Toán 12 Tính đơn điệu của hàm số

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x )ta thực hiện các bước sau:
  • Tìm tập xác định D của hàm số .
  • Tính đạo hàm y' = f'(x ) .
  • Tìm các giá trị của x thuộc D để f'(x ) = 0 hoặc f'(x ) không xác định( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).
  • Xét dấu y ' = f'(x ) trên từng khoảng x thuộc D.
  • Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số.

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \( y = {{x + 2} \over {x - 1}} \)
giải​
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( - ∞;1)∪ (1;+∞)
Ta có \(\ y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\)
chiều biến thiên của hàm số.png

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ∞;1)∪ (1;+∞)

Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \( y = {{ - {x^2} + 2x - 1} \over {x + 2}} \)
Giải​
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( - ∞;- 2)∪ (- 2;+∞)
Ta có: \(y'=\frac{-{{x}^{2}}-4x+5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},\forall \ne -2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-5 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
chiều biến thiên của hàm số.png

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng (−5;−2) và (−2;1), nghịch biến trên các khoảng (−∞;−5) và (1;+∞).

Đối với hàm \(y=\frac{ax+b}{cx+d},\,\left( ac\ne 0 \right)\) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
  • Đối với hàm số \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{a'x+b'}\) luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
  • Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên ℝ.
Ví dụ 3: Xét chiều biến thiên của hàm số sau: \(y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+24x+26\)
Giải​
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
* Ta có: \(y'=-3{{x}^{2}}-6x+24\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-6x+24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-4 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\)
chiều biến thiên của hàm số.png

+ Trên khoảng(−4;2): y ' > 0 ⇒ y đồng biến trên khoảng (−4;2),
+ Trên mỗi khoảng (−∞;−4), (2;+∞) :y ' < 0 ⇒ y nghịch biến trên các khoảng(−∞;−4), (2;+∞) .

Ví dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số sau: \(y={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+8x+1\)
Giải​
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .
Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-12x+8=4{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
chiều biến thiên của hàm số.png

Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng (−2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;−2).
Nhận xét:
  • Ta thấy tại x = 1 thì y = 0 , nhưng qua đó y ' không đổi dấu.
  • Đối với hàm bậc bốn \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn không thể đơn điệu trên ℝ.
Ví dụ 5: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\)
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng (−∞;0] ∪ [2;+∞) .
  • Ta có \(y'=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}},\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\)
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = 0,x = 2.
Chiều biến thiên hàm số.png

Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0)và đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Ví dụ 6: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}\)
Giải​
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng (−∞;3].
* Ta có: \(y'=\frac{3\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}{2\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}},\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;3 \right)\)
Hàm số không có đạo hàm tại các điểmx = 0, x = 3 .
Suy ra, trên mỗi khoảng (−∞;0) và (0;3): y ' = 0 ⇔ x = 2
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên hàm số.png

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;3).
Ví dụ 7: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên đoạn [ - 1; 1].
  • Ta có: \(y'=\frac{1-2{{x}^{2}}}{2\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( -1;1 \right);\)
  • Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = −1,x = 1.
Trên khoảng (- 1; 1): y’ = 0 \(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)
chiều biến thiên của hàm số.png

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -1;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) và \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right)\)
Ví dụ 8: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}\)
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên ℝ
  • Ta có: \( {y}'=1-\frac{2x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}=2x+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -\frac{3}{2} \\ & {{x}^{2}}+3x+3={{\left( 2x+3 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=-1 \)
chiều biến thiên của hàm số.png

  • Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) , nghịch biến trên khoảng (−1;+∞) .
Ví dụ 9: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|\)
Giải​

* Hàm số đã cho xác định trên R
* Ta có \(y'=\left\{ \begin{align} & 2x-2\,\,khix\le -1\vee x\ge 3 \\ & --2x+2\,\,khi-1<x<3 \\ \end{align} \right.\)
Hàm số không có đạo hàm tại x = -1 và x = 3.
+ Trên khoảng (—1; 3) : y' = 0 x = 1;
+ Trên khoảng (—X;—1): y ' < 0;
+ Trên khoảng (3; +X): y ' > 0.
Bảng biến thiên:
chiều biến thiên của hàm số.png

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(-1;1) và (3; +X) , nghịch biến trên mỗi khoảng (-X; -1) và (1; 3)
Ví dụ 10: Xét chiều biến thiên của các hàm số sauy = 2sin(x) + cos(2x) trên đoạn [0; π]
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π]
  • Ta có y’ = 2cos(x)[1 – 2sin(x)],x ∈ [0; π]
Trên đoạn [0; π]: $y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \\ \left[ \begin{gathered} \cos \left( x \right) = 0 \hfill \\ \sin \left( x \right) = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} \vee x = \frac{\pi }{6} \vee x = \frac{{5\pi }}{6}$
Bảng biến thiên
chiều biến thiên của hàm số.png

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6), nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2) và (5π/6; π)
Ví dụ 11: Chứng minh rằng hàm số y = 2sin(x) + cos(x) đồng biến trên đoạn [0; π/3] và nghịch biến trên đoạn [π/3; π]
Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π]
Ta có: y’ = sinx(2cosx - 1); x ∈ [0; π]
Vì x ∈ [0; π] => sinx > 0 nên đoạn (0; π): y’ = 0 <=>cosx = 0,5 <=>x = π/3
Trên khoảng (0; π/3): y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn [0; π/3]
Trên khoảng (π/3; π): y’ < 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn [π/3; π]

Ví dụ 12. Chứng minh rằng: f(x) = cos(2x) – 2x + 3 nghịch biến trên R.
Ta có: $f'(x) = - 2(\sin 2x + 1) \le 0,\,\,\forall x \in R$ và $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm nghịch biến trên R.

