Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M(1;2;3).$ Mặt phẳng (P) qua Mcắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất có phương trình là:
A.6x + 3y + 2z = 0.
B. 6x + 3y + 2z - 18 = 0.
C. x + 2y + 3z - 14 = 0.
D. x + y + z - 6 = 0.
A.6x + 3y + 2z = 0.
B. 6x + 3y + 2z - 18 = 0.
C. x + 2y + 3z - 14 = 0.
D. x + y + z - 6 = 0.
Phương pháp tự luận
+) Mặt phẳng (P) cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại \(A,B,C\)nên $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$($a,b,c > 0$).
Phương trình mặt phẳng (P) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
+) Mặt phẳng (P) qua M nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$.
Ta có $1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{6}{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge 162$
+) Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng $V = \frac{1}{6}abc \ge 27$.
Thể tích khối tứ diện $OABC$ nhỏ nhất khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3}$suy ra $a = 3,b = 6,c = 9$.
Phương trình mặt phẳng (P) $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$hay $6x + 3y + 2z - 18 = 0$.
+) Mặt phẳng (P) cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại \(A,B,C\)nên $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$($a,b,c > 0$).
Phương trình mặt phẳng (P) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
+) Mặt phẳng (P) qua M nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$.
Ta có $1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{6}{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge 162$
+) Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng $V = \frac{1}{6}abc \ge 27$.
Thể tích khối tứ diện $OABC$ nhỏ nhất khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3}$suy ra $a = 3,b = 6,c = 9$.
Phương trình mặt phẳng (P) $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$hay $6x + 3y + 2z - 18 = 0$.