Cho số phức z thỏa mãn $\frac{{z + i}}{{z - i}}$ là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là:
A.Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 1\).
B.Hình tròn tâm O, bán kính R = 1(kể cả biên).
C.Hình tròn tâm O, bán kính R = 1 (không kể biên).
D.Đường tròn tâm O, bán kính R = 1 bỏ đi một điểm \(\left( {0,1} \right)\)
A.Đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 1\).
B.Hình tròn tâm O, bán kính R = 1(kể cả biên).
C.Hình tròn tâm O, bán kính R = 1 (không kể biên).
D.Đường tròn tâm O, bán kính R = 1 bỏ đi một điểm \(\left( {0,1} \right)\)
Gọi \(M\left( {a,b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(A\left( { - 1,1} \right),R = 1\)
Ta có: $\[\frac{{z + 1}}{{z - 1}} = \frac{{a + \left( {b + 1} \right)i}}{{a + \left( {b - 1} \right)i}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2a}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}}i$
Để $\frac{{z + i}}{{z - i}}$ là số thuần ảo thì \(\frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 1}\\{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 1}\\{a \ne 0,b \ne 1}\end{array}} \right.\) $\frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0 \to {a^2} + {b^2} - 1 = 0 \to {a^2} + {b^2} = 1 \to $ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = 1
Đáp án D.
Ta có: $\[\frac{{z + 1}}{{z - 1}} = \frac{{a + \left( {b + 1} \right)i}}{{a + \left( {b - 1} \right)i}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2a}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}}i$
Để $\frac{{z + i}}{{z - i}}$ là số thuần ảo thì \(\frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 1}\\{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 1}\\{a \ne 0,b \ne 1}\end{array}} \right.\) $\frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}} = 0 \to {a^2} + {b^2} - 1 = 0 \to {a^2} + {b^2} = 1 \to $ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = 1
Đáp án D.