Ví dụ 13. Chứng minh rằng: $f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x$ đồng biến trên R.
Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm đồng biến trên R.

Bài tập tự luyện
  1. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$
  2. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{3x}}{{{x^2} + 1}}$
  3. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}$
  4. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{x + 1}}{{3\sqrt x }}$
  5. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{2{x^2} - 2x - 4}}$
  6. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{2{x^2} + 2x + 1}}$
  7. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
  8. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = {x^3} + 3{x^2} + 2$
  9. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1$
  10. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = {x^4} + 2{x^2} - 3$
  11. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = - \frac{4}{5}{x^5} + 2{x^3} + 8$
  12. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{1}{5}{x^5} - \frac{3}{4}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 2x$
  13. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = 9{x^7} - 7{x^6} + \frac{7}{5}{x^5} + 12$
  14. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \sqrt {2x - {x^2}} $
  15. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = x + 1 - \sqrt {{x^2} - 4x + 3} $
  16. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \sqrt[3]{{3x - 5}}$
  17. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \sqrt[3]{{{x^2} - 2x}}$
  18. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \left( {4 - 3x} \right)\sqrt {6{x^2} + 1} $
  19. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{\sqrt {2{x^2} - x + 3} }}{{3x + 2}}$
  20. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - x + 3} }}$
  21. Xét sự biến thiên của hàm số sau y = sin3x trên khoảng (0; π/3)
  22. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{\cot \left( x \right)}}{x}$ trên khoảng (0; π)
  23. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{1}{8}.\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{4}\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)\cos \left( {2x} \right)$ trên khoảng (0; π/2)
  24. Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + \sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ trên đoạn [0; π/2]
  25. Chứng minh rằng hàm số f (x ) = (x − sinx )(π − x − sinx ) đồng biến trên đoạn [0; π/2]
  26. Chứng minh rằng hàm số y = cos(2x) − 2x + 3 nghịch biến trên ℝ .
  27. Chứng minh rằng hàm số $y = \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)$ đồng biến trên các khoảng (0;π ) và (π ;2π ).
  28. Chứng minh rằng hàm số y = cos(3x) + 1,5x đồng biến trên khoảng (0; π/18) và nghịch biến trên khoảng (π/18; π/2) .
 
Sửa lần cuối:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#2
Dạng 2 : Tùy theo tham số m khảo sát tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ 1: Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{{m\left( {m + 1} \right){x^2}}}{2} + {m^3}x + {m^2} + 1$
Giải​
*Hàm số đã cho xác định trên R.
*Ta có $y' = {x^3} - m\left( {m + 1} \right)x + {m^3}$ và $\Delta = {m^2}{\left( {m - 1} \right)^2}$
+ m = 0 thì $y' = {x^2} \geqslant 0,\forall x \in R$ và y' = 0 chỉ tại điểm x = 0. Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (—∞; 0] và [0; +∞) . Do đó hàm số đồng biến trên R.
+ m = 1 thì và $y' = {\left( {x - 1} \right)^2}0,\forall x \in R$ và y’ = 0 chỉ tại điểm x = 1. Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng (—∞; 1] và [1; +∞) . Do đó hàm số đồng biến trên R.
+ m ≠ 0,m ≠ 1 khi đó y’ = 0 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = m \hfill \\ x = {m^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
• Nếu m < 0 hoặc m > 1 thì $m < {m^2}$
Bảng xét dấu y ':
khảo sát tính đơn điệu của hàm số.png

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (—∞;m) và (m$^2$; +∞), giảm trên khoảng (m;m$^2$) .
• Nếu 0 < m < 1 thì m > m$^2$
Bảng xét dấu y ':
khảo sát tính đơn điệu của hàm số.png

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên (—∞;m) và (m$^2$; +∞), giảm trên khoảng (m;m$^2$) .

Bài tập tự luyện
  1. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} + {m^3}x + m - 3\)
  2. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = {x^3} + 2\left( {m - 1} \right){x^2} + x + 2{m^2}\)
  3. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = \frac{2}{5}{x^3} + 6{x^2} + x - 2m\)
  4. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = \frac{1}{5}{x^3} - x + m\)
  5. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = \frac{2}{5}{x^3} - m\)
  6. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = \frac{4}{3}{x^3} + 9{x^2} + m\)
  7. Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}m{x^2} + {m^3}x + m - 3\)
 
Sửa lần cuối:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#3
Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên miền K R. .
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
  • Nếu $f'(x) \ge 0,\,\,\forall x \in K$ thì f(x) đồng biến trên K.
  • Nếu $f'(x) \le 0,\,\,\forall x \in K$ thì f(x) nghịch biến trên K.
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Ta có:
  • $f(x) \ge 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.$
  • $f(x) \le 0,\,\,\forall x \in R\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.$
3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
  • Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m).
  • Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K$ \Leftrightarrow f'(x,m) \ge 0,\,\,\forall x \in K \Leftrightarrow m \ge g(x),\forall x \in K\,\,\left( {m \le g(x)} \right)$
  • Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Sử dụng định lý về điều kiện cần
  • Nếu hàm số f (x) đơn điệu tăng trên R thì $f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$.
  • Nếu hàm số f (x) đơn điệu giảm trên R thì $f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in R$


Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{mx + 3 - 2m}}{{x + m}}$
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; —m) ∪ (—m; +∞)
  • Ta có $y' = \frac{{{m^2} + 2m - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},x \ne - m$
Bảng xét dấu y’
Hàm số đơn điệu trên R.png

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Nếu —3 < m < 1 thì y' < 0 hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (—∞; —m), (—m; + ∞) .

