Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left | w \right |\)

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right|,w = iz + 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left | w \right |\)
A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B. 2
C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
D. \(2\sqrt{2}\)

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\)
Khi đó \(z + 2 - 2i = a + 2 + \left( {b - 2} \right)i\) và \(z - 4i = a + \left( {b - 4} \right)i\)
Nên ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 - a\)
Khi đó \(w = iz + 1 = \left( {a + bi} \right)i + 1 = 1 - b + ai\)
\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}\)
Dễ thấy
\({a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 2{a^2} - 2a + 1 = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Rightarrow {\min _{\left| w \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)