Toán 12 Phương trình mặt cầu hình học không gian

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.
Kí hiệu: S(I;R)=> S(I;R) = {M/IM = R}
phương trình mặt cầu.png
2. Các dạng phương trình mặt cầu
Dạng 1 : Phương trình chính tắc

Mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c), bán kính R > 0.
${{\rm{ }}\left( S \right):{\rm{ }}{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2} = {R^2}{\rm{ }}}$
Dạng 2 : Phương trình tổng quát
${\rm{ }}(S):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0{\rm{ }}$ (2)
Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu: ${{\rm{ }}{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0{\rm{ }}}$
• (S) có tâm I (a; b; c).
• (S) có bán kính: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $.

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P)=> d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó
phương trình mặt cầu_1.png

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của I lên ∆. Khi đó
phương trình mặt cầu_2.png

* Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: d(I; ∆) = IH
+ Lúc đó: $R = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} $

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng(α).
${\rm{ }}\left( S \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0{\rm{ }}$
$\left( \alpha \right):{\rm{ }}Ax + By + Cz + D = 0$
* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm $I' = d \cap \left( \alpha \right)$.
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)$(\alpha )$
+ Bán kính ${\rm{ }}R' = \sqrt {{R^2} - {{\left( {II'} \right)}^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)} \right]}^2}} {\rm{ }}$
5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S): ${{\rm{ }}d\left( {I;\Delta } \right) = R.}$
+ Mặt phẳng(α) là tiếp diện của (S): ${{\rm{ }}d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = R.}$
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$.
Sử dụng tính chất : $\left[ \begin{array}{l} I{M_0} \bot d\\ I{M_0} \bot \left( \alpha \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {I{M_0}} \bot {{\vec a}_d}\\ \overrightarrow {I{M_0}} \bot {{\vec n}_\alpha } \end{array} \right.$

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
phương trình mặt cầu_3.png
* Thuật toán 1:
Bước 1: Xác định tâm $I\left( {a;b;c} \right)$.
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kínhR.
${\rm{ }}(S):{\rm{ }}{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}{\rm{ }}$
* Thuật toán 2: Gọi phương trình $(S):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0{\rm{ }}$
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d.$ (\({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\))

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;2; - 3} \right)\) và bán kính R = 3.
b) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\) và (S) qua \(P\left( {2; - 2;1} \right)\).
c) \(\left( S \right)\) có đường kính AB với \(A\left( {1;3;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 2;0;1} \right)\).
Bài giải​
a) Mặt cầu tâm \(I\left( {2;2; - 3} \right)\) và bán kính R = 3, có phương trình:
(S): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {IP} = \left( {1; - 4;1} \right) \Rightarrow IP = 3\sqrt 2 \).
Mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;0} \right)\) và bán kính \(R = IP = 3\sqrt 2 \), có phương trình:
(S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 18\)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;0} \right) \Rightarrow AB = 3\sqrt 2 \).
Gọi I là trung điểm AB\( \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2};1} \right)\).
Mặt cầu tâm \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2};1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\), có phương trình:
(S): \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{9}{2}\).

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
a) (S) qua \(A\left( {3;1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {5;5;0} \right)\) và tâm I thuộc trục \(Ox\).
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng $\left( \alpha \right):{\rm{ }}16x - 15y - 12z + 75 = 0$.
c) (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;0} \right)\)và có một tiếp tuyến là đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}.$
Bài giải​
a) Gọi \(I\left( {a;0;0} \right) \in Ox\). Ta có : \(\overrightarrow {IA} = \left( {3 - a;1;0} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {IB} = \left( {5 - a;5;0} \right)\).
Do (S) đi qua A, B\( \Leftrightarrow IA = IB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 1} = \sqrt {{{\left( {5 - a} \right)}^2} + 25} \Leftrightarrow 4a = 40 \Leftrightarrow a = 10\)
\( \Rightarrow I\left( {10;0;0} \right)\) và \(IA = 5\sqrt 2 \).
Mặt cầu tâm \(I\left( {10;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\sqrt 2 \), có phương trình (S) : \({\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 50\)
b) Do (S) tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\)\( \Leftrightarrow {\rm{d}}\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{{75}}{{25}} = 3.\)
Mặt cầu tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\), có phương trình (S) : \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\)
c) Chọn \(A\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0; - 1;0} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = \left( { - 1;1; - 3} \right)\). Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {IA} ,{{\vec u}_\Delta }} \right] = \left( {3;0; - 1} \right)\).
Do (S) tiếp xúc với \(\Delta \Leftrightarrow {\rm{d}}\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow R = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_\Delta }} \right|}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{11}}\).
Mặt cầu tâm \(I\left( { - 1;2;0} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{\sqrt {10} }}{{11}}\), có phương trình (S) : \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = \frac{{10}}{{121}}.\)

Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) (S) qua bốn điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),{\rm{ }}B\left( {1; - 3;1} \right),{\rm{ }}C\left( {2;2;3} \right),{\rm{ }}D\left( {1;0;4} \right)\).
b) (S) qua \(A\left( {0;8;0} \right),{\rm{ }}B\left( {4;6;2} \right),{\rm{ }}C\left( {0;12;4} \right)\) và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải​
a) Cách 1: Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - y + z = - 1\\x + 7z = - 2\\y - 4z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\).
Do đó: \(I\left( { - 2;1;0} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {26} \). Vậy (S) : \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 26\).
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$, \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\).
Do \(A\left( {1;2; - 4} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow \) - 2a - 4b + 8c + d = - 21 (1)
Tương tự: \(B\left( {1; - 3;1} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 2a + 6b - 2c + d = - 11\) (2)
\(C\left( {2;2;3} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow \) - 4a - 4b - 6c + d = - 17 (3)
\(D\left( {1;0;4} \right) \in \left( S \right) \Leftrightarrow - 2a - 8c + d = - 17\) (4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d\), suy ra phương trình mặt cầu (S) :
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 26\).
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz)\( \Rightarrow I\left( {0;b;c} \right)\).
Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7\\c = 5\end{array} \right.\).
Vậy \(I\left( {0;7;5} \right)\) và \(R = \sqrt {26} \). Vậy (S): \({x^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 26.\)

Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = - t\end{array} \right.$ và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):{\rm{ }}x + 2y + 2z + 3 = 0$ và $\left( \beta \right):{\rm{ }}x + 2y + 2z + 7 = 0$.
Bài giải​
Gọi \(I\left( {t; - 1; - t} \right) \in \Delta \) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {I,\left( \beta \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - t} \right|}}{3} = \frac{{\left| {5 - t} \right|}}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 5 - t\\1 - t = t - 5\end{array} \right. \Rightarrow t = 3\).
Suy ra: \(I\left( {3; - 1; - 3} \right)\) và \(R = {\rm{d}}\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{2}{3}\). Vậy (S) : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \frac{4}{9}\).

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm $A\left( {2;6;0} \right),{\rm{ }}B\left( {4;0;8} \right)$ và có tâm thuộc d: $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 5}}{1}$.
Bài giải​
Ta có $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2t\\z = - 5 + t\end{array} \right.$. Gọi \(I\left( {1 - t;2t; - 5 + t} \right) \in d\) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 + t;6 - 2t;5 - t} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {IB} = \left( {3 + t; - 2t;13 - t} \right)\).
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B\( \Leftrightarrow AI = BI\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 + t} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2t} \right)}^2} + {{\left( {5 - t} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {3 + t} \right)}^2} + 4{t^2} + {{\left( {13 - t} \right)}^2}} \)\( \Leftrightarrow 62 - 32t = 178 - 20t \Leftrightarrow 12t = - 116 \Leftrightarrow t = - \frac{{29}}{3}\)
\( \Rightarrow I\left( {\frac{{32}}{3}; - \frac{{58}}{3}; - \frac{{44}}{3}} \right)\) và \(R = IA = 2\sqrt {233} \). Vậy (S): \({\left( {x - \frac{{32}}{3}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{58}}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{44}}{3}} \right)^2} = 932\).

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) và cắt đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}} = \frac{z}{1}$ tại hai điểm A, B với AB = 16.
Bài giải​
Chọn \(M\left( { - 1;1;0} \right) \in \Delta \Rightarrow \overrightarrow {IM} = \left( { - 3; - 2;1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = \left( {1; - 4;1} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {IM} ,{{\vec u}_\Delta }} \right] = \left( {2;4;14} \right) \Rightarrow {\rm{d}}\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,{{\vec u}_\Delta }} \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_\Delta }} \right|}} = 2\sqrt 3 \).
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : \(R = \sqrt {{{\left[ {{\rm{d}}\left( {I,\Delta } \right)} \right]}^2} + \frac{{A{B^2}}}{4}} = 2\sqrt {19} .\)
Vậy (S): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 76\).

Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng $\left( P \right){\rm{: }}5x - 4y + z - 6 = 0,{\rm{ }}\left( Q \right):{\rm{ }}2x - y + z + 7 = 0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là $20\pi $.
Bài giải​
Ta có $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.$ . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t{\rm{ (1)}}\\y = 3t{\rm{ (2)}}\\z = 1 - 2t{\rm{ (3)}}\\5x - 4y + z - 6 = 0{\rm{ (4)}}\end{array} \right.$
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: $5\left( {1 + 7t} \right) - 4\left( {3t} \right) + \left( {1 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;0;1} \right)$.
Ta có : $d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}$.
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: $20\pi = \pi {r^2} \Leftrightarrow r = 2\sqrt 5 .$
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: \(R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I,\left( Q \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \frac{{\sqrt {330} }}{3}.\) Vậy (S) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{{110}}{3}\).

Bài tập 8: Cho mặt phẳng \((P):2x - y - 2z - 2 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2t - 1\\z = t + 2\end{array} \right.\).
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài giải​
Gọi \(I\left( { - t;2t - 1;t + 2} \right) \in d:\) là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết : \(R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I;\left( P \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \sqrt {4 + 9} = \sqrt {13} \).
Mặt khác: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t - 2t + 1 - 2t - 4 - 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {6t + 5} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{6}\\t = - \frac{{11}}{6}\end{array} \right.\)
* Với \(t = \frac{1}{6}\): Tâm\({I_1}\left( { - \frac{1}{6}; - \frac{2}{3};\frac{{13}}{6}} \right)\), suy ra \(\left( {{S_1}} \right):{\rm{ }}{\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{13}}{6}} \right)^2} = 13\).
* Với \(t = - \frac{{11}}{6}\): Tâm\({I_2}\left( {\frac{{11}}{6}; - \frac{2}{3};\frac{1}{6}} \right)\), suy ra \(\left( {{S_2}} \right):{\rm{ }}{\left( {x - \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{6}} \right)^2} = 13\).

Bài tập 9: Cho điểm \(I\left( {1;0;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho \(\Delta IAB\) vuông tại I.
Bài giải​
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2;1;2} \right)\) và \(P\left( {1; - 1;1} \right) \in d\).
Ta có: \(\overrightarrow {IP} = \left( {0; - 1; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right] = \left( {0; - 4; - 2} \right)\). Suy ra: \({\rm{d}}\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {IP} } \right]} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|}} = \frac{{\sqrt {20} }}{3}\).
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, \(\Delta IAB\) vuông tại I
\( \Rightarrow \frac{1}{{I{H^{\rm{2}}}}} = \frac{1}{{I{A^2}}} + \frac{1}{{I{B^2}}} = \frac{2}{{{R^2}}} \Leftrightarrow R = \sqrt 2 IH = \sqrt 2 {\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\sqrt {40} }}{3}\)
Vậy (S) : \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{40}}{9}\).

Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\) và điểm \(A\left( {4;4;0} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải​
(S) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right),\) bán kính \(R = 2\sqrt 3 \). Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp \({R^/} = \frac{{OA}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Khoảng cách : \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {{\left( {{R^/}} \right)}^2}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : \(ax + by + cz = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right){\rm{ }}\left( * \right)\)
Do (P) đi qua A, suy ra: \(4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b = - a\).
Lúc đó: \({\rm{d}}\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2\left( {a + b + c} \right)} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} \Rightarrow \frac{{\left| {2c} \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow 2{a^2} + {c^2} = 3{c^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = a\\c = - 1\end{array} \right.\). Theo (*), suy ra \(\left( P \right):x - y + z = 0\) hoặc \(x - y - z = 0.\)
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): ${{\rm{ }}r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I;\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} {\rm{ }}}$

Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu $(S):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 3 = 0$ cắt mặt phẳng (P): x - 2 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải​
* Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;0;0} \right)\) và bán kính R = 2.
Ta có : \({\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = 1 < 2 = R \Leftrightarrow \)mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.c.m)
* Đường thẳng d qua \(I\left( {1;0;0} \right)\) và vuông góc với (P) nên nhận \({\vec n_P} = \left( {1;0;0} \right)\) làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\).
+ Tọa độ tâm \({I^/}\) đường tròn là nghiệm của hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow {I^/}\left( {2;0;0} \right)\).
+ Ta có: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = 1\). Gọi r là bán kính của (C), ta có : \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt 3 .\)

Dạng 2: SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp:
* Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (S)$ \Leftrightarrow $ ${\rm{ }}d\left( {I;\Delta } \right) = R.$
+ Mặt phẳng $(\alpha )$ là tiếp diện của (S) $ \Leftrightarrow $ ${\rm{ }}d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = R.$
* Lưu ý: các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.

Bài tập 1: Cho đường thẳng $\left( \Delta \right):\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và và mặt cầu $\left( S \right)$ : ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4z + 1 = 0$. Số điểm chung của $\left( \Delta \right)$ và $\left( S \right)$ là :
A. 0.
B.1.
C.2.
D.3.
Bài giải​
Đường thẳng$\left( \Delta \right)$đi qua $M\left( {0;\,1;\,2} \right)$và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)$
Mặt cầu $\left( S \right)$có tâm $I\left( {1;\,0;\, - 2} \right)$và bán kính \(R = 2.\)
Ta có $\overrightarrow {MI} = \left( {1; - 1; - 4} \right)$và $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( { - 5;7; - 3} \right)$$ \Rightarrow d\left( {I,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\sqrt {498} }}{6}$
Vì $d\left( {I,\,\Delta } \right) > R$ nên $\left( \Delta \right)$ không cắt mặt cầu $\left( S \right).$
Lựa chọn đáp án A.

Bài tập 2: Cho điểm $I\left( {1; - 2;3} \right)$. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}{\left( {z - 3} \right)^2} = \sqrt {10} .$
B. ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}{\left( {z - 3} \right)^2} = 10.$
C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}{\left( {z + 3} \right)^2} = 10.$
D.${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}{\left( {z - 3} \right)^2} = 9.$
Bài giải​
Gọi M là hình chiếu của $I\left( {1; - 2;3} \right)$ lên Oy, ta có : $M\left( {0; - 2;0} \right)$.
$\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;0; - 3} \right) \Rightarrow R = d\left( {I,Oy} \right) = IM = \sqrt {10} $ là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là : ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}{\left( {z - 3} \right)^2} = 10.$
Lựa chọn đáp án B.

Bài tập 3: Cho điểm $I\left( {1; - 2;3} \right)$và đường thẳng d có phương trình $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}$. Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:
A. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 50.$
B.${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 5\sqrt 2 .$
C. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 5\sqrt 2 .$
D.${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 50.$
Bài giải​
Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)$$ \Rightarrow d\left( {A,\,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 5\sqrt 2 \,\,$
Phương trình mặt cầu là : ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}{\left( {z - 3} \right)^2} = 50.$
Lựa chọn đáp án D.

Bài tập 4: Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm \(I\left( {2;3; - 1} \right)\) cắt đường thẳng \(d:\frac{{x - 11}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 25}}{{ - 2}}\) tại 2 điểm A, B sao cho \(AB = 16\) có phương trình là:
A. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 17.$
B.${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 289.$
C. ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289.$
D.${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 280.$
Bài giải
phương trình mặt cầu_4.png
Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua $M\left( {11;{\rm{ }}0; - 25} \right)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$.
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:
$IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 15\,\,$$ \Rightarrow R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 17$.
Vậy \(\left( S \right)\) : ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 289.$
Lựa chọn đáp án C.

Bài tập 5: Cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 7}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và điểm \(I(4;1;6)\). Đường thẳng d cắt mặt cầu $\left( S \right)$có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho \(AB = 6\). Phương trình của mặt cầu $\left( S \right)$ là:
A. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18.$
B.${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 18.$
C. ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 9.$
D.${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.$
Bài giải
phương trình mặt cầu_4.png
Đường thẳng\(d\) đi qua \(M( - 5;7;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2; - 2;1)\). Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
$IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = 3$$ \Rightarrow R = \sqrt {I{H^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = 18$
Vậy $\left( S \right)$: ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 18.$
Lựa chọn đáp án A.

