + 1}} - 3}} = {2^x}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {2^x},t > 0.\) Ta có \(\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} + 4 = 2{t^2} - 3t \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4.\)
\( \Leftrightarrow {2^x} = {2^2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)} \right) > 0\) là:
A. \(S = \left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
B. \(S = \left( {0;\frac{3}{2}} \right)\).
C. \(S = \left( {0;1} \right)\).
D. \(S = \left( {\frac{3}{2};2} \right)\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\{\log _2}(2x - 1) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)
Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)} \right) > 0 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {2x - 1} \right)} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}(2x - 1) < 1\\{\log _2}(2x - 1) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 2x - 1 < 2\\2x - 1 > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < \frac{3}{2}.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\) là:
A. \(S = \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
B. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
C. \(S = \left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).
D. \(S = \left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 1 > 0\\2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1 \vee x > - \frac{1}{2}\\x > - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}.\)
Ta có: \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _2}\left( {2x + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _4}\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) > {\log _4}{\left( {2x + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 > 4{x^2} + 4x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < x < 0.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - \frac{1}{2};0} \right)\).
Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _x}\left( {125x} \right).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\) là:
A. \(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).
B. \(S = \left( { - 1;\sqrt 5 } \right)\).
C. \(S = \left( { - \sqrt 5 ;1} \right)\).
D. \(S = \left( { - \sqrt 5 ; - 1} \right)\).
Điều kiện: \(0 < x \ne 1{\rm{ }}\left( * \right).\)
Ta có: \({\log _x}(125x).{\log _{25}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \left( {{{\log }_x}{5^3} + {{\log }_x}x} \right).{\log _{{5^2}}}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x\)
\( \Leftrightarrow \left( {3{{\log }_x}5 + 1} \right).\left( {\frac{1}{2}{{\log }_5}x} \right) > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow \frac{3}{2} + \frac{1}{2}{\log _5}x > \frac{3}{2} + \log _5^2x \Leftrightarrow 2\log _5^2x - {\log _5}x < 0\)
\( \Leftrightarrow 0 < {\log _5}x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow {5^0} < x < {5^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 1 < x < \sqrt 5 .\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {1;\sqrt 5 } \right)\).
Câu 77. Tích các nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}}\) là :
A. \(\frac{1}{2}\).
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Điều kiện: x > 0
Ta có: \({\log _2}x.{\log _4}x.{\log _8}x.{\log _{16}}x = \frac{{81}}{{24}} \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{3}{{\log }_2}x} \right)\left( {\frac{1}{4}{{\log }_2}x} \right) = \frac{{81}}{{24}}\)
\( \Leftrightarrow \log _2^4 = 81 \Leftrightarrow {\log _2}x = \pm 3 \Leftrightarrow x = 8\) hoặc $x = \frac{1}{8}$. (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{1}{8};8} \right\} \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 1\).
Câu 78. Phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2\) có bao nhiêu nghiệm ?
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. 3.
Điều kiện: \(x \ne - 1\)
Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 3 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 4.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 4;2} \right\}\).
Câu 79. Biết phương trình \({4^{{{\log }_9}x}} - {6.2^{{{\log }_9}x}} + {2^{{{\log }_3}27}} = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Khi đó \(x_1^2 + x_2^2\) bằng :
A. \(6642\).
B. \(\frac{{82}}{{6561}}\).
C. 20.
D. 90.
Điều kiện: x > 0
Ta có phương trình tương đương \({2^{2{{\log }_9}x}} - {6.2^{{{\log }_9}x}} + {2^3} = 0.{\rm{ (1)}}\)
Đặt \(t = {2^{{{\log }_9}x}},t > 0\). \(\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} - 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = 4\end{array} \right.\)
- Với \(t = 2 \Leftrightarrow {2^{{{\log }_9}x}} = 2 \Leftrightarrow {\log _9}x = 1 \Leftrightarrow x = 9.\)
- Với \(t = 4 \Leftrightarrow {2^{{{\log }_9}x}} = {2^2} \Leftrightarrow {\log _9}x = 2 \Leftrightarrow x = 81\).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {9;81} \right\} \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 6642\).
Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{\log _2^2x}} - 10{x^{{{\log }_2}\frac{1}{x}}} + 3 > 0\) là:
A. \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
B. \(S = \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
C. \(S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};2} \right)\).
D. \(S = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Điều kiện: \(x > 0{\rm{ (*)}}\). Đặt \(u = {\log _2}x \Rightarrow x = {2^u}.\)
Bất phương trình đã cho trở thành \({2^{{u^2}}} - 10{\left( {{2^u}} \right)^{ - u}} + 3 > 0 \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} - \frac{{10}}{{{2^{{u^2}}}}} + 3 > 0{\rm{ (1)}}\)
Đặt \(t = {2^{{u^2}}},{\rm{ }}t \ge 1.{\rm{ }}\left( 1 \right) \Rightarrow {t^2} + 3t - 10 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < - 5{\rm{ (l)}}\\t > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {2^{{u^2}}} > 2 \Leftrightarrow {u^2} > 1 \Leftrightarrow u > 1\) hoặc \(u < - 1\)
- Với \(u > 1 \Rightarrow {\log _2}x > 1 \Rightarrow x > 2\)
- Với \(u < - 1 \Rightarrow {\log _2}x < - 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2}.\)
Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2hoặc \(0 < x < \frac{1}{2}\).
Câu 81. Tập nghiệm của phương trình \({4^{{{\log }_2}2x}} - {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}}\) là:
A. \(S = \left\{ {\frac{4}{9}} \right\}\).
B. \(S = \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).
C. \(S = \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\).
D. \(S = \left\{ { - 2} \right\}\).
Điều kiện: \(0 < x \ne 1\)
Ta có: \({4^{{{\log }_2}2x}} - {x^{{{\log }_2}6}} = {2.3^{{{\log }_2}4{x^2}}} \Leftrightarrow {4^{1 + {{\log }_2}x}} - {6^{{{\log }_2}x}} = {2.3^{2 + 2{{\log }_2}x}} \Leftrightarrow {4.4^{{{\log }_2}x}} - {6^{{{\log }_2}x}} = {19.9^{{{\log }_2}x}}{\rm{ (1)}}\)
Chia 2 vế cho \({4^{{{\log }_2}x}}\).
\((1) \Leftrightarrow 18.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{{{\log }_2}x}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} - 4 = 0\). Đặt \(t = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.{\rm{ }}PT \Rightarrow 18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{4}{9}\\t = - \frac{1}{2}{\rm{ (l)}}\end{array} \right.\)
\({\left( {\frac{3}{2}} \right)^{{{\log }_2}x}} = \left( {\frac{4}{9}} \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 2}} \Leftrightarrow {\log _2}x = - 2 \Leftrightarrow x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\frac{1}{4}} \right\}\).
VẬN DỤNG CAO
Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m\) có nghiệm?
A. m > 1.
B. \(m \ge 1\).
C. m < 1.
D. \(m \le 1\).
[Phương pháp tự luận]
Điều kiện x > 2;m > 0
\({\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}m\)\( \Leftrightarrow x = \left( {x - 2} \right){m^2}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{2{m^2}}}{{{m^2} - 1}}\)
Phương trình có nghiệm x > 2khi m > 1,chọn đáp án A
[Phương pháp trắc nghiệm]
Thay m = 0(thuộc C, D) vào biểu thức \({\log _{\sqrt 3 }}m\) không xác định, vậy loại C, D,
Thay m = 1 (thuộc B) ta được phương trình tương đương \(x = x - 2\) vô nghiệm
Vậy chọn đáp án A.
Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình${\log _3}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) \ge 1$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}.$?
A. $m \ge 7$.
B. m > 7.
C. m < 4.
D. $4 < m \le 7$.
${\log _3}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) \ge 1{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 3 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow m \ge 7$
Vậy chọn
A.
Câu 84. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình ${\log _{\frac{1}{5}}}\left( {mx - {x^2}} \right) \le {\log _{\frac{1}{5}}}4$ vô nghiệm?
A. $ - 4 \le m \le 4$.
B. $\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < - 4\end{array} \right.$.
C. m < 4.
D. - 4 < m < 4.
${\log _{\frac{1}{5}}}\left( {mx - {x^2}} \right) \le {\log _{\frac{1}{5}}}4 \Leftrightarrow mx - {x^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} - mx + 4 \le 0$
${x^2} - mx + 4 \le 0$vô nghiệm $ \Leftrightarrow {x^2} - mx + 4 > 0{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4$
Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {mx - {x^2}} \right) = 2\)vô nghiệm?
A. m < 4.
B. - 4 < m < 4.
C. \(\left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < - 4\end{array} \right.\).
D. m > - 4.
\({\log _2}\left( {mx - {x^2}} \right) = 2 \Leftrightarrow - {x^2} + mx - 4 = 0(*)\)
Phương trình (*) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 4\)
Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _4^2x + 3{\log _4}x + 2m - 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?