Ví dụ 12 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = \frac{{ - 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - 3m + 1}}{{x - 1}} = - 2x + m + \frac{{1 - 2m}}{{x - 1}}$
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; 1) ∪ (1; +∞) .
  • Ta có: $y' = - 2 + \frac{{2m - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},x \ne 1$
+ $m \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow y' < 0,x \ne 1,$ do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- ∞; 1), (1; + ∞) .
+ m > 0,5 khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1 < 1 < x2 => hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1; 1) và (1; x2), trường hợp này không thỏa .
Vậy $m \leqslant \frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = - \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {2m + 1} \right) - 3m + 2$
Giải:​

  • Hàm số đã cho xác định trên R.
  • Ta có : $y' = - {x^2} + 4x + 2m + 1$ và ∆’ = 2m + 5
Bảng xét dấu ∆'
Hàm số đơn điệu trên R_1.png

+ m = - 2,5 thì y' = - (x - 2)$^2$ < 0 với mọi x ∈ R và y' = 0 chỉ tại điểm x = 2
Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m <- 2,5 thì y' < 0, ∀x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > - 2,5 thì y' = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1;x2). Trường hợp này không thỏa mãn.

Ví dụ 4: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = \frac{{\left( {m + 2} \right)}}{3}{x^3} - \left( {m - 2} \right){x^2} + \left( {m - 8} \right)x + {m^2} - 1$
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên R. 
  • Ta có y' = (m + 2)x$^2$ - 2(m + 2)x + m - 8 .
+ m = -2, khi đó y' = -10 ≤ 0, ∀x ∈ R => hàm số luôn nghịch biến trên R.
+ m ≠ -2 tam thức y' = (m + 2)x$^2$ - 2(m + 2)x + m - 8 có ∆' = 10(m + 2)
Bảng xét dấu ∆’
Hàm số đơn điệu trên R.png

+ m < -2 thì y' < 0 với mọi x ∈ R. Do đó hàm số nghịch biến trên R.
+ m > -2 thì y' = 0 có hai nghiệm x1,x2 (x1 < x2). Hàm số đồng biến trên khoảng (x1; x2) . Trường hợp này không thỏa mãn .
Vậy m ≤ -2 là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 5 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = \frac{{{x^3}}}{3} + a{x^2} + 4x + 3$
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên R.
  • Ta có y ' = x$^2$ + 2ax + 4 và có ∆' = a$^2$ - 4
Bảng xét dấu ∆’
Hàm số đơn điệu trên R.png

+ Nếu -2 < a < 2 thì y' > 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.
+ Nếu a = 2 thì y' = (x + 2)$^2$ , ta có : y' = 0 <=>x = -2, y' > 0, x ≠ -2 . Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; -2] và [-2; + ∞)nên hàm số y đồng biến trên R.
+ Tương tự nếu a = -2 . Hàm số y đồng biến trên R.
+ Nếu a < -2 hoặc a > 2 thì y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giả sử x1 < x2. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x1; x2 ),đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞;x1)và (x2; + ∞). Do đó a < -2 hoặc a > 2 không thoả mãn yêu cầu bài toán .
Vậy hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi —2 ≤ a ≤ 2 .

Ví dụ 6: Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = \frac{1}{3}\left( {{a^2} - 1} \right){x^3} + \left( {a + 1} \right){x^2} + 3x + 5$
Giải​
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có : y ' = (a$^2$ -1)x$^2$ + 2(a + 1)x + 3 và có ∆' = 2( - a$^2$ + a + 2)
Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi <=> y' ≥ 0, ∀x ∈ R (1)
+ Xét a$^2$ -1 = 0 <=> a = ±1
  • a = 1 => y' = 4x + 3=> y' ≥ 0 <=> x ≥ - 4/3 => a = 1 không thoả yêu cầu bài toán.
  • a = 1 => y' = 3> 0 ∀ x ∈ R => a = - 1 thoả yêu cầu bài toán.
+ Xét a$^2$ — 1 ≠ ±1
* Bảng xét dấu ∆'
Hàm số đơn điệu trên R.png

  • Nếu a < —1 V a > 2 thì y' > 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.
  • Nếu a = 2 thì y' = 3 (x + 1)$^2$ , ta có : y' = 0 <=> x = —1, y' > 0, x ≠ —1. Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; —1] và [ - 1; + ∞) nên hàm số y đồng biến trên R.
  • Nếu —1 < a < 2, a ≠ 1 thì y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giả sử x1 < x2. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x1; x2 ) ,đồng biến trên mỗi khoảng (- ∞; x1) và (x2; + ∞) . Do đó —1 < a < 2, a ≠ 1 không thoả mãn yêu cầu bài toán .
Do đó hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi a < —1 V a ≥ 2 . Vậy với 1 ≤ a ≤ 2 thì hàm số y đồng biến trên R.

Chú ý:
Phương pháp:
  • Hàm số y = f (x, m) tăng trên R <=> y' > 0 ∀ x ∈ R <=>min y' ≥ 0.
  • Hàm số y = f (x, m) giảm trên R<=>y' < 0 ∀x ∈ R max y' ≤ 0.
1) Nếu y' = ax$^2$ +bx + c thì
$y' \geqslant 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ c \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ \Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$y' \leqslant 0\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a = b = 0 \hfill \\ c \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a < 0 \hfill \\ \Delta \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$
2) Hàm đồng biến trên R thì nó phải xác định trên R .


