Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng A , cạnh bên bằng \(2a\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
A. \(\frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {12} }}{6}\).
C. \(\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
D. \(\frac{{4a}}{{\sqrt 3 }}\).
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.png

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$. Gọi \(G,G'\) lần lượt là tâm của hai đáy \(ABC\) và $A'B'C'$. Ta có \(GG'\) chính là trục của các tam giác \(ABC\) và $A'B'C'$.
Gọi O là trung điểm của \(GG'\) thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là \(R = OA\).
Xét tam giác \(OAG\) vuông tại \(G\), ta có: \(OA = \sqrt {A{G^2} + G{O^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} + {a^2}} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\). Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)