Tìm giá trị lớn nhất của \(w=\left| {\overline z + 1 + i} \right|.\)

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 2 - 3i} \right| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của \(w=\left| {\overline z + 1 + i} \right|.\)
A. \(\sqrt{13}+2\)
B. 4
C. 6
D. \(\sqrt{13}+1\)

Đặt \(z = a + bi;a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| {z - 2 - 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = 1\)
\(\Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\)
Đặt \(a - 2 = \sin t;b - 3 = \cos t.\) Khi đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {1 - b} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}}\)
Ta có \({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {\sin t + 3} \right)^2} + {\left( {\cos t + 2} \right)^2}\)
\(= 14 + 6\sin t + 4\cos t \ge 14 + \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 14 + 2\sqrt {13}\)
Do đó \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| \ge 1 + \sqrt {13}\)