Toán 12 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
I. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Xét hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số bậc nhất \(y = kx + n\) có đồ thị d.
Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\)và d:\(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = kx + n{\rm{ }}(1)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm. Ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Phương trình \(\left( 1 \right)\)có “nghiệm đẹp”\({x_0}\).
Thường thì đề hay cho nghiệm \({x_0} = 0;{\rm{ }} \pm 1;{\rm{ }} \pm 2;...\) thì khi đó:
\((1) \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right)\left( {A{x^2} + Bx + C} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - {x_0} = 0\\A{x^2} + Bx + C = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Khi đó:
  • \(\left( C \right)\) và d có ba giao điểm\( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm \({x_0}\). (Đây là trường hợp thường gặp)
  • \(\left( C \right)\) và d có hai giao điểm\( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm \({x_0}\) hoặc phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép khác \({x_0}\).
  • \(\left( C \right)\) và d có một giao điểm\( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm\( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép là \({x_0}\).
Trường hợp 2: Phương trình \(\left( 1 \right)\) không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi phương trình \(\left( 1 \right)\) sao cho hạng tử chứa \(x\) tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số m nằm bên vế phải, nghĩa là \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f(x) = g(m)\).
Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số \(y = f\left( x \right)\) và biện luận số giao điểm của \(\left( C \right)\) và d theo tham số m.


2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ
1: Tìm giao điểm của đồ thị \((C):y = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) và đường thẳng \(y = 1\).
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\). Vậy có ba giao điểm \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {2;1} \right).\)

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = m{x^3} - {x^2} - 2x + 8m\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm m đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm \(m{x^3} - {x^2} - 2x + 8m = 0\) (1)
\( \Leftrightarrow \)\(\left( {x + 2} \right)\left[ {m{x^2} - (2m + 1)x + 4m} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\m{x^2} - (2m + 1)x + 4m = 0{\rm{ (2)}}\end{array} \right.\)
\(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\)có ba nghiệm phân biệt.
\( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta = - 12{m^2} + 4m + 1 > 0\\12m + 2 \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{1}{2}\\m \ne - \frac{1}{6}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - \frac{1}{6} < m < \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( { - \frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm m để đường thẳng \(d:y = - x + 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\)và d:
\(2{x^3} - 3m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 1 = - x + 1 \Leftrightarrow x\left( {2{x^2} - 3mx + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3mx + m = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 9{m^2} - 8m > 0\\m \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{8}{9}; + \infty } \right)\).
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{8}{9}; + \infty } \right)\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + mx + 2\) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là
\({x^3} + mx + 2 = 0\).
Vì \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với
\(m = - {x^2} - \frac{2}{x}\,{\rm{ }}\left( {x \ne 0} \right)\)
Xét hàm số \(f(x) = - {x^2} - \frac{2}{x}\) với \(x \ne 0\), suy ra \(f'(x) = - 2x + \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{ - 2{x^3} + 2}}{{{x^2}}}\). Vậy
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Bảng biến thiên:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.PNG

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất \( \Leftrightarrow m > - 3\). Vậy \(m > - 3\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành:
\({x^3} - 3{x^2} - 9x + m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 9x = - m{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình hoành độ giao điểm của đường \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} - 9x\) và đường thẳng \(d:y = - m\). Số nghiệm của \(\left( 1 \right)\) bằng số giao điểm của \(\left( C \right)\)và d.
Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 6x - 9;{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số_1.PNG

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow - 27 < - m < 5 \Leftrightarrow - 5 < m < 27\).

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( { - 1;0} \right)\) với hệ số góc \(k\)\((k \in \mathbb{R})\). Tìm \(k\) để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số\((C):\)\(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\)tại ba điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) và tam giác \(OBC\) có diện tích bằng \(1\) (O là gốc tọa độ).
giải
Đường thẳng d đi qua \(A( - 1;0)\) và có hệ số góc \(k\) nên có dạng \(y = k(x + 1)\), hay
\(kx - y + k = 0\).
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:
\({x^3} - 3{x^2} + 4 = kx + k \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 4 - k} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\g(x) = {x^2} - 4x + 4 - k = 0\,\,(*)\end{array} \right.\)
dcắt (C)tại ba điểm phân biệt\( \Leftrightarrow \)phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g( - 1) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k > 0\\k \ne 9\end{array} \right.\).
Khi đó \(g(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt k ;x = 2 + \sqrt k \). Vậy các giao điểm của hai đồ thị lần lượt là
\(A( - 1;0),\;\;B\left( {2 - \sqrt k ;3k - k\sqrt k } \right),\;\;C\left( {2 + \sqrt k ;3k + k\sqrt k } \right)\).
Tính được \(BC = 2\sqrt k \sqrt {1 + {k^2}} ,\;\,\,d(O,BC) = d(O,d) = \frac{{\left| k \right|}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }}\). Khi đó
\({S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{2}.\frac{{\left| k \right|}}{{\sqrt {1 + {k^2}} }}.2\sqrt k .\sqrt {1 + {k^2}} = 1 \Leftrightarrow \left| k \right|\sqrt k = 1 \Leftrightarrow {k^3} = 1 \Leftrightarrow k = 1\).
Vậy \(k = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
II. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\)và đường thẳng \(y = k\) có đồ thị d.
Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\)và d:\(a{x^4} + b{x^2} + c = k{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {x^2}{\rm{ }}\left( {t \ge 0} \right)\) ta có phương trình \(a{t^2} + bt + c - k = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
  • \(\left( C \right)\) và d có bốn giao điểm \( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\)có bốn nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\)có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 2 \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\). (Trường hợp này thường gặp)
  • \(\left( C \right)\) và d có ba giao điểm\( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm \(t = 0\).
  • \(\left( C \right)\) và d có hai giao điểm\( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép dương hoặc có hai nghiệm trái dấu.
  • \(\left( C \right)\) và d không có giao điểm\( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) vô nghiệm\( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm.
  • \(\left( C \right)\) và d có một giao điểm\( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có một nghiệm\( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(t = 0\) và một nghiệm âm.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ
1: Tìm giao điểm của đồ thị \((C):y = {x^4} + 2{x^2} - 3\) và trục hoành.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} + 2{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow x = 1 \vee x = - 1.\)
Vậy có hai giao điểm: \(A\left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {1;0} \right).\)

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình \({x^4} - 2{x^2} - m + 3 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt.
giải​
Phương trình: \({x^4} - 2{x^2} - m + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 3 = m{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\)là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) và đường thẳng \(d:y = m\). Số nghiệm của \(\left( 1 \right)\) bằng số giao điểm của \(\left( C \right)\) và d.
Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\).
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm \(y' = 4{x^3} - 4x;{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(\left( 1 \right)\) có bốn nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 2 < m < 3\). Vậy \(2 < m < 3\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} - 3m - 2{\rm{ }}\left( {{C_m}} \right)\). Định m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng \(d:y = - 2\) tại bốn điểm phân biệt.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm của \(({C_m})\) và d:
\({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} - 3m - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + {m^2} - 3m = 0\;\;\;\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = {x^2}{\rm{ }}\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành
\({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + {m^2} - 3m = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\).
\(({C_m})\)và d có bốn giao điểm \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\)có bốn nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\)có hai nghiệm dương phân biệt.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5m + 1 > 0\\{m^2} - 3m > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{1}{5}\\m < 0,m > 3\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{5} < m < 0\\m > 3\end{array} \right.\).
Vậy \(m \in \left( { - \frac{1}{5};0} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\) thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {3m + 2} \right){x^2} + 3m\,\,\left( C \right)\). Tìm m để đường thẳng \(d:y = - 1\) cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:\(y = - 1\) là
\({x^4} - \left( {3m + 2} \right){x^2} + 3m = - 1 \Leftrightarrow {x^4} - \left( {3m + 2} \right){x^2} + 3m + 1 = 0\).
Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\), ta có phương trình
\({t^2} - \left( {3m + 2} \right)t + 3m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3m + 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 3m + 1\end{array} \right.\). Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < 3m + 1 < 4\\3m + 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < m < 1\) và \(m \ne 0\). Vậy \( - \frac{1}{3} < m < 1\) và \(m \ne 0\)thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2}\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm m để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2} = 0\) \(\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = {x^2}\) \(\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình \(\left( 1 \right)\)trở thành: \({t^2} - \left( {3m + 4} \right)t + {m^2} = 0\) \(\left( 2 \right)\)
\(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\)có bốn nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \)\(\left( 2 \right)\)có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 5{m^2} + 24m + 16 > 0\\P = {m^2} > 0\\S = 3m + 4 > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}m < - 4 \vee m > - \frac{4}{5}\\m \ne 0\\m > - \frac{4}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.\) (*)
Khi đó phương trình \(\left( 2 \right)\)có hai nghiệm $0 < {t_1} < {t_2}$. Suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có bốn nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \sqrt {{t_2}} < {x_2} = - \sqrt {{t_1}} < {x_3} = \sqrt {{t_1}} < {x_4} = \sqrt {{t_2}} \). Bốn nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \)\({x_2} - {x_1} = {x_3} - {x_2} = {x_4} - {x_3}\) \( \Leftrightarrow \)\( - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \) \( \Leftrightarrow \)\(\sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \) \( \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\) (3)
Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 3m + 4{\rm{ (4)}}\\{t_1}{t_2} = {m^2}{\rm{ (5)}}\end{array} \right.\)
Từ \(\left( {\rm{3}} \right)\)và \(\left( 4 \right)\)ta suy ra được \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{3m + 4}}{{10}}\\{t_2} = \frac{{9\left( {3m + 4} \right)}}{{10}}\end{array} \right.\)\(\left( {\rm{6}} \right).\)
Thay \(\left( 6 \right)\)vào \(\left( 5 \right)\) ta được \(\frac{9}{{100}}{\left( {3m + 4} \right)^2} = {m^2}\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}3\left( {3m + 4} \right) = 10m\\3\left( {3m + 4} \right) = - 10m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 12\\m = - \frac{{12}}{{19}}\end{array} \right.\)(thỏa (*))
Vậy giá trị m cần tìm là \(m = 12;{\rm{ }}m = - \frac{{12}}{{19}}.\)

III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\)
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}{\rm{ }}\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(y = kx + n\) có đồ thị d. Lập phương trình hoành độ giao điểm của(C) và d:
\(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = kx + n \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{x^2} + Bx + C = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\x \ne - \frac{d}{c}\end{array} \right.\)
(C) và d có hai giao điểm \( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - \frac{d}{c}\).


2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ
1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (C): \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và đường thẳng \(d:y = x + 2.\)
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} = x + 2\) \(\left( 1 \right)\)
Điều kiện: \(x \ne \frac{1}{2}\). Khi đó \((1)\)\( \Leftrightarrow \)\(2x + 1 = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}\\x = 1 \Rightarrow y = 3\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng \(d:y = - x + m\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - x + m\) \(\left( 1 \right)\)
Điều kiện: \(x \ne 1\). Khi đó \((1)\) \( \Leftrightarrow \) \(2x - 1 = \left( { - x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \) \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
dcắt (C)tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \)(2) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\1 - \left( {m - 1} \right).1 + m - 1 \ne 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 6m + 5 > 0\)\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)
Vậy giá trị m cần tìm là \(m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right).\)

Ví dụ 3: Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\). Tìm m để đường thẳng \(d:y = 2x - 1\) cắt đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho \(AB = \sqrt {10} \).
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{mx - 1}}{{x + 2}} = 2x - 1\) \(\left( 1 \right)\)
Điều kiện: \(x \ne - 2\). Khi đó
\((1)\)\( \Leftrightarrow \)\(mx - 1 = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(2{x^2} - \left( {m - 3} \right)x - 1 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
d cắt \(\left( {{C_m}} \right)\)tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) \( \Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \)(2) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left[ { - \left( {m - 3} \right)} \right]^2} + 8 > 0\\8 + 2m - 6 - 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(m \ne - \frac{1}{2}\) (*)
Đặt \(A\left( {{x_1};2{x_1} - 1} \right);{\rm{ }}B\left( {{x_2};2{x_2} - 1} \right)\)với \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\).
Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\), khi đó
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + 4{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow \)\(5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 10\)
\( \Leftrightarrow \)\({\left( {\frac{{m - 3}}{2}} \right)^2} + 2 = 2\)\( \Leftrightarrow \)\(m = 3\) (thỏa (*))
Vậy giá trị m cần tìm là \(m = 3\).

Ví dụ 4: Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) (C). Tìm m để đường thẳng \(d:y = - 2x + m\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích là \(\sqrt 3 \).
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = - 2x + m \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( { - 2x + m} \right)\) ( điều kiện: \(x \ne - 1\))
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 1 - m = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\) ( điều kiện: \(x \ne - 1\)).
d cắt (C) tại hai điểm\(A,{\rm{ }}B\) phân biệt \( \Leftrightarrow \)(1) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} + 8 > 0{\rm{ }}\forall m\\2.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {4 - m} \right)\left( { - 1} \right) + 1 - m \ne 0\end{array} \right.\).
Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) phân biệt với mọi m.
Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);{\rm{ }}B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), trong đó\({y_1} = - 2x{}_1 + m;{\rm{ }}{y_2} = - 2x{}_2 + m\) và \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là các nghiệm của \(\left( 1 \right)\). Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m - 4}}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{{1 - m}}{2}\end{array} \right.\). Tính được:
\(d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }};{\rm{ }}AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} = \sqrt {5{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 20{x_1}{x_2}} = \frac{{\sqrt {5\left( {{m^2} + 8} \right)} }}{2}\)
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {O;AB} \right) = \frac{{\left| m \right|\sqrt {{m^2} + 8} }}{4} = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \vee m = - 2.\)
Vậy các giá trị m cần tìm là \(m = 2;{\rm{ }}m = - 2.\)

Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) (C). Tìm k để đường thẳng \(d:y = kx + 2k + 1\) cắt (C)tại hai điểm phân biệt \(A,{\rm{ }}B\) sao cho khoảng các từ \(A\) và \(B\)đến trục hoành bằng nhau.
giải​
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = kx + 2k + 1 \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {kx + 2k + 1} \right)\)(điều kiện: \(x \ne - 1\))
\( \Leftrightarrow k{x^2} + \left( {3k - 1} \right)x + 2k = 0\;\;\;\left( 1 \right)\). (điều kiện: \(x \ne - 1\))
d cắt (C) tại hai điểm\(A,{\rm{ }}B\) phân biệt \( \Leftrightarrow \)(1) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\\Delta = {k^2} - 6k + 1 > 0\\k{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {3k - 1} \right)\left( { - 1} \right) + 2k \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\k < 3 - 2\sqrt 2 \vee k > 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Khi đó: \(A\left( {{x_1};k{x_1} + 2k + 1} \right),{\rm{ }}B\left( {{x_2};k{x_2} + 2k + 1} \right)\) với \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là nghiệm của (1).
Theo định lý Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 3k + 1}}{k}\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right.\). Tính được
\(d\left( {A;Ox} \right) = d\left( {B;Ox} \right) \Leftrightarrow \left| {k{x_1} + 2k + 1} \right| = \left| {k{x_2} + 2k + 1} \right|\)
<=>\(\left[ \begin{array}{l}k{x_1} + 2k + 1 = k{x_2} + 2k + 1\\k{x_1} + 2k + 1 = - k{x_2} - 2k - 1\end{array} \right.\)
<=>\(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\,\,\left( {{\rm{loa\"i i}}} \right)\\k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4k + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4k + 2 = 0 \Leftrightarrow k = - 3\).
Vậy \(k = - 3\) thỏa yêu cầu bài toán.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
[/SPOILER]Câu 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} - 1\) với trục \(Ox\) là
A. 3.
B. 1.
C.2.
D. 4.
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm:\( - {x^4} + 2{x^2} - 1 = 0\) <=>\({x^2} = 1\) <=>\(x = 1 \vee x = - 1.\)
Vậy số giao điểm là \(2\).
Câu 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) với trục \(Ox\) là
A.\(1\).
B.\(3.\)
C.\(0.\)
D.\(2.\)
Chọn B.
Giải phương trình \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy số giao điểm là \(3\).
Câu 3. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} + x - 12\) và trục \(Ox\)là
A.2.
B.1.
C.3.
D.0.