Bài tập tự luyện
  • Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{x - {m^2} + 7m - 11}}{{x - 1}}\)
  • Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 2m - 3}}{{x + 3m}}\)
  • Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\)
  • Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m - 1}}{{x - 3}}\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = x + 2 + \frac{m}{{x - 1}}\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - {m^2}x + 1\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m - 1} \right)x - 3 - \frac{{m + 4}}{{x + 1}}\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{m{x^4}}}{4} - {m^2}{x^2} + m - 1\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{m}{2}{x^2} + \left( {{m^2} - 3} \right)x - 1\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m + 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m -1 } \right){x^2} + 4x - 1\)
  • Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định \(y = \left( {m - 2} \right)\frac{{{x^3}}}{3} - \left( {2m - 3} \right){x^2} + \left( {5m - 6} \right)x + 2\)
 
Sửa lần cuối:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#4
Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của R .
Phương pháp:
Hàm số y = f (x, m) tăng ∀x ∈ I <=> y' ≥ 0 ∀x ∈ I <=> min y' ≥ 0.
Hàm số y = f (x, m) giảm ∀x ∈ I <=> y' ≤ 0 ∀x ∈ I <=> max y' ≤ 0.


Ví dụ 1: Tìm m để các hàm số sau $y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$ luôn nghịch biến khoảng (- ∞; 1) .
Giải​
$y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$ luôn nghịch biến khoảng ( - ∞; 1) .
  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( - ∞;1)
  • Ta có $y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}},x \ne - m$
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - ∞; 1) khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} y' < 0,\,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \hfill \\ - m \notin \left( { - \infty ;1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 4 < 0\\ - m \notin \left( { - \infty ;1} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ - m \ge 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ m \le 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le - 1$
Vậy : với −2 < m ≤ −1 thì thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau y = x$^3$ + 3x$^2$ + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên khoảng (-1;1).
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−1;1) .
  • Ta có: y ' = 3x$^2$ + 6x + m + 1
  • $y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}$
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -1;1) khi và chỉ khi y ' ≤ 0, ∀x ∈ (-1;1) hay.
Xét hàm số g (x) = -(3x$^2$ + 6x + 1), ∀x ∈ (-1;1)
=> g '(x) = -6x - 6 < 0, ∀x ∈ (-1;1) => g (x) nghịch biến trên khoảng (-1;1) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right) = - 2,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) = - 12,$
  • Bảng biến thiên
Hàm số đơn điệu trên tập con của ℝ.png

Vậy m ≤ - 10 thoả yêu cầu bài toán .

Ví dụ 3: Tìm m để các hàm số sau y = 2x$^3$ - 2x$^2$ + mx - 1 đồng biến trên khoảng (1; + ∞) .
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (1; + ∞)
  • Ta có : y ' = 6x$^2$ - 4x + m
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; + ∞) khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀x ∈ (1; + ∞) < = >g (x) = 6x$^2$ - 4x ≥-m, x > 1
Xét hàm số g (x) = 6x$^2$ - 4x liên tục trên khoảng (1; + ∞), ta có g' (x) = 12x - 4 > 0, ∀x > 1<=> g (x) đồng biến trên khoảng (1; + ∞) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {6{x^2} - 4x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = + \infty $
  • Bảng biến thiên
Hàm số đơn điệu trên tập con của ℝ.png

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 > -m<=> m > -2

Ví dụ 4: Tìm m để các hàm số sau y = mx$^3$ - x$^2$ + 3x + m - 2 đồng biến trên khoảng (-3;0)
Giải​

  • Hàm số đã cho xác định trên khoảng (-3;0) .
  • Ta có : y ' = 3mx$^2$ - 2x + 3
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ (—3; 0) hay 3mx$^2$ - 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (- 3; 0) $m \ge \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}},\forall x \in \left( { - 3;0} \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{2x - 3}}{{3{x^2}}}$ liên tục trên khoảng (—3; 0), ta có $g'\left( x \right) = \frac{{ - 6{x^2} + 18x}}{{9{x^4}}} < 0,\forall x \in \left( { - 3;0} \right) \Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng (- 3; 0) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = - \frac{4}{{27}},\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = - \infty $
Bảng biến thiên
Hàm số đơn điệu trên tập con của ℝ.png

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m \ge - \frac{4}{{27}}$

Ví dụ 5. Tìm m để các hàm số sau y = 1 mx$^3$ + 2(m - 1)x$^2$ + (m - 1)x + m đồng biến trên khoảng (2; + ∞)
Giải​
Hàm số đã cho xác định trên khoảng(2;+∞) .
Ta có: y’ = mx$^2$ + 4(m-1)x + m – 1
Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi và chỉ khi y ' ≥ 0,∀x ∈ (2;+∞) ⇔ mx$^2$+ 4(m – 1)x + m − 1 ≥ 0,∀x ∈ (2;+∞) $ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4x + 1} \right)m \ge 4x + 1,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{4x + 1}}{{{x^2} + 4x + 1}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{4x + 1}}{{{x^2} + 4x + 1}},x \in \left( {2; + \infty } \right)$
$ \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{ - 2x\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x + 1} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow $ ⇒ g(x) nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right) = \frac{9}{{13}};\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 0$
Bảng biến thiên
Hàm số đơn điệu trên tập con của ℝ.png

