Tìm các số $a,b$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện...

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
1) Tìm các số $a,b$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a) Hai phương trình ${x^2} + ax + 11 = 0$ và ${x^2} + bx + 7 = 0$ có nghiệm chung;
b) $\left| a \right| + \left| b \right|$ bé nhất.
Giải
a) Theo điều kiện đầu bài thì ta gọi ${x_0}$ là nghiệm chung hai phương trình, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 + a{x_0} + 11 = 0\\x_0^2 + b{x_0} + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2x_0^2 + \left( {a + b} \right){x_0} + 18 = 0$
Do đó phương trình $2{x^2} + \left( {a + b} \right)x + 18 = 0$ có nghiệm (*)
Khi đó $\Delta = {\left( {a + b} \right)^2} - 144 \ge 0$ hay $\left| {a + b} \right| \ge 12$.
Mặt khác, ta có $\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right| \ge 12$. Vậy $\left| a \right| + \left| b \right|$ bé nhất bằng $12$ khi và chỉ khi a và b cùng dấu.
Với $a + b = - 12$, thay vào (*) ta được: $2{x^2} - 12x + 18 = 0$.
Phương trình trên có nghiệm kép $x = 3$.
Thay $x = 3$ vào các phương trình đã cho ta được $a = - \frac{{20}}{3};b = - \frac{{16}}{3}$.
Với $a + b = 12$ thay vào (*) ta được: $2{x^2} + 12x + 18 = 0$.
Phương trình trên có nghiệm kép $x = - 3$
Thay $x = - 3$ vào phương tình ta được: $a = \frac{{20}}{3};b = \frac{{16}}{3}$.
Vậy các cặp số sau thỏa mãn điều kiện bài toán: $\left( {a;b} \right) = \left( { - \frac{{20}}{3}; - \frac{{16}}{3}} \right),\left( {\frac{{20}}{3};\frac{{16}}{3}} \right)$.