Chọn B.
Lập phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 2{x^2} + x - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy có một giao điểm duy nhất.
Câu 4. Đường thẳng \(y = x - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) tại các điểm có tọa độ là
A.\(\left( {0;2} \right).\)
B.\(\left( { - 1;0} \right);{\rm{ }}\left( {2;1} \right).\)
C.\(\left( {0; - 1} \right);{\rm{ }}\left( {2;1} \right).\)
D.\(\left( {1;2} \right).\)
Chọn C.
Lập phương trình hoành độ giao điểm \((P)\).
Thế vào phương trình \(y = x - 1\) được tung độ tương ứng \(\left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy chọn \(\left( {0; - 1} \right),{\rm{ }}\left( {2;1} \right).\)
Câu 5. Đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) cắt đường thẳng \(d:y = 2x - 3\) tại các điểm có tọa độ là
A.\(\left( {2;\,\, - 1} \right)\); \(\left( { - \frac{1}{2};\,\, - 2} \right).\)
B.\(\left( {2;\,\,1} \right)\); \(\left( { - \frac{1}{2};\,\, - 4} \right).\)
C.\(\left( { - 1;\,\, - 5} \right)\); \(\left( {\frac{3}{2};\,\,0} \right).\)
D.\(\left( {\frac{1}{2};\,\, - 2} \right).\)
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right.\) <=>\(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Thế vào phương trình \(2x - 3\) được tung độ tương ứng: \(\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 4\end{array} \right.\).
Vậy chọn \(\left( {2;\,\,1} \right)\,{\rm{ va{\o}}}\,{\rm{ }}\left( { - \frac{1}{2};\,\, - 4} \right)\).
Câu 6. Đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} + {x^3} + {x^2}\)cắt trục hoành tại mấy điểm?
A. 2.
B.3.
C.1.
D.0.
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm
\(2{x^4} + {x^3} + {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}(2{x^2} + x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} + x + 1 = 0(VN)\end{array} \right.\)
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm.
Câu 7. Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị (C) và đường thẳng d:\(y = x - 1\). Số giao điểm của (C) và d là
A.0.
B.1.
C.2.
D.3.
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm
\(2{x^3} - 3{x^2} + 1 = x - 1 \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} - x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4}\\x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}\end{array} \right.\)
Vậy số giao điểm là 3.
Câu 8. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x + 2}}\,\) và trục hoành là
A.0.
B.
C.
D.
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x + 2}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Vậy số giao điểm là .
Câu 9. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) và trục hoành là
A.0.
B.
C.
D.2.
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Vậy số giao điểm là .
Câu 10. Giao điểm giữa đồ thị \((C):y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 1\) là
A.\(A\left( {2; - 1} \right).\)
B.\(A\left( {0; - 1} \right).\)
C.\(A\left( { - 1;2} \right).\)
D.\(A\left( { - 1;0} \right).\)
Chọn D.
Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}} = x + 1 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 0\).
Vậy chọn \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\).
Câu 11. Cho hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} - 2\) có đồ thị (C) và đồ thị \((P)\): \(y = 1 - {x^2}\). Số giao điểm của \((P)\) và đồ thị (C) là
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\({x^4} - 4{x^2} - 2 = - {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} \vee x = - \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} \\{x^2} = \frac{{3 - \sqrt {21} }}{2} < 0\end{array} \right.\)
Vậy số giao điểm là 2.
Câu 12. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:y = 2x - 3\). Số giao điểm của \(\left( C \right)\) và d là
A.2. B.1.
C.3.
D.0.
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)
Vậy số giao điểm là 2.
Câu 13. Tọa độ giao điểm giữa đồ thị \((C):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) và đường thẳng \(d:y = x - 2\) là
A.\(A\left( { - 1; - 3} \right);{\rm{ }}\,B\left( {3;1} \right).\)
B.\(A\left( {1; - 1} \right);\,{\rm{ }}B\left( {0; - 2} \right).\)
C.\(A\left( { - 1; - 3} \right);{\rm{ }}\,B\left( {0; - 2} \right).\)
D.\(A\left( {1; - 1} \right);{\rm{ }}\,B\left( {3;1} \right).\)
Chọn A.
Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 1\\x = - 1 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\) .
Vậy chọn \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).\)
Câu 14. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng d: \(y = 2x - 3\). Đường thằng d cắt (C) tại hai điểm A và
B.Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
A.\({x_I} = \frac{4}{3}.\)
B.\({x_I} = - \frac{3}{4}.\)
C.\({x_I} = \frac{3}{4}.\)
D.\({x_I} = - \frac{4}{3}.\)
Chọn C
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{3}{4}.\)
Câu 15. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng \(MN\) với \(M,{\rm{ }}N\) là giao điểm của đường thẳng d:\(y = x + 1\) và đồ thị hàm số (C):\(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\) là
A.\(I\left( { - 1; - 2} \right).\)
B.\(I\left( { - 1;2} \right).\)
C.\(I\left( {1; - 2} \right).\)
D.\(I\left( {1;2} \right).\)
Chọn D.
Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x + 2}}{{x - 1}} = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 4\\x = - 1 \Rightarrow y = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right).\)
Vậy chọn \(I\left( {1;2} \right).\)
Câu 16. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) là hai giao điểm của đường thẳng \(d:y = x + 1\) và \(\left( C \right):y = \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}\). Hoành độ trung điểmIcủa đoạn thẳng \(MN\) là
A.\(2.\)
B.\(1.\)
C.\(\frac{5}{2}.\)
D.\( - \frac{5}{2}.\)
Chọn B.
Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 6 \\x = 1 - \sqrt 6 \end{array} \right. \Rightarrow {x_I} = 1.\)
Câu 17. Đồ thị hàm số \(y = 2{x^4} - {x^2} + 2\) cắt đuờng thẳng \(y = 6\) tại bao nhiêu điểm?
A.\(2.\)
B.\(0.\)
C.\(4.\)
D.\(3.\)
Chọn A.
Lập phương trình hoành độ giao điểm:
\(2{x^4} - {x^2} + 2 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{1 + \sqrt {33} }}{4}\\{x^2} = \frac{{1 - \sqrt {33} }}{4}\end{array} \right. \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {33} }}{4}} \vee x = - \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {33} }}{4}} .\)
Câu 18. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \((H):y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = 2{x^4} - {x^2}\) tại các điểm có tọa độ là
A.\(\left( {1;1} \right);{\rm{ }}\left( { - 1;1} \right).\)
B.\(\left( {1;1} \right).\)
C.\(\left( { - 1;1} \right).\)
D.\(\left( {0;1} \right).\)
Chọn A.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\left( {C'} \right)\) là \(y = 1.\) Phương trình hoành độ giao điểm
\(2{x^4} - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow y = 1.\)
Vậy chọn \(\left( {1;1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;1} \right).\)
Câu 19. Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ cắt đường thẳng \(y = m\) tại ba điểm phân biệt thì tất cả các giá trị tham số m thỏa mãn là
A.m > 1
B.– 3 ≤ m ≤ 1.
C.– 3 < m < 1
D.\(m < - 3.\)
Chọn C.
Lập phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} + 1 = m\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = 2.\)
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Do đó, đồ thị cắt đường thẳng \(y = m\) tại ba điểm phân biệt khi .
Vậy chọn \( - 3 < m < 1\).
Câu 20. Đường thẳng \(y = m\) không cắt đồ thị hàm số \(y = - 2{x^4} + 4{x^2} + 2\,\) thì tất cả các giá trị tham số m là
A.\(m > 4\).
B.\(m \ge 4\).
C.\(m \le 2\).
D.\(2 < m < 4\).
Chọn A.
Lập phương trình hoành độ giao điểm: \( - 2{x^4} + 4{x^2} + 2\, = m\)
Ta có: \(y' = - 8{x^3} + 8x\) ; \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = 1 \vee x = - 1.\)
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Do đó, đường thẳng \(y = m\) không cắt đồ thị hàm số khi \(m > 4\).
Vậy chọn \(m > 4\).
Câu 21. Với tất cả giá trị nào của tham số m thì phương trình \({x^4} - 2{x^2} = m + 3\) có bốn nghiệm phân biệt?