Vậy $m \ge \frac{9}{{13}}$ thảo mãn yêu cầu bài toán
 
Sửa lần cuối:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#5
Dạng 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức
  • Đưa bất đẳng thức về dạng f (x ) ≥ M,x ∈ (a;b).
  • Xét hàm số y = f (x ),x ∈ (a;b).
  • Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b).
  • Dựa vào bảng biến thiên và kết luận.
Lưu ý: Trong một số trường hợp ta phải dung đạo hàm cấp n để xét dấu đạo hàm cấp n-1

Bất đẳng thức một biến
Ví dụ 1
: Chứng minh các bất đẳng thức $\,\,{e^x} > 1 + x\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 0$
Giải​
${e^x} > 1 + x \Leftrightarrow {e^x} - 1 - x > 0$
Đặt :f(x) = ex – 1 – x
D = R
f’(x) = ex – 1
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 1 = 0\,\, \Leftrightarrow x = 0$
Bảng biến thiên:
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra: f(x) ≥ 0 ∀x ( f(x) = 0 tại x = 0) Vậy f(x) > 0 ∀x Hay ex > 1 + x, ∀x ≠ 1

Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức $\sin x < x \Leftrightarrow \sin x - x < 0\,\,khi\,x > 0$
Giải​
Đặt f(x) = sinx – x
D= R
f’(x) = cosx – 1 => $f'(x) = \cos x - 1 < 0\,\,\forall x \in R$
Bảng biến thiên:
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra f(x) < 0 khi x > 0 Hay sinx < x khi x > 0

Ví dụ 3: Chứng minh các bất đẳng thức $x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x\,\,\,khi\,\,x > 0$
Giải​
$x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x\,\, \Leftrightarrow x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x < 0\,\,\,\,\,\,\,khi\,x > 0$
Đặt $f(x) = x - \frac{{{x^3}}}{6} - \sin x$
$\begin{array}{l} f'(x) = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} - \cos x\\ f''(x) = - x + \sin x\, < 0\,\,\,(\sin x < x)\,\,khi\,x > 0 \end{array}$
Bảng biến thiên
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra: $f(x) < 0 \Leftrightarrow x - \frac{{{x^3}}}{6} < \sin x$

Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức $\frac{{2{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + x + 1}} \le 4\,\,\,\,\,\forall x \in R$
Giải​
$\begin{array}{l} f(x) = \frac{{2{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D = R\\ f'(x) = - \frac{{2x + 1}}{{{{({x^2} + x + 1)}^2}}}\\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f(\frac{1}{2}) = \frac{{10}}{3} \end{array}$
Bảng biến thiên
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra: $f(x) \le \frac{{10}}{3} < 4 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 2x + 3}}{{{x^2} + x + 1}} < 4$

Bất đẳng thức nhiều biến
Lưu ý
: Khi chứng minh bất đẳng thức có chứa nhiều biến, ta thường dùng giả thiết, các phép biến đổi đại số, đặt ần phụ hay bất đẳng thức cosi… để đưa về một biến hoặc biến đổi trong bất đẳng thức cần chứng minh xuất hiện các biểu thức đồng dạng.

Ví dụ 5: Chứng minh các bất đẳng thức ${2^{2.\sin x}} + {2^{\tan x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}},\,\,\forall x \in (0\,;\frac{\pi }{2})$
Giải​
Nhận xét : Các luỹ thừa trong bất đẳng thức có cùng cơ số, nên chỉ cần so sánh các số mũ, mặt khác vế trái là tổng của các số dương nên ta có thể dùng bđt côsi để làm đơn giản bài toán.
Áp dụng bđt côsi ta có: ${2^{2\sin x}} + {2^{\tan x}} \ge 2\sqrt {{2^{2\sin x}}{{.2}^{\tan x}}} = {2^{\sin x + \frac{1}{2}\tan x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})$
Ta cần chứng minh ${2^{\sin x + \frac{1}{2}\tan x + 1}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}},\,\,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})$
Vì a=2>1 nên ta chỉ cần chứng minh: $\sin x + \frac{1}{2}\tan x > \frac{{3x}}{2}$
Xét hàm số: $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\tan x - \frac{{3x}}{2}\,,\,\,x \in (0;\frac{\pi }{2})$
$\begin{array}{l} f'(x) = \cos x + \frac{1}{{2{{\cos }^2}x}} - \frac{3}{2} = \frac{{(2\cos x + 1){{(1 - \cos x)}^2}}}{{2{{\cos }^2}x}} > 0\,\,\,\,\,\,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})\\ f(o) = 0 \end{array}$
Bảng biến thiên
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra $\sin x + \frac{1}{2}\tan x > \frac{{3x}}{2}$
Vậy ${2^{2\sin x}} + {2^{\tan x}} > {2^{\frac{{3x}}{2} + 1}};\,\,\forall x \in (0;\frac{\pi }{2})$

Ví dụ 6: Chứng minh các bất đẳng thức sau: ∀a,b ∈ R: a + b = 2. Hãy chứng minh ${a^4} + {b^4} \ge 2$
Giải​
Nhận xét: Từ giả thiết ta có Thể tính a theo b hoặc ngược lại, thế vào vế trái ta được hàm số một biến.
Từ giả thiết suy ra: b = a-2. Xét hàm số
$\begin{array}{l} f(a) = {a^4} + {(2 - a)^4};\,a \in ( - \infty : + \infty )\\ f'(a) = 8(a - 1)({a^2} - 2a + 4)\\ Do\,\,\,{a^2} - 2a + 4 > 0\,\forall a\\ f'(a) = 0 \Leftrightarrow a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow f(1) = 2 \end{array}$
Bảng biến thiên
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra: $f(a) = {a^4} + {(2 - a)^4} \ge 2\forall a\,\,Hay\,\,{a^4} + {b^4} \ge 0\,\forall a,b\,:a + b = 2$
Dấu “=” xảy ra khi a=b=1

