Tìm w để MNP là tam giác đều

Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 10 = 0.\) Gọi M, N, P lầ lượt là các điểm biểu diễn của số phức \(z_1,z_2\) và số phức \(w=x+yi.\) Tìm w để MNP là tam giác đều.
A. \({\rm{w}} = 1 + \sqrt {27}\) hay \({\rm{w}} = 1 - \sqrt {27}\)
B. \({\rm{w}} = i + \sqrt {27}\) hay \({\rm{w}} = i - \sqrt {27}\)
C. \({\rm{w}} = \sqrt {27}-i\) hay \({\rm{w}} = \sqrt {27}+i\)
D. \({\rm{w}} = \sqrt {27}-i\) hay \({\rm{w}} =- \sqrt {27}+i\)

\({z^2} - 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z_1} = 1 - 3i\\ {z_2} = 1 + 3i \end{array} \right..\)
Suy ra: \(M(1; - 3),\,\,N(1;3)\) và \(P(x,y).\)
Ta có: \(M{N^2} = 36,\,\,M{P^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2},\,\,N{P^2} = \,{(x - 1)^2} + {(y - 3)^3}.\)
Tam giác MNP đều khi: \(\left\{ \begin{array}{l} N{P^2} = M{P^2}\\ N{P^2} = M{N^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 0\\ {(x - 1)^2} = 27 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt {27} \\ y = 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - \sqrt {27} \\ y = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Vậy: \({\rm{w}} = 1 + \sqrt {27}\) hay \({\rm{w}} = 1 - \sqrt {27} .\)