Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\)và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\). Phương trình mặt cầu (S)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:
A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\).
B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\).
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}\).
D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}\).
Đường thẳng$\left( \Delta \right)$đi qua $M = \left( {1;\,1;\, - 2} \right)$và có VTCP $\overrightarrow u = \left( {1;\,2;1} \right)$
Ta có $\overrightarrow {MI} = \left( {0; - 1;2} \right)$và $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right] = \left( {5; - 2; - 1} \right)$
Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Có: $IH = d\left( {I,\,AB} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MI} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 5 $.
Xét tam giác IAB, có $IH = R.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow R = \frac{{2IH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{3}$
Vậy phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}.\)