Ví dụ 7: Chứng minh các bất đẳng thức $\forall a,b,c > 0:{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$ hãy chứng minh $\,\,\,\,\,\,\,\frac{a}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
Giải​
Nhận xét: Vai trò của a,b,c trong vế trái là như nhau, nên ta có thể biến đổi từng nhóm trong vế trái thành những biểu thức “đồng dạng”
Từ giả thiết suy ra: 0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {b^2} + {c^2} = 1 - {a^2}\\ {c^2} + {a^2} = 1 - {b^2}\\ {a^2} + {b^2} = 1 - {c^2} \end{array} \right.\\ VT = \frac{a}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{a}{{1 - {a^2}}} + \frac{b}{{1 - {b^2}}} + \frac{c}{{1 - {c^2}}}\\ \,\,\,\,\,\, = \frac{{{a^2}}}{{a(1 - {a^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{b(1 - {b^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{c(1 - {c^2})}} \end{array}$
Xét hàm số: f(x) = x(1 – x$^2$) trên đoạn [0 ; 1]
$\begin{array}{l}
f'(x) = 3{x^2} + 1\\
f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow f(\frac{1}{{\sqrt 3 }}) = \frac{2}{{3\sqrt 3 }}
\end{array}$
Bảng biến thiên
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra:
$\begin{array}{l} \frac{{{a^2}}}{{a(1 - {a^2})}} \ge \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}\\ \frac{{{b^2}}}{{b(1 - {b^2})}} \ge \frac{{3\sqrt 3 {b^2}}}{2}\\ \frac{{{c^2}}}{{c(1 - {c^2})}} \ge \frac{{3\sqrt 3 {c^2}}}{2}\\ \frac{{{a^2}}}{{a(1 - {a^2})}} + \frac{{{b^2}}}{{b(1 - {b^2})}} + \frac{{{c^2}}}{{c(1 - {c^2})}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}({a^2} + {b^2} + {c^2}) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{1 - {a^2}}} + \frac{b}{{1 - {b^2}}} + \frac{c}{{1 - {c^2}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \end{array}$
Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Nhận xét: Do vai trò của x,y,z bình đẳng nhau nên từ giả thiết suy ra có ít nhất một số không vượt quá 1/3. Mặt khác ta có thể dung bđt Cauchy để sử dụng tính chất bắc cầu và biến đổi về một biến
Giả sử: $0 \le z \le \frac{1}{3}$
Ta có:
$\begin{array}{l} xy + yz + zx - 2xyz = xy(1 - 2z) + z(x + y) \ge \frac{1}{3}xy + z(x + y) \ge 0\,\,\,\,\,(1)\\ xy + yz + zx - 2xyz = \\ = xy(1 - 2z) + z(x + y) \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2}(1 - 2z) + z(x + y)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\cos i:x + y \ge 2\sqrt {xy} )\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {\frac{{1 - z}}{2}} \right)^2}(1 - 2z) + z(1 - z)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{4}( - 2{z^3} + {z^2} + 1) \end{array}$
Xét hàm số:
$\begin{array}{l} f(z) = \frac{1}{4}( - 2{z^3} + {z^2} + 1);\,\,\,\,[0;\frac{1}{3}]\\ f'(z) = \frac{1}{4}( - 6{z^3} + 2z)\\ f'(z) = 0 \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l} z = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{1}{4}\\ z = \frac{1}{3} \Rightarrow f(\frac{1}{3}) = \frac{7}{{27}} \end{array} \right. \end{array}$
Bảng biến thiên
tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.png

Từ bảng biến thiên suy ra: $f(z) \le \frac{7}{{27}}\,\,\,\,\,khi\,z \in [0;\frac{1}{3}]$
Hay xy + yz + zx – 2xyz ≤ 7/27 (2)
Từ (1),(2) suy ra: $0 \le xy + yz + zx - 2xyz \le \frac{7}{{27}}\,\,\,\,\forall x,y,z \ge 0\,,\,x + y + z = 1$

Ví dụ 8: Chứng minh rằng: $x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} < \sin x < x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}}$ ∀x > 0
Giải​
$x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} < \sin x$ ∀x > 0 <=> $f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{3!}} - x + \sin x > 0$ ∀x > 0
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{2!}} - 1 + \cos x$ => $f''\left( x \right) = x - \sin x$ => $f'''\left( x \right) = 1 - \cos x \ge 0$ ∀x > 0
=> f”(x) đồng biến [0, +∞) => $f''\left( x \right) > \,f''\left( 0 \right) = 0$ ∀x > 0
=> f’(x) đồng biến [0, +∞) => $f'\left( x \right) > f'\left( 0 \right)$ = 0 ∀x > 0
=> f(x) đồng biến [0, +∞) => f(x) > f(0) = 0 ∀x > 0 => (đpcm)
$\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}}$ ∀x > 0 <=> g(x) = $\frac{{{x^5}}}{{5!}} - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + x - \sin x > 0$ ∀x > 0
Ta có g'(x) = $\frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + 1 - \cos x$=> g''(x) = $\frac{{{x^3}}}{{3!}} - x + \sin x$ = f(x) > 0 ∀x > 0
=> g'(x) đồng biến [0, +∞) => g'(x) > g'(0) = 0 ∀x > 0
=> g(x) đồng biến [0, +∞) => g(x) > g (0) = 0 ∀x > 0 => (đpcm)