A. \(m < \frac{{13}}{8}\).
B. \(m > \frac{{13}}{8}\).
C. \(m \le \frac{{13}}{8}\).
D. \(0 < m < \frac{{13}}{8}\).
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 13 - 8m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{8}\)
Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} - 1).{\log _2}({2.5^x} - 2) \ge m\) có nghiệm \(x \ge 1\)?
A. \(m \ge 6\).
B. m > 6.
C. \(m \le 6\).
D. m < 6.
BPT\( \Leftrightarrow {\log _2}({5^x} - 1).{\log _2}({2.5^x} - 2) \le m \Leftrightarrow {\log _2}({5^x} - 1).\left[ {1 + {{\log }_2}({5^x} - 1)} \right] \le m\)
Đặt $t = {\log _6}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ do\(x \ge 1\)\( \Rightarrow t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)
BPT\( \Leftrightarrow t(1 + t) \ge m \Leftrightarrow {t^2} + t \ge m \Leftrightarrow f(t) \ge m\)
Với \(f(t) = {t^2} + t\)
\({f^,}(t) = 2t + 1 > 0\)với \(t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)nên hàm đồng biến trên \(t \in \left[ {2; + \infty } \right)\)
Nên \(Minf(t) = f(2) = 6\)
Do đó để để bất phương trình \({\log _2}({5^x} - 1).{\log _2}({2.5^x} - 2) \ge m\) có nghiệm \(x \ge 1\)thì :
\(m \le Minf(t) \Leftrightarrow m \le 6\)
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x + 2{\log _3}x + m - 1 = 0\) có nghiệm?
A. m < 2.
B. \(m \le 2\).
C. \(m \ge 2\).
D. m > 2.
TXĐ:x > 0
PT có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - (m - 1) \ge 0 \Leftrightarrow 2 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$.
Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}({5^x} - 1) \le m\) có nghiệm \(x \ge 1\)?
A. \(m \ge 2\).
B. m > 2.
C. \(m \le 2\).
D. m < 2.
[Phương pháp tự luận]
\(x \ge 1 \Leftrightarrow {5^x} - 1 \ge 4 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 2\)
Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)?
A. \(m \in [0;2]\).
B. \(m \in (0;2)\).
C. \(m \in (0;2]\).
D. \(m \in [0;2)\).
Với \(x \in \left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\) hay \(1 \le x \le {3^{\sqrt 3 }} \Rightarrow \sqrt {\log _3^21 + 1} \le \sqrt {\log _3^2x + 1} \le \sqrt {\log _3^2{3^{\sqrt 3 }} + 1} \) hay \(1 \le t \le 2\).
nghiệm phương trình logarit.PNG

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\)”. Ta có \(PT \Leftrightarrow 2m = {t^2} + t + 2.\)
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t - 2,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {1;2} \right],{\rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t \in \left[ {1;2} \right]\)
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).
Khi đó phương trình có nghiệm khi \(0 \le 2m \le 4 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)
Vậy \(0 \le m \le 2\) là các giá trị cần tìm.
Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).lo{g_4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = m\) có nghiệm \(x \ge 1.\)?
A. \(m \in \left[ {2; + \infty } \right)\).
B. \(m \in \left[ {3; + \infty } \right)\).
C. \(m \in ( - \infty ;2]\).
D. \(m \in \left( { - \infty ;3} \right]\).
Với \(x \ge 1 \Rightarrow {5^x} \ge 5 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \ge {\log _2}\left( {5 - 1} \right) = 2\) hay \(t \ge 2\).
nghiệm phương trình logarit.PNG

Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm \(t \ge 2\)”.
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t,{\rm{ }}\forall t \ge 2,{\rm{ }}f'(t) = 2t + 1 > 0,{\rm{ }}\forall t \ge 2\)
Suy ra hàm số đồng biến với \(t \ge 2\).
Khi đó phương trình có nghiệm khi \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3.\)
Vậy \(m \ge 3\) là các giá trị cần tìm.
Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 3m - 1 = 0\) có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn \({x_1}.{x_2} = 27.\)?
A. m = - 2.
B. m = - 1.
C. m = 1.
D. m = 2.
Điều kiện x > 0 Đặt \(t = {\log _3}x.\) Khi đó phương trình có dạng: \({t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 3m - 1 = 0\).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) = {m^2} - 8m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 4 - 2\sqrt 2 \\m > 4 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.{\rm{ }}\left( * \right)\)
Với điều kiện \(\left( * \right)\) ta có: \({t_1} + {t_2} = {\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = {\log _3}\left( {{x_1}.{x_2}} \right) = {\log _3}27 = 3.\)
Theo Vi-ét ta có: \({t_1} + {t_2} = m + 2 \Rightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\sqrt {\log _2^2x + {{\log }_{\frac{1}{2}}}{x^2} - 3} = m\left( {{{\log }_4}{x^2} - 3} \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ {32; + \infty } \right)\) ?
