Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng \(a\sqrt 3 \), góc ở đỉnh là 120$^0$. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất \({S_{\max }}\) của thiết điện đó là bao nhiêu ?
A. \({S_{\max }} = 2{a^2}\).
B. \({S_{\max }} = {a^2}\sqrt 2 \).
C. \({S_{\max }} = 4{a^2}\).
D. \({S_{\max }} = \frac{{9{a^2}}}{8}\).
A. \({S_{\max }} = 2{a^2}\).
B. \({S_{\max }} = {a^2}\sqrt 2 \).
C. \({S_{\max }} = 4{a^2}\).
D. \({S_{\max }} = \frac{{9{a^2}}}{8}\).
Giả sử O là tâm đáy và\(AB\) là một đường kính của đường tròn đáy hình nón. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân \(SAM\). Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy \(R = OA = a\sqrt 3 \,{\rm{cm}}\), $\widehat {ASB} = {120^0}$ nên $\widehat {ASO} = {60^0}$. Xét tam giác \(SOA\) vuông tại O, ta có: \(\sin {60^0} = \frac{{OA}}{{SA}} \Rightarrow SA = \frac{{OA}}{{\sin {{60}^0}}} = 2a\).
Diện tích thiết diện là: \({S_{\Delta SAM}} = \frac{1}{2}SA.SM.sin\widehat {ASM} = \frac{1}{2}2a.2a.sin\widehat {ASM} = 2{a^2}sin\widehat {ASM}\)
Do \(0 < sin\widehat {ASM} \le 1\) nên \({S_{\Delta SAM}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(sin\widehat {ASM} = 1\) hay khi tam giác \(ASM\) vuông cân tại đỉnh S (vì $\widehat {ASB} = {120^0} > {90^0}$ nên tồn tại tam giác \(ASM\) thỏa mãn).
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là: \({S_{\max }} = 2{a^2}\) (đvtt).
Diện tích thiết diện là: \({S_{\Delta SAM}} = \frac{1}{2}SA.SM.sin\widehat {ASM} = \frac{1}{2}2a.2a.sin\widehat {ASM} = 2{a^2}sin\widehat {ASM}\)
Do \(0 < sin\widehat {ASM} \le 1\) nên \({S_{\Delta SAM}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(sin\widehat {ASM} = 1\) hay khi tam giác \(ASM\) vuông cân tại đỉnh S (vì $\widehat {ASB} = {120^0} > {90^0}$ nên tồn tại tam giác \(ASM\) thỏa mãn).
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là: \({S_{\max }} = 2{a^2}\) (đvtt).