Ví dụ 9: Chứng minh các bất đẳng thức $\sin x > \frac{{2x}}{\pi }\quad \forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
Giải​
$\sin x > \frac{{2x}}{\pi } \Leftrightarrow f(x) = \frac{{\sin x}}{x} > \frac{2}{\pi }$ ∀x∈ (0; π/2). Xét biểu thức đạo hàm $f'(x) = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} = \frac{{g(x)}}{{{x^2}}}$, ở đây kí hiệu g(x) = x cosx - sinx
Ta có g’(x) = cosx - xsinx - cosx = - xsinx < 0 ∀x∈(0; π/2)
=> g(x) giảm trên (0; π/2) => g(x) < g(0) = 0
=> $f'\left( x \right) = \frac{{g(x)}}{{{x^2}}} < 0$ ∀x∈(0; π/2)=> f (x) giảm trên (0; π/2)
=> $f\left( x \right) > f\left( {{\textstyle{\pi \over 2}}} \right) = \frac{2}{\pi }$ <=> $\sin x > \frac{{2x}}{\pi },\quad \forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$

Ví dụ 10: Chứng minh các bất đẳng thức $\frac{{x + y}}{2} > \frac{{x - y}}{{\ln x - \ln y}}$ ∀x > y > 0
Giải​
Do x > y > 0, lnx > lny <=> lnx - lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức
<=> $\ln x - \ln y > 2 \cdot \frac{{x - y}}{{x + y}} \Leftrightarrow \ln \frac{x}{y} > 2 \cdot \frac{{{\textstyle{x \over y}} - 1}}{{{\textstyle{x \over y}} + 1}}$<=> $\ln t > 2 \cdot \frac{{t - 1}}{{t + 1}}$với $t = \frac{x}{y}\]>1
<=> $f(t) = \ln t - 2 \cdot \frac{{t - 1}}{{t + 1}} > 0$∀t >1. Ta có $f'\left( t \right) = \frac{1}{t} - \frac{4}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{t{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0$ ∀t >1
=> f(t) đồng biến [1, +∞) => f(t) > f(1) = 0 ∀t >1 => (đpcm)

Ví dụ 11: Chứng minh các bất đẳng thức $\frac{1}{{y - x}}\left( {\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}}} \right) > 4;\,\left\{ \begin{array}{l} \forall x,y \in \left( {0,1} \right)\\ x \ne y \end{array} \right.$ (1)
Giải​
Xét hai khả năng sau đây:
+ Nếu y > x thì (1) <=> $\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}} > 4\left( {y - x} \right) \Leftrightarrow \ln \frac{y}{{1 - y}} - 4y > \ln \frac{x}{{1 - x}} - 4x$
+ Nếu y < x thì (1) <=> $\ln \frac{y}{{1 - y}} - \ln \frac{x}{{1 - x}} < 4\left( {y - x} \right) \Leftrightarrow \ln \frac{y}{{1 - y}} - 4y < \ln \frac{x}{{1 - x}} - 4x$
Xét hàm đặc trưng f(t) = $\ln \frac{t}{{1 - t}} - 4t$ với t∈(0, 1).
Ta có $f'\left( t \right) = \frac{1}{{t(1 - t)}} - 4 = \frac{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}}{{t(1 - t)}} > 0$ ∀t∈(0,1) => f(t) đồng biến (0, 1)
=> f( y ) > f( x ) nếu y > x và f( y ) < f( x ) nếu y < x => (đpcm)

Ví dụ 12: Chứng minh các bất đẳng thức ${a^b} < {b^a}{^{^{^{}}}_{}}$ ∀a > b ≥ e
Giải​
${a^b} < {b^a} \Leftrightarrow \ln \left( {{a^b}} \right) < \ln \left( {{b^a}} \right) \Leftrightarrow b\ln \left( a \right) < a\ln \left( b \right) \Leftrightarrow \frac{{\ln a}}{a} < \frac{{\ln b}}{b}$
Xét hàm đặc trưng f(x) = $\frac{{\ln x}}{x}$ ∀x ≥ e.
Ta có $f'(x) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} \le \frac{{1 - \ln e}}{{{x^2}}} = 0$ => f(x) nghịch biến [e, +∞)
=> f(a) < f(b) <=> $\frac{{\ln a}}{a} < \frac{{\ln b}}{b} \Leftrightarrow {a^b} < {b^a}$