A. \(m \in \left( {1;\sqrt 3 } \right]\).
B. $m \in \left[ {1;\sqrt 3 } \right)$.
C. \(m \in \left[ { - 1;\sqrt 3 } \right)\).
D. \(m \in \left( { - \sqrt 3 ;1} \right]\).
Điều kiện: $x > 0.$ Khi đó phương trình tương đương: \(\sqrt {\log _2^2x - 2{{\log }_2}x - 3} = m\left( {{{\log }_2}x - 3} \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}x\) với $x \ge 32 \Rightarrow {\log _2}x \ge {\log _2}32 = 5$ hay \(t \ge 5.\)
Phương trình có dạng \(\sqrt {{t^2} - 2t - 3} = m\left( {t - 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\).
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 5\)”
Với \(t \ge 5\) thì \((*) \Leftrightarrow \sqrt {\left( {t - 3} \right).\left( {t + 1} \right)} = m\left( {t - 3} \right) \Leftrightarrow \sqrt {t - 3} .\left( {\sqrt {t + 1} - m\sqrt {t - 3} } \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {t + 1} - m\sqrt {t - 3} = 0 \Leftrightarrow m = \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t - 3}}} \)
Ta có \(\frac{{t + 1}}{{t - 3}} = 1 + \frac{4}{{t - 3}}.\) Với \(t \ge 5 \Rightarrow 1 < 1 + \frac{4}{{t - 3}} \le 1 + \frac{4}{{5 - 3}} = 3\) hay \(1 < \frac{{t + 1}}{{t - 3}} \le 3 \Rightarrow 1 < \sqrt {\frac{{t + 1}}{{t - 3}}} \le \sqrt 3 \)
suy ra \(1 < m \le \sqrt 3 .\) Vậy phương trình có nghiệm với \(1 < m \le \sqrt 3 .\)
Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng \(\left( {2;3} \right)\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1{\rm{ (1)}}\).
A. \(m \in \left[ { - 12;13} \right]\).
B. \(m \in \left[ {12;13} \right]\).
C. \(m \in \left[ { - 13;12} \right]\).
D. \(m \in \left[ { - 13; - 12} \right]\).
\((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 > \frac{{{x^2} + 4x + m}}{5}\\{x^2} + 4x + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - {x^2} - 4x = f(x)\\m < 4{x^2} - 4x + 5 = g(x)\end{array} \right.\)
Hệ trên thỏa mãn \(\forall x \in \left( {2;3} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \mathop {Max}\limits_{2 < x < 3} f(x) = - 12{\rm{ khi }}x = 2\\m \le \mathop {Min}\limits_{2 < x < 3} f(x) = 13{\rm{ khi }}x = 2\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow - 12 \le m \le 13.\)
Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({\log _2}\left( {7{x^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
A. \(m \in \left( {2;5} \right]\).
B. \(m \in \left( { - 2;5} \right]\).
C. \(m \in \left[ {2;5} \right)\).
D. \(m \in \left[ { - 2;5} \right)\).
Bất phương trình tương đương \(7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {7 - m} \right){x^2} - 4x + 7 - m \ge 0{\rm{ }}(2)\\m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ }}(3)\end{array} \right.,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
 m = 7: (2) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
 m = 0: (3) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
(1) thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 - m > 0\\{{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {7 - m} \right)^2} \le 0\\m > 0\\{{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}m < 7\\m \le 5\\m > 0\\m > 2\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2 < m \le 5.\)
Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x.\)
A. \(m \in \left( {2;3} \right]\).
B. \(m \in \left( { - 2;3} \right]\).
C. \(m \in \left[ {2;3} \right)\).
D. \(m \in \left[ { - 2;3} \right)\).
Bất phương trình tương đương \(7\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {5 - m} \right){x^2} - 4x + 5 - m \ge 0{\rm{ (2) }}\\m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ (3)}}\end{array} \right.(*),{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)
 m = 0 hoặc \(m = 5\) : (*) không thỏa \(\forall x \in \mathbb{R}\)
 \(m \ne 0\) và \(m \ne 5\): (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - m > 0\\{{\Delta '}_2} = 4 - {\left( {5 - m} \right)^2} \le 0\\m > 0\\{{\Delta '}_3} = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2 < m \le 3.\)
 
Loading...
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...