A.\(m \in \left( { - 4; - 3} \right).\)
B.\(m = - 3\) hoặc \(m = - 4.\)
C.\(m \in \left( { - 3; + \infty } \right).\)
D.\(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right).\)
Chọn A.
Ta khảo sát hàm số \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}\) tìm được \({y_{CT}} = - 1,{\rm{ }}{y_{{\rm{C\S}}}} = 0\).
Yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow - 1 < m + 3 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < - 3\).
Vậy chọn \(m \in \left( { - 4; - 3} \right)\).
Câu 22. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3x - m + 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt là
A.\( - 1 < m < 3.\)
B.\( - 1 \le m \le 3.\)
C.\(m = 1.\)
D.\(m < - 1\) hoặc \(m > 3.\)
Chọn A.
Phương pháp tự luận:
Ta khảo sát hàm số \(\left( C \right):y = {x^3} - 3x + 1\) tìm được \({y_{{\rm{C\S}}}} = 3,{\rm{ }}{y_{CT}} = - 1.\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow - 1 < m < 3\). Vậy chọn \( - 1 < m < 3.\)
Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp đáp án
+Với \(m = 2,\) giải phương trình \({x^3} - 3x - 1 = 0\) ta bấm máy được ba nghiệm \( \Rightarrow \) loại C, D.
+Với \(m = - 1\), giải phương trình \({x^3} - 3x + 2 = 0\) ta bấm máy được hai nghiệm \( \Rightarrow \) loại B.
Vậy chọn \( - 1 < m < 3\)
Câu 23. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) cắt đường thẳng \(d:y = m\) tại ba điểm phân biệt là
A.\( - 2 < m < 0.\)
B.\( - 2 < m < 2.\)
C.\(0 < m < 1.\)
D.\(1 < m < 2.\)
Chọn B.
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Đường thẳng \(d:y = m\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt khi: \( - 2 < m < 2\) .
Vậy chọn \( - 2 < m < 2\).
Câu 24. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) cắt đường thẳng \(d:y = m\) tại bốn điểm phân biệt là
A.\( - 4 < m < - 3.\)
B.\(m < - 4.\)
C.\(m > - 3.\)
D.\( - 4 < m < - \frac{7}{2}.\)
Chọn A.
Bảng biến thiên
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Đường thẳng \(d:y = m\) cắt \(\left( C \right)\) tại bốn điểm phân biệt khi \( - 4 < m < - 3\).
Vậy chọn \( - 4 < m < - 3\)
Câu 25. Cho hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} - 2\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:y = m\). Tất cả các giá trị của tham số m để d cắt (C) tại bốn điểm phân biệt là
A.\( - 6 \le m \le - 2.\)
B.\(2 < m < 6.\)
C.\( - 6 < m < - 2.\)
D.\(2 \le m \le 6.\)
Chọn C.
Xét hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} - 2\)
Tính \(y' = 4{x^3} - 8x\)
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - 2\\x = \sqrt 2 \Rightarrow y = - 6\\x = - \sqrt 2 \Rightarrow y = - 6\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Dựa vào bảng biến thiên suy ra \( - 6 < m < - 2\).
Vậy chọn \( - 6 < m < - 2\).
Câu 26. Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) có bốn nghiệm phân biệt là
A.\(1 < m < \frac{{13}}{4}.\)
B.\(0 < m < \frac{9}{4}.\)
C.\( - \frac{9}{4} < m < 0.\)
D.\( - 1 < m < \frac{{13}}{4}.\)
Chọn B.
Phương trình <=>\(m = - {x^4} + 3{x^2}\). Đặt \(\left( C \right):y = - {x^4} + 3{x^2}\) và \(d:y = m\)
Xét hàm số \(y = - {x^4} + 3{x^2}\). Ta có\(y' = - 4{x^3} + 6x\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \vee \,\,x = - \frac{{\sqrt 6 }}{2}.\)
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Phương trình có bốn nghiệm phân biệt <=> d cắt \(\left( C \right)\) tại bốn điểm phân biệt <=>\(0 < m < \frac{9}{4}\).
Vậy chọn \(0 < m < \frac{9}{4}\).
Câu 27. Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + m\). Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt là
A.\(0 < m < 1.\)
B.\( - 1 < m \le 0.\)
C.\( - 1 < m < 0.\)
D.\( - 1 \le m < 0.\)
chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: \( - {x^4} + 2{x^2} + m = 0\,\)<=>\(m = {x^4} - 2{x^2}\).
Đặt \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}\) và \(d:y = m\)
Xét hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\) ; \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = - 1 \vee x = 1.\)
Bảng biến thiên:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt khi \( - 1 < m \le 0\).
Vậy chọn \( - 1 < m \le 0\).
Câu 28. Cho hàm số \(y = (x - 2)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3} \right)\). Tất cả giá trị của thma số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A.\( - 2 < m < - 1.\)
B.\(\left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\m \ne - 1\end{array} \right..\)
C.\( - 1 < m < 2.\)
D.\(\left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 2\\m \ne 1\end{array} \right..\)
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3} \right) = 0{\rm{ }}\,\,(1)\)
<=>$\left[ \begin{array}{l} x = 2\\ {x^2} + mx + {m^2} - 3\, = 0{\rm{ }}\,(2) \end{array} \right.$
Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt <=> Phương trình có ba nghiệm phân biệt <=>Phương trình \(\left( {\rm{2}} \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \(2\)
<=>\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\4 + 2m + {m^2} - 3 \ne 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 12 > 0\\{m^2} + 2m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\m \ne - 1\end{array} \right.\). Vậy chọn \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\m \ne - 1\end{array} \right.\).
Câu 29. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình \({x^4} - 2{x^2} - m + 3 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt là
A.\(2 < m < 3.\)
B.\(2 \le m \le 3.\)
C.\(m \ge 2.\)
D.\(m > 2.\)
Chọn A.
Tương tự ta khảo sát hàm số \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) ta tìm được \({y_{CT}} = 2,{y_{CD}} = 3\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 2 < m < 3\). Vậy chọn \(2 < m < 3\).
Câu 30. Tất cả giá trị của tham sốm để phương trình \({x^4} - 2{x^2} - m + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là
A.\(m > 3.\)
B.\(m \ge 3.\)
C. \(m > 3\)hoặc \(m = 2.\)
D.\(m = 3\) hoặc \(m = 2.\)
Chọn C.
Phương pháp tự luận:
Tương tự ta khảo sát hàm số \(\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2} + 3\) ta tìm được \({y_{CT}} = 2,{y_{CD}} = 3\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m = 2 \vee m > 3\). Vậy chọn \(m = 2 \vee m > 3\).
Phương pháp trắc nghiệm:
+Với \(m = 3,\) ta giải phương trình \({x^4} - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = \sqrt 2 \vee x = - \sqrt 2 \Rightarrow \)loại B, D.
+Với \(m = 2,\) ta giải phương trình \({x^4} - 2{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 1 \Rightarrow \) loại
A.
Câu 31. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - 2{x^4} + 2{x^2} + 1\) cắt đường thẳng \(y = 3m\) tại ba điểm phân biệt là
A.\(\frac{1}{3} \le m \le \frac{1}{2}.\)
B.\(m = \frac{1}{2}.\)
C.\(m \le \frac{1}{3}.\)
D.\(m = \frac{1}{3}.\)
Chọn D.
Phương pháp tự luận:
Khảo sát hàm số \(\left( C \right):y = - 2{x^4} + 2{x^2} + 1\) tìm được \({y_{CT}} = 1,{\rm{ }}{y_{{\rm{C\S}}}} = \frac{3}{2}\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 3m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}\). Vậy chọn \(m = \frac{1}{3}\).
Phương pháp trắc nghiệm:
+ Với \(m = \frac{1}{2}\), ta giải phương trình \( - 2{x^4} + 2{x^2} - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \vee x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \)loại B, A.
+ Với \(m = 0\), ta giải phương trình
\( - 2{x^4} + 2{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\\{x^2} = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \vee x = - \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \) \( \Rightarrow \) loại C.