Ví dụ 13: Chứng minh các bất đẳng thức ${\left( {{2^a} + {\textstyle{1 \over {{2^a}}}}} \right)^b} \le {\left( {{2^b} + {\textstyle{1 \over {{2^b}}}}} \right)^a},\forall a \ge b > 0$
Giải​
Biến đổi bất đẳng thức ${\left( {{2^a} + {\textstyle{1 \over {{2^a}}}}} \right)^b} \le {\left( {{2^b} + {\textstyle{1 \over {{2^b}}}}} \right)^a} \Leftrightarrow {\left( {{\textstyle{{1 + {4^a}} \over {{2^a}}}}} \right)^b} \le {\left( {{\textstyle{{1 + {4^b}} \over {{2^b}}}}} \right)^a}$
$ \Leftrightarrow {\left( {1 + {4^a}} \right)^b} \le {\left( {1 + {4^b}} \right)^a} \Leftrightarrow \ln {\left( {1 + {4^a}} \right)^b} \le \ln {\left( {1 + {4^b}} \right)^a} \Leftrightarrow {\textstyle{{\ln \left( {1 + {4^a}} \right)} \over a}} \le {\textstyle{{\ln \left( {1 + {4^b}} \right)} \over b}}$.
Xét hàm số đặc trưng cho hai vế $f\left( x \right) = {\textstyle{{\ln \left( {1 + {4^x}} \right)} \over x}}$với x > 0. Ta có $f'\left( x \right) = {\textstyle{{{4^x}\ln {4^x} - \left( {1 + {4^x}} \right)\ln \left( {1 + {4^x}} \right)} \over {{x^2}\left( {1 + {4^x}} \right)}}} < 0 \Rightarrow f\left( x \right)$giảm trên$\left( {0, + \infty } \right) \Rightarrow f\left( a \right) \le f\left( b \right)$

Ví dụ 14: Chứng minh các bất đẳng thức $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$ ∀a, b, c > 0 (1)
Giải​
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c. Đặt x = a => x ≥ b ≥ c > 0.
Ta có (1) <=> f (x) = $\frac{x}{{b + c}} + \frac{b}{{c + x}} + \frac{c}{{x + b}}$ với x ≥ b ≥ c > 0
=> $f'(x) = \frac{1}{{b + c}} - \frac{b}{{{{\left( {x + c} \right)}^2}}} - \frac{c}{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}} > \frac{1}{{b + c}} - \frac{b}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} - \frac{c}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} = 0$
=> f(x) đồng biến [b, +∞) => $f(x) \ge f(b) = \frac{{2b + c}}{{b + c}}$ (2)
Đặt x = b => x ≥ c > 0, xét hàm số g(x) = $\frac{{2x + c}}{{x + c}}$ với x ≥ c > 0
=> $g'(x) = \frac{c}{{{{\left( {x + c} \right)}^2}}} > 0$ ∀c > 0 => g(x) đồng biến [c, +∞) => $g(x) \ge g(c) = \frac{3}{2}$ (3)
Từ (2), (3) suy ra $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$ ∀a, b, c > 0
 
Sửa lần cuối:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#6
Dạng 6: Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình
  • Nếu hàm số y = f (x ) luôn đơn điệu nghiêm cách trên D ( hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D ) thì số nghiệm của phương trình: f (x ) = k sẽ không nhiều hơn một và f (x ) = f (y ) khi và chỉ khi x = y.
  • Nếu hàm số y = f (x ) luôn đơn điệu nghiêm cách trên D ( hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D ) và hàm số y = g (x ) luôn đơn điệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên D , thì số nghiệm trên D của phương trình f (x ) = g (x ) không nhiều hơn một.
  • Nếu hàm số y = f (x ) có đạo hàm đến cấp n trên D và phương trình ${f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = 0$ có m nghiệm, khi đó phương trình ${f^{\left( {k - 1} \right)}}\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là m + 1 nghiệm.
  • Nếu hàm số y = f (x ) xác định trên D và có f ′′ (x ) > 0 hoặc f ′′ (x ) < 0 trên I thì f ' (x ) đồng biến hoặc luôn luôn nghịch biến trên I nên f ' (x ) = 0 nhiều nhất 1 nghiệm trên I suy ra f (x ) nhiều nhất 2 nghiệm trên I .

Ví dụ 1: Giải phương trình: ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0$.
Giải​
Điều kiện: $x \le {\textstyle{1 \over 3}}$. Đặt $f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - 3x} + 4 = 0$.
Ta có: $f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} + {\textstyle{3 \over {2\sqrt {1 - 3x} }}} > 0$ => f (x) đồng biến trên $\left( { - \infty ,{\textstyle{1 \over 3}}} \right]$.
Mặt khác f (-1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = -1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt {{x^2} + 15} = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} $
Giải​
Bất phương trình <=> $f\left( x \right) = 3x - 2 + \sqrt {{x^2} + 8} - \sqrt {{x^2} + 15} $ = 0 (1).
+ Nếu $x \le {\textstyle{2 \over 3}}$ thì f (x) < 0 => (1) vô nghiệm.
+ Nếu $x > {\textstyle{2 \over 3}}$ thì $f'\left( x \right) = 3 + x\left( {{\textstyle{1 \over {\sqrt {{x^2} + 8} }}} - {\textstyle{1 \over {\sqrt {{x^2} + 15} }}}} \right) > 0\,\,\forall x > {\textstyle{2 \over 3}}$
=> f (x) đồng biến trên $\left( {{\textstyle{2 \over 3}}, + \infty } \right)$ mà f (1) = 0 nên (1) có đúng 1 nghiệm x = 1

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt {x + 1} + \sqrt[3]{{5x - 7}} + \sqrt[4]{{7x - 5}} + \sqrt[5]{{13x - 7}} < 8$ (*)
Giải​
Điều kiện $x \ge {\textstyle{5 \over 7}}$. Đặt $f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} + \sqrt[3]{{5x - 7}} + \sqrt[4]{{7x - 5}} + \sqrt[5]{{13x - 7}}$
Ta có: $f'\left( x \right) = {\textstyle{1 \over {2\sqrt {x + 1} }}} + {\textstyle{5 \over {3 \cdot \sqrt[3]{{{{\left( {5x - 7} \right)}^2}}}}}} + {\textstyle{7 \over {4 \cdot \sqrt[4]{{{{\left( {7x - 5} \right)}^3}}