Thể tích khối chóp S.ABCD là

Khối đa diện |Ứng Dụng Thể Tích Tính Khoảng Cách, Chứng Minh Hệ Thức|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt bên (SCD) tạo với đáy một góc \(\varphi = {60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)
B. \(\sqrt 3 {a^3}\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (1)
Và tứ giác ABCD là hình vuông \(AD \bot CD\) (2)
Từ (1), (2) suy ra
\(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SD;AD} \right)} = \widehat {SDA}\)
Tam giác SAD vuông tại A, có
\(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} \Rightarrow SA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)
Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)