Vậy chọn \(m = \frac{1}{3}.\)
Câu 32. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = - 2{x^3} + 3{x^2} + 2m - 1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
A.\(\frac{1}{4} \le m < \frac{1}{2}.\)
B.\( - \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}.\)
C.\(0 < m < \frac{1}{2}.\)
D.\(0 \le m \le \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
Phương pháp tự luận:
sự tương giao của đồ thị hàm sô.PNG

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục \(Ox\): \( - 2{x^3} + 3{x^2} + 2m - 1 = 0\). Ta khảo sát hàm số \(\left( {C'} \right):y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) và cũng chỉ là tìm \({y_{CD}},{y_{CT}}\). Cụ thể\({y_{CD}} = 1,{y_{CT}} = 0\). Do đó yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow 0 < 2m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{2}\) . Vậy chọn \(0 < m < \frac{1}{2}\)
Phương pháp trắc nghiệm:
+ Với \(m = 0,\) ta có phương trình \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) loại B, D.
+ Với \(m = 0.1\), ta có phương trình \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 0.8 = 0\) có 3 nghiệm \( \Rightarrow \) loại C.
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 4 + m = 0\) có nghiệm duy nhất lớn hơn \(2\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) là hình bên.
A.\(m > 0.\)
B.\(m \le - 4.\)
C.\(m < - 4.\)
D.\(m \le - 4\) hoặc \(m \ge 0.\)
Chọn C.
Ta có \({x^3} - 3{x^2} + 4 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right).\) Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C):\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) và đường thẳng d:\(y = m\). Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của (*). Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \)\(m < - 4\). Vậy chọn \(m < - 4\).
Câu 34. Tất cả giá trị của thm số m để phương trình \({x^3} - 3x - m + 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương là
A.\( - 1 \le m \le 1.\)
B.\( - 1 < m \le 1.\)
C.\( - 1 < m < 3.\)
D.\( - 1 < m < 1.\)
Chọn D.
Phương pháp tự luận:
Ta có đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\)như hình bên.
Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là \( - 1 < m < 3.\)
Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow - 1 < m < 1\). Vậy chọn \( - 1 < m < 1.\)
Phương pháp trắc nghiệm: Xét \(m = 1\), ta được phương trình \({x^3} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)
không đủ hai nghiệm dương \( \Rightarrow \) loại A, B,
C.Vậy chọn \( - 1 < m < 1.\)
Câu 35. Cho hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ. Dùng đồ thị \(\left( C \right)\)suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} + 2m = 0\)\(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt là
A.\(0 < m < \frac{1}{2}\).
B.\( - 1 < m < 0\).
C.\(0 \le m \le - 1\).
D.\( - 1 \le m \le 0\).
Chọn A.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) <=>\( - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 2m - 1\) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(d:y = 2m - 1\) (là đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\)).
Phương trình có ba nghiệm phân biệt <=> \(\left( C \right)\)cắt dtại ba điểm phân biệt <=>\( - 1 < 2m - 1 < 0\) <=>\(0 < m < \frac{1}{2}\). Vậy chọn \(0 < m < \frac{1}{2}\).
Câu 36. Cho phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 1 - m = 0\) \((1)\). Điều kiện của tham số m để \((1)\)có ba nghiệm phân biệt thỏa \({x_1} < 1 < {x_2} < {x_3}\) khi
A.\(m = - 1.\)
B.\( - 1 < m < 3.\)
C.\( - 3 < m < - 1.\)
D.\( - 3 \le m \le - 1.\)
Chọn C.
Phương pháp tự luận
Ta có \({x^3} - 3{x^2} + 1 - m = 0\) là phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và \(y = m\) (là đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\)).
Xét \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)
Tính \(y' = 3{x^2} - 6x.\)
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = 2 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\).
Ta có \(x = 1 \Rightarrow y = - 1\)
Dựa vào đồ thị, số nghiệm của phương trình \((1)\) chính là số giao điểm của đồ thị \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và đường thẳng \(y = m\).
Do đó, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow - 3 < m < - 1\).
Phương pháp trắc nghiệm
Chọn \(m = 2\)thay vào \((1)\) tìm nghiệm bằng máy tính. Ta nhận thấy \((1)\) chỉ có một nghiệm. Suy ra loại được đáp án B.
Tiếp tục thử \(m = - 1\) thay vào \((1)\) tìm nghiệm bằng máy tính. Ta nhận thấy \((1)\) có ba nghiệm nhưng có một nghiệm bằng 1. Suy ra loại A.
Tiếp tục thử \(m = - 2\) thay vào \((1)\) tìm nghiệm bằng máy tính. Ta nhận thấy \((1)\) có ba nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra loại D.
Vậy C là đáp án cần tìm.
Câu 37. Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị (C)và đường thẳng \(d:y = x - 1\). Giao điểm của (C) và d lần lượt là \(A\left( {1;0} \right)\), \(B\) và \(C\). Khi đó khoảng cách giữa \(B\) và \(C\) là
A.\(BC = \frac{{\sqrt {30} }}{2}.\)
B.\(BC = \frac{{\sqrt {34} }}{2}.\)
C.\(BC = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\)
D.\(BC = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)
Chọn B.
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d
\(2{x^3} - 3{x^2} + 1 = x - 1 \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} - x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow (x - 1)(2{x^2} - x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2{x^2} - x - 2 = 0\;\;(1)\end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(A(1;0),B({x_1};{x_1} - 1)\)và \(C({x_2};{x_2} - 1)\) (\({x_1},{x_2}\)là nghiệm của (1))
Ta có \(\overrightarrow {BC} = ({x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1})\), suy ra
\(BC = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {2{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {2{{({x_2} + {x_1})}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {2\left( {\frac{1}{4} + 4} \right)} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\).
Vậy chọn B.
Phương pháp trắc nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm
\(2{x^3} - 3{x^2} + 1 = x - 1 \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} - x + 2 = 0\).
- Nhập máy tính tìm nghiệm phương trình bậc ba.
- Gán hai nghiệm khác 1 vào \(B\)và \(C\).
- Nhập máy \(X - 1\). Dùng lệnh CALC tìm tung độ của điểm \(B\) và \(C\) gán vào hai biến \(D\) và \(E\). Khi đó \(BC = \sqrt {{{(C - B)}^2} + {{(E - D)}^2}} = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\).
Vậy chọn B.
Câu 38. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng d: \(y = 2x - 3\). Đường thằng d cắt (C) tại hai điểm\(A\) và \(B\). Khoảng cách giữa\(A\) và \(B\) là
A.\(AB = \frac{2}{5}.\)
B.\(AB = \frac{5}{2}.\)
C.\(AB = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)
D.\(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}.\)
Chọn D.
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)và đường thẳng d
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1{\rm{ }} \Rightarrow A(2;1)\\x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = - 4{\rm{ }} \Rightarrow B\left( { - \frac{1}{2}; - 4} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{5}{2}; - 5} \right)\). Suy ra \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\). Vậy chọn \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).
Phương pháp trắc nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3{\rm{ }}(x \ne - 1)\).
Dùng lệnh CALC của máy tính, ta tìm được hai nghiệm của phương trình lần lượt là \(x = 2\) và \(x = - \frac{1}{2}\). Suy ra \(A(2;1)\) và \(B\left( { - \frac{1}{2}; - 4} \right)\). Dùng máy tính thu được \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy chọn \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).
Câu 39. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng d: \(y = 2x - m\). Đường thằng d cắt (C) tại hai điểm \(A\) và \(B\) khi giá trị của tham số m thỏa
A.\( - 4 - 2\sqrt 6 \le m \le - 4 + 2\sqrt 6 .\)
B.\(m \le - 4 - 2\sqrt 6 \) hoặc \(m \ge - 4 + 2\sqrt 6 \).
C.\( - 4 - 2\sqrt 6 < m < - 4 + 2\sqrt 6 .\)
D.\(m < - 4 - 2\sqrt 6 \) hoặc \(m > - 4 + 2\sqrt 6 \).
Chọn D.
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)và đường thẳng d:
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - m{\rm{ }}(x \ne - 1) \Leftrightarrow 2{x^2} - mx + 1 - m = 0\;\;(1)\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \)\((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - 8(1 - m) > 0\\2 + m + 1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - 4 - 2\sqrt 6 \vee m > - 4 + 2\sqrt 6 \).
Vậy chọn \(m < - 4 - 2\sqrt 6 \) hoặc \(m > - 4 + 2\sqrt 6 \).