Bài tập 6: Cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\)và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\). Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
B.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}.\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}.\)
Bài giải
phương trình mặt cầu_4.png
Đường thẳng$\left( \Delta \right)$đi qua $M = \left( {1;\,1;\, - 2} \right)$và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;\,2;1} \right)$
Ta có $\overrightarrow {MI} = \left( {0; - 1;2} \right)$và $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right)$
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có :
$IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 5 $.
Xét tam giác IAB, có $IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}$
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)
Lựa chọn đáp án A.

Bài tập 7: Cho mặt cầu$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 6z + 5 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu (S) qua$A\left( {0;0;5} \right)$ biết:
a) Tiếp tuyến có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;2;2} \right)$.
b) Vuông góc với mặt phẳng (P) : 3x - 2y + 2z + 3 = 0.
Bài giải​
a) Đường thẳng d qua $A\left( {0;0;5} \right)$và có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;2;2} \right)$, có phương trình d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 5 + 2t\end{array} \right.\).
b) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_P} = \left( {3; - 2;2} \right)\).
Đường thẳng d qua $A\left( {0;0;5} \right)$và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có một vectơ chỉ phương \({\vec n_P} = \left( {3; - 2;2} \right)\), có phương trình d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 2t\\z = 2t + 5\end{array} \right.\).

Bài tập 8: Cho $(S):{\rm{ }}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 6y + 2z + 3 = 0$ và hai đường thẳng ${\Delta _1}:{\rm{ }}\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2};{\rm{ }}$
${\rm{ }}{\Delta _2}:{\rm{ }}\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{1}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ đồng thời tiếp xúc với (S).
Bài giải​
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( {3;3; - 1} \right),{\rm{ }}R = 4$.
Ta có: ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = \left( {3;2;2} \right)$.
${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = \left( {2;2;1} \right)$.
Gọi $\vec n$ là một vectơ pháp của mặt phẳng (P).
Do: $\left\{ \begin{array}{l}(P)//{\Delta _1}\\(P)//{\Delta _2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\vec n \bot {{\vec u}_1}\\\vec n \bot {{\vec u}_2}\end{array} \right. \Rightarrow $ chọn $\vec n = \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 2; - 1;2} \right)$
Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : $ - 2x - y + 2z + m = 0$.
Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S)$ \Leftrightarrow d\left( {I;(P)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 + m} \right|}}{3} = 4$
$ \Leftrightarrow \left| {5 + m} \right| = 12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 17\end{array} \right.$.
Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : $ - 2x - y + 2z + 7 = 0,{\rm{ }} - 2x - y + 2z - 17 = 0$.

Bài tập 9: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 6z + 5 = 0$, biết tiếp diện:
a) qua \(M\left( {1;1;1} \right)\).
b) song song với mặt phẳng (P) : x + 2y - 2z - 1 = 0
b) vuông góc với đường thẳng $d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}$.
Bài giải​
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\), bán kính R = 3
a) Để ý rằng, \(M \in \left( S \right)\). Tiếp diện tại M có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IM} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\), có phương trình
\(\left( \alpha \right):{\rm{ }}2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 2z + 1 = 0.\)
b) Do mặt phẳng \(\left( \alpha \right)//\left( P \right)\) nên α có dạng : x + 2y - 2z + m = 0
Do α tiếp xúc với (S)\( \Leftrightarrow {\rm{d}}\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 3} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 6\\m = 12\end{array} \right.\).
* Với m = - 6 suy ra mặt phẳng có phương trình : \({\rm{ }}x + 2y - 2z - 6 = 0.\)
* Với m = 12 suy ra mặt phẳng có phương trình :\({\rm{ }}x + 2y - 2z + 12 = 0.\)
c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_d} = \left( {2;1; - 2} \right)\).
Do mặt phẳng $\left( \alpha \right) \bot d$ nên α nhận \({\vec u_d} = \left( {2;1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Suy ra mặt phẳng α có dạng : \(2x + y - 2z + m = 0\).
Do α tiếp xúc với (S)\( \Leftrightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 6} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left| {m - 6} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 15\end{array} \right.\).
* Với m = - 3 suy ra mặt phẳng có phương trình : \({\rm{ }}x + 2y - 2z - 3 = 0.\)
* Với m = 15 suy ra mặt phẳng có phương trình :\({\rm{ }}x + 2y - 2z + 15 = 0.\)

Các bạn có thể xem thêm bài tập trắc nghiệm: tại đây
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...