Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Cho hình nón đỉnh O, chiều cao là H . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0 < x < h.
hình nón tròn xoay.png

A. \(x = \frac{h}{3}\).
B. \(x = h\sqrt 3 \).
C. \(x = \frac{{2h}}{3}\).
D. \(x = \frac{{h\sqrt 3 }}{3}\).
hình nón tròn xoay.png

Từ hình vẽ ta có \(\frac{{JB}}{{IA}} = \frac{{OJ}}{{OI}} = \frac{{h - x}}{h} \Rightarrow JB = \frac{{R(h - x)}}{h}\).
Thể tích khối nón cần tìm là: \(V = \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}{(h - x)^2}x\).
Xét hàm số \(V(x) = \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}{(h - x)^2}x\,,\,\,0 < x < h\).
Ta có \(V'(x) = \frac{1}{3}\pi \frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}(h - x)(h - 3x) = 0 \Leftrightarrow x = h\,\,{\rm{hay}}\,\,x = \frac{h}{3}.\)
Bảng biến thiên:
hình nón tròn xoay.png

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là \(x = \frac{h}{3}\); \({V_{\max }} = \frac{{4\pi {R^2}h}}{{81}}\).