Phương pháp trắc nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:
\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - m{\rm{ }}(x \ne - 1) \Leftrightarrow 2{x^2} - mx + 1 - m = 0\;\;(1)\)
Chọn \(m = 0\) thay vào \((1)\) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy \((1)\)vô nghiệm. Suy ra loại được A và C.
Tiếp tục chọn \(m = - 4 + 2\sqrt 6 \) thay vào \((1)\) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy \((1)\) có nghiệm kép. Suy ra loại
B.
Vậy chọn \(m < - 4 - 2\sqrt 6 \) hoặc \(m > - 4 + 2\sqrt 6 \).
Câu 40. Cho hàm số \(\left( C \right):y = \frac{x}{{x - 1}}\) và đường thẳng \(d:y = x + m\). Tập tất cả các giá trị của tham số m sao cho \(\left( C \right)\) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt là
A.\(\left( { - 2;2} \right)\).
B.\(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
C.\(\mathbb{R}.\)
D.\(\emptyset \)
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)và đường thẳng d:
\(\frac{x}{{x - 1}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\left( C \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt\( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4 > 0\) (đúng với mọi m).
Vậy chọn \(\mathbb{R}\).
Câu 41. Tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(d:y = x + {m^2}\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = - {x^3} + 4x\) tại ba điểm phân biệt là
A.\(\left( { - 1;1} \right)\).
B.\(\left( { - \infty ;1} \right]\).
C.\(\mathbb{R}.\)
D.\(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\).
Chọn D.
Phương pháp tự luận:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)và đường thẳng d:\( - {x^3} + 4x = x + {m^2} \Leftrightarrow - {x^3} + 3x = {m^2}\)
Ta khảo sát hàm số \(\left( C \right):y = - {x^3} + 3x\) có đồ thị sau như hình bên.
Tìm được \({y_{CT}} = - 2,{\rm{ }}{y_{{\rm{C\S}}}} = 2\) nên yêu cầu bài toán
\( \Leftrightarrow - 2 < {m^2} < 2 \Leftrightarrow - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 \).
Vậy chọn \( - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 .\)
Phương pháp trắc nghiệm:
+ Với \(m = - 3,\) ta có phương trình \( - {x^3} + 3x - 9 = 0\), bấm máy tính ta chỉ tìm được một nghiệm \( \Rightarrow \) loại B, C.
+ Với \(m = 1.4,\) ta có phương trình \( - {x^3} + 3x - 1,{4^2} = 0\), bấm máy tính ta ra được ba nghiệm \( \Rightarrow \) loại A.
Vậy chọn \( - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 \).
Câu 42. Tất cả giá trị tham số m để đồ thị \(\left( C \right):y = {x^4}\) cắt đồ thị \(\left( P \right):y = \left( {3m + 4} \right){x^2} - {m^2}\) tại bốn điểm phân biệt là
A.\(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - \frac{5}{4};0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
B.\(m \in \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
C.\(m \in \left( { - \frac{4}{5};0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\).
D.\(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) là:
\({x^4} = \left( {3m + 4} \right){x^2} - {m^2}\) <=> \({x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2} = 0\)\((1)\).
\(\left( C \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại bốn điểm phân biệt <=> Phương trình \(\left( 1 \right)\) có bốn nghiệm phân biệt
<=>\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}5{m^2} + 24m + 16 > 0\\{m^2} > 0\\3m + 4 > 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}m < - 4\,\, \vee \,\,m > - \frac{4}{5}\\m \ne 0\\m > - \frac{4}{3}\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.\).
Vậy chọn \(\left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{4}{5}\\m \ne 0\end{array} \right.\).
Câu 43. Cho đồ thị \(\left( C \right):y = 2{x^3} - 3{x^2} - 1\). Gọi d là đường thẳng qua \(A\left( {0;\,\, - 1} \right)\) có hệ số góc bằng \(k\). Tất cả giá trị \(k\) để \(\left( C \right)\) cắt d tại ba điểm phân biệt là
A.\(\left\{ \begin{array}{l}k < \frac{9}{8}\\k \ne 0\end{array} \right..\)
B.\(\left\{ \begin{array}{l}k > - \frac{9}{8}\\k \ne 0\end{array} \right..\)
C.\(\left\{ \begin{array}{l}k < - \frac{9}{8}\\k \ne 0\end{array} \right..\)
D.\(\left\{ \begin{array}{l}k > \frac{9}{8}\\k \ne 0\end{array} \right..\)
Chọn B.
Phương trình đường thẳng \(d:y = kx - 1\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:
\(2{x^3} - 3{x^2} - 1 = kx - 1\) <=>\(x\left( {2{x^2} - 3x - k} \right) = 0\) <=>\(\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\, & \;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\2{x^2} - 3x - k\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
\(\left( C \right)\) cắt d tại ba điểm phân biệt\( \Leftrightarrow \)Phương trình \(\left( {\rm{2}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)
<=>\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\0 - k \ne 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}k > - \frac{9}{8}\\k \ne 0\end{array} \right.\).
Vậy chọn \(\left\{ \begin{array}{l}k > - \frac{9}{8}\\k \ne 0\end{array} \right.\).
Câu 44. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là đường thẳng qua \(I\left( {1;2} \right)\) với hệ số góc \(k\). Tập tất cả các giá trị của \(k\) để d cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là
A.\(\left\{ 0 \right\}\).
B.\(\mathbb{R}\).
C.\(\left\{ { - 3} \right\}\).
D.\(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Chọn D.
Phương pháp tự luận:
Phương trình \(d:y = k\left( {x - 1} \right) + 2\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)và đường thẳng d:
\({x^3} - 3{x^2} + 4 = kx - k + 2\)\( \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - kx + k + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - k - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\underbrace {{x^2} - 2x - k - 2}_{g(x)} = 0\;\;(*)\end{array} \right.\)
d cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) khác \(1\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta _g^, > 0\\ g\left( 1 \right) \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k + 3 > 0\\ - 3 - k \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow k > - 3$
Hơn nữa theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 = 2{x_I}\\{y_1} + {y_2} = k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2k + 4 = 4 = 2{y_I}\end{array} \right.\) nên I là trung điểm AB.
Vậy chọn \(k > - 3\), hay \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).
Phương pháp trắc nghiệm:
Ta tính toán đến phương trình \(\left( 1 \right)\)
+ Với \(k = - 2\), ta giải phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 2x = 0\) thu được \({x_1} = 2,{x_2} = 0,{x_I} = 1\).
+ Hơn nữa \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 = 2{x_I}\\{y_1} + {y_2} = 4 = 2{y_I}\end{array} \right.\) nên I là trung điểm AB \( \Rightarrow \) loại A, C từ đó ta loại được B.
Vậy chọn \(k > - 3\).
Câu 45. Với những giá trị nào của tham số m thì \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 4m + 1} \right)x - 4m\left( {m + 1} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?
A.\(\frac{1}{2} < m \ne 1.\) B.\(m > \frac{1}{2}.\) C.\(m \ge \frac{1}{2}.\)
D.\(m \ne 1.\)
Chọn A.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục \(Ox\):
\({x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 4m + 1} \right)x - 4m\left( {m + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + 2{m^2} + 2m} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} - (3m + 1)x + 2{m^2} + 2m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2m\\x = m + 1\end{array} \right.\)
Yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < 2m \ne 2\\1 < m + 1 \ne 2\\2m \ne m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} < m \ne 1\\0 < m \ne 1\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m \ne 1\).
Vậy chọn \(\frac{1}{2} < m \ne 1\).
Câu 46. Cho đồ thị \((C):y = 4{x^3} - 3x + 1\) và đường thẳng \(d:y = m\left( {x - 1} \right) + 2\). Tất cả giá trị tham số m để (C) cắt d tại một điểm là
A.\(m = 9.\)
B.\(m \le 0.\)
C.\(m \le 0\,\,\)hoặc \(m = 9.\)
D.\(m < 0.\)
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( C \right)\) và d là \(4{x^3} - 3x + 1 = m\left( {x - 1} \right) + 2\)
<=>\(4{x^3} - \left( {m + 3} \right)x + m - 1 = 0\) <=>\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\4{x^2} + 4x - m + 1 = 0\,\,(1)\end{array} \right.\)
\(\left( C \right)\) cắt d tại một điểm <=> Phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\)vô nghiệm hay phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\) có nghiệm kép bằng \(1\)
<=>\(\left[ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\4 + 4 - m + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) <=>\(\left[ \begin{array}{l}4m < 0\\\left\{ \begin{array}{l}4m = 0\\m = 9\end{array} \right.\end{array} \right.\) <=>\(m < 0\).
Vậy chọn \(m < 0\).
Câu 47. Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng d:\(y = x + m\). Giá trị của tham số m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = \sqrt {10} \) là
A. \(m = 0\) hoặc \(m = 6.\)
B.\(m = 0.\)
C.\(m = 6.\)
D.\(0 \le m \le 6.\)
Chọn A.
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d
\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\{x^2} + (m - 1)x + m - 1 = 0\;\;(1)\end{array} \right.\)
Khi đó d cắt (C)tại hai điểm phân biệt \(A\),\(B\) khi và chi khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} - 4(m - 1) > 0\\{( - 1)^2} - (m - 1) + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 5{\rm{ }}(*)\)
Khi đó ta lại có
\(A({x_1};{x_1} + m),B({x_2};{x_2} + m) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1}) \Rightarrow AB = \sqrt {2{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt 2 \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\),
và \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\). Từ đây ta có
\(AB = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {({x_2} + {x_1})^2} - 4{x_1}{x_2} = 5\)
\( \Leftrightarrow {(1 - m)^2} - 4(m - 1) = 5 \Leftrightarrow {m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\) (thỏa \((*)\))
Vậy chọn \(m = 0 \vee m = 6\).
Phương pháp trắc nghiệm
Chọn \(m = 0\) thay vào d. Ta được \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x\;\;(x \ne - 1)\).
Dùng lệnh SHIFT CALC tìm được \(x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\).
Suy ra \(A\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right),B\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} ( - \sqrt 5 , - \sqrt 5 ) \Rightarrow AB = \sqrt {10} \).
Nhận thấy \(m = 0\) thỏa yêu cầu.
Tượng tự chọn \(m = 6\) kiểm tra tương tự \(m = 0\) nhận thấy \(m = 6\) thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy chọn \(m = 0 \vee m = 6\).
Câu 48. Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C) và \(d:y = x + m\). Giá trị của tham số m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) song song với nhau.
A.Không tồn tại.
B.\(m = 0.\)
C.\(m = - 3.\)
D.\(m = 3.\)
Chọn
A.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d
\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m{\rm{ }}(x \ne - 1) \Leftrightarrow {x^2} + (m - 1)x + m - 1 = 0\;\;(1)\)
Khi đó d cắt (C)tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) khi và chi khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} - 4(m - 1) > 0\\{1^2} - (m - 1) + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1 \vee m > 5\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 5\)
Ta có \(f'(x) = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}\). Gọi \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\)trong đó \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \((1)\) (nên ta có \({x_1} + {x_2} = 1 - m\)). Suy ra hệ số góc của các tiếp tuyến tại điểm \(A\) và \(B\) lần lượt là ${k_A} = \frac{1}{{{{({x_1} + 1)}^2}}}$ và ${k_B} = \frac{1}{{{{({x_2} + 1)}^2}}}$
Vì tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) song song, đồng thời \({x_1} \ne {x_2}\) nên phải có \(\frac{1}{{{{({x_1} + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{({x_2} + 1)}^2}}}\), suy ra
\({x_1} + 1 = - {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + 2 = 0 \Leftrightarrow 1 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 3\;\;(l)\).
Vậy chọn không tồn tại.
Câu 49. Cho \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x - {m^2}\) và \(d:y = 2x + 1\). Giả sử \(\left( P \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thì tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng \(AB\) là
A.\(I\left( {2;\,\, - {m^2}} \right)\).
B.\(I\left( {1;\,\, - {m^2} - 1} \right)\).
C.\(I\left( {1;\,\,3} \right)\).
D.\(I\left( {2;\,\,5} \right)\).
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((P)\) và đường thẳng d:
\({x^2} - 2x - {m^2} = 2x + 1\)<=>\({x^2} - 4x - {m^2} - 1 = 0\)\(\left( {\rm{1}} \right)\)
\(\left( P \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt <=> Phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt
<=>\(\Delta ' > 0\)
<=>\({m^2} + 5 > 0\)(đúng với mọi m)
Hoành độ của điểm \(A,B\) là nghiệm \({x_1},{x_2}\) của phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\)và tung độ trung điểm I thỏa phương trình d, nên tọa độ trung điểm I là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 2\\{y_I} = 2{x_I} + 1 = 5\end{array} \right.\).
Vậy chọn \(I\left( {2;\,\,5} \right)\).
Câu 50. Giá trị nào của tham số m để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right):y = \left( {m - 1} \right){x^3} + {x^2} - m\) chỉ có một điểm chung với trục hoành?
A.\(m = 1.\)
B.\(m < 0\) hoặc \(m > \frac{4}{3}.\)
C.\(m < 0.\)
D.\(m > \frac{4}{3}.\)
Chọn B.
Phương pháp tự luận: Xét \(m = 1\), phương trình \({x^2} - 1 = 0\) có hai nghiệm (loại).
Khi \(m \ne 1\) ta thấy đồ thị hàm luôn có có hai điểm cực trị. Vậy ta tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số như sau:
\(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = - m\\x = \frac{{ - 2}}{{3\left( {m - 1} \right)}} \Rightarrow y = \frac{{ - 27{m^3} + 54{m^2} - 27m + 4}}{{27{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\)
\(\left( {{C_m}} \right)\) có 1 điểm chung với \(Ox\)\( \Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{m\left( {27{m^3} - 54{m^2} + 27m - 4} \right)}}{{27{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} > 0.\)
\( \Leftrightarrow m < 0 \vee m > \frac{4}{3}\) .
Vậy chọn \(m < 0 \vee m > \frac{4}{3}\).
Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp các đáp án của đề bài
+ Với \(m = - 1\), phương trình \( - 2{x^3} + {x^2} + 1 = 0\) thu được \(x = 1\) là nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) loại A, D.
+ Với \(m = 2\), phương trình \({x^3} + {x^2} - 2 = 0\) thu được \(x = 1\) là nghiệm duy nhất \( \Rightarrow \) loại C.
Vậy chọn \(m < 0 \vee m > \frac{4}{3}\).
Câu 51. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m - 1\) có đồ thị (C). Giá trị của tham số m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là
A.\(m = 0.\)
B.\(m = 3.\)
C.\(m = - 3.\)
D.\(m = \pm 6.\)
Chọn C.
Phương pháp tự luận
Đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 1 = m\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.
Suy ra đường thẳng \(y = m\) đi qua điểm uốn của đồ thị \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) (do đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng). Mà điểm uốn của \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) là \(I(1; - 3)\). Suy ra \(m = - 3\). Vậy chọn \(m = - 3\).
Phương pháp trắc nghiệm
Chọn \(m = - 3\) thay vào phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m - 1 = 0\).
Ta được \({x^3} - 3{x^2} + 2 = 0\). Dùng chức năng tìm nghiệm phương trình bậc ba ta được ba nghiệm \(x = 1 - \sqrt 3 ,\;x = 1,\;x = 1 + \sqrt 3 \) thỏa cấp số cộng.
Vậy chọn \(m = - 3\).
Câu 52. Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:y = x + m\). Đường thẳng \((d)\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Với \(C( - 2;5)\), giá trị của tham số m để tam giác\(ABC\) đều là
A.\(m = 1.\)
B.\(m = 1\) hoặc \(m = 5.\)
C.\(m = 5.\)
D.\(m = - 5.\)
Chọn
B.
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
\(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = x + m{\rm{ }}(x \ne 1) \Leftrightarrow {x^2} + (m - 3)x - m - 1 = 0\;\;(1)\)
Khi đó d cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) khi và chi khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 3)^2} + 4(m + 1) > 0\\{1^2} + (m - 3) - m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 13 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.\) đúng \(\forall m \in \mathbb{R}.\)
Gọi \(A({x_1};{x_1} + m),B({x_2};{x_2} + m)\) trong đó \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \((1)\), theo Viet ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right.\).
Gọi \(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\frac{{{x_1} + {x_2} + 2m}}{2}} \right)\) là trung điểm của \(AB\), suy ra \(I\left( {\frac{{3 - m}}{2};\frac{{3 + m}}{2}} \right)\), nên
\(\overrightarrow {CI} \left( { - 2 - \frac{{3 - m}}{2};5 - \frac{{3 + m}}{2}} \right) \Rightarrow CI = \frac{1}{2}\sqrt {{{(m - 7)}^2} + {{(7 - m)}^2}} \).
Mặt khác \(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1}) \Rightarrow AB = \sqrt {2{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {2({m^2} - 2m + 13)} \). Vậy tam giác \(ABC\) đều khi và chỉ khi
\(CI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {2{{(m - 7)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {2({m^2} - 2m + 13)} \)
\( \Leftrightarrow {(m - 7)^2} = 3({m^2} - 2m + 13) \Leftrightarrow 2{m^2} + 8m - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 5\end{array} \right.\).
Vậy chọn \(m = 1 \vee m = - 5\).
Câu 53. Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2m\) có đồ thị (C). Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: \(y = 2\) cắt đồ thị (C) tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn \(3\) là
A.\(m \ne \frac{3}{2}.\)
B.\(1 < m < \frac{{11}}{2}.\)
C.\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < 2\end{array} \right..\)
D.\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < \frac{{11}}{2}\end{array} \right..\)
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
\({x^4} - (2m - 1){x^2} + 2m = 2 \Leftrightarrow {x^4} - (2m - 1){x^2} + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 2m - 2{\rm{ }}(1)\end{array} \right.\)
Đường thẳng d cắt (C) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 2 \ne 1\\0 < 2m - 2 < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\). Vậy chọn \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{3}{2}\\1 < m < \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\).
Câu 54. Cho hàm số: \(y = {x^3} + 2m{x^2} + 3(m - 1)x + 2\) có đồ thị (C). Đường thẳng \( d : y = - x + 2\) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt \(A\left( {0; - 2} \right),{\rm{ }}B\) và \(C\). Với \(M(3;1)\), giá trị của tham số m để tam giác \(MBC\) có diện tích bằng \(2\sqrt 7 \) là
A.\(m = - 1.\)
B.\(m = - 1\) hoặc \(m = 4.\)
C.\(m = 4.\)
D.Không tồn tại \(m.\)
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + 3(m - 1)x + 2 = - x + 2 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + 3(m - 1)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + 3(m - 1) = 0(1)\end{array} \right.\end{array}\)
Đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 3 > 0\\m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall m \in \mathbb{R}\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 1\).
Khi đó ta có: \(C({x_1}; - {x_1} + 2),B({x_2}; - {x_2} + 2)\) trong đó \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \((1)\), nên theo Viet thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = 3m - 3\end{array} \right.\). Vậy
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CB} = ({x_2} - {x_1}; - {x_2} + {x_1}) \Rightarrow CB = \sqrt {2{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {8({m^2} - 3m + 3)} \\d(M;(d)) = \frac{{\left| { - 3 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \end{array}\)
Diện tích tam giác \(MBC\)bằng \(2\sqrt 7 \)khi và chỉ khi
\(\frac{1}{2}\sqrt {8({m^2} - 3m + 3)} .\sqrt 2 = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 3 = 7\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 4\end{array} \right.\) ( thỏa \(m \ne 1\))
Vậy chọn \(m = - 1 \vee m = 4\).
Câu 55. Cho đồ thị \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m\). Tất cả giá trị của tham số m để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4\) là
A.\(m = 1.\)
B.\(m \ne 0.\)
C.\(m = 2.\)
D.\(m > - \frac{1}{4}\) và \(m \ne 0.\)
Chọn A.
Phương pháp tự luận
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và trục hoành là \({x^3} - 2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m = 0\) <=>\(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - m} \right) = 0\) <=>\(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - x - m = 0\,\;\;\,(1)\end{array} \right.\)
\(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt <=> Phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 - 1 - m \ne 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4m > 0\\m \ne 0\end{array} \right.\) <=>\(\left\{ \begin{array}{l}m > - \frac{1}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\;\;(*)\)
Gọi \({x_3} = 1\) còn \({x_1},\;{x_2}\) là nghiệm phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\) nên theo Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} = - m\end{array} \right.\). Vậy
\({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 4\) <=>\({x_1}^2 + {x_2}^2 + 1 = 4\) <=>\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3 = 0\) <=>\(m = 1\) (thỏa (*))
Vậy chọn \(m = 1\).
Câu 56. Cho hàm số \( :y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} - x + m + \frac{2}{3}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tất cả các giá trị của tham số m để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15\) là
A.\(m > 1\) hoặc \(m < - 1.\)
B.\(m < - 1\).
C.\(m > 0\).
D.\(m > 1\).
Chọn A.
Phương pháp tự luận:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
\(\frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} - x + m + \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( { - 3m + 1} \right)x - 3m - 2} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\underbrace {{x^2} + \left( { - 3m + 1} \right)x - 3m - 2}_{g(x)} = 0\;\;{\rm{ }}(1)\end{array} \right.\)
\(\left( {{C_m}} \right)\) cắt \(Ox\) tại ba điểm phân biệt\( \Leftrightarrow \) phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 6m + 9 > 0\\ - 6m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\).
Gọi \({x_1} = 1\) còn \({x_2},\;{x_3}\) là nghiệm phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\) nên theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_3} = 3m - 1\\{x_2}{x_3} = - 3m - 2\end{array} \right.\).
Vậy
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15 \Leftrightarrow 1 + {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} - 2{x_2}{x_3} > 15\\ \Leftrightarrow {\left( {3m - 1} \right)^2} + 2\left( {3m + 2} \right) - 14 > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \vee m < - 1\end{array}\)
Vậy chọn \(m > 1 \vee m < - 1\).
Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án
+ Với \(m = - 2\), ta giải phương trình bậc ba: \(\frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - x - \frac{4}{3} = 0\) thu được 3 nghiệm \({x_1} = - 6.37...,{x_2} = 1,{x_3} = - 0.62...\)Ta chọn những giá trị nhỏ hơn các nghiệm này và kiểm tra điều kiện của bài toán.
Cụ thể ta tính \({\left( { - 6.4} \right)^2} + {1^2} + {\left( { - 0.63} \right)^2} = 42.3569 > 15\)\( \Rightarrow \) loại C, D.
+ Với \(m = 2\), ta làm tương tự thu được 3 nghiệm \({x_1} = 6.27...,{x_2} = 1,{x_3} = - 1.27...\)
Tính \({6.2^2} + {1^2} + {\left( { - 1.3} \right)^2} = 41.13 > 15\) \( \Rightarrow \) loại B.
Vậy chọn \(m > 1 \vee m < - 1\).
Câu 57. Cho đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) và đường thẳng \(d:y = m\). Tất cả các giá trị tham số m để \(\left( C \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) sao cho \(AB = \sqrt 2 \) là
A.\(m = 1 + \sqrt 6 .\)
B.\(m = 1 - \sqrt 6 \) hoặc \(m = 1 + \sqrt 6 .\)
C.\(m = 1 - \sqrt 6 .\)
D.\(m < 1\) hoặc \(m > 3\).
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( C \right)\) và d là \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = m\)
<=>\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,(1)\end{array} \right.\)
\(\left( C \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt <=> Phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)
<=>\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) > 0\\1 - m - 1 + m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) <=>\(m < - 1\,\, \vee \,\,m > 3\;\;(*)\)
Hoành độ giao điểm \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình (1) nên theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 1\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.\). Khi đó: \(A\left( {{x_1};\,\,m} \right)\), \(B\left( {{x_2};\,\,m} \right)\), suy ra
\(AB = \sqrt 2 \)<=>\(A{B^2} = 2\)<=>\({\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 2\)<=>\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 2 = 0\)<=>\(\left[ \begin{array}{l}m + 1 = 2 + \sqrt 6 \\m + 1 = 2 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
<=>\(\left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 6 \\m = 1 - \sqrt 6 \end{array} \right.\) ( thỏa (*))
Vậy chọn \(m = 1 + \sqrt 6 \vee m = 1 - \sqrt 6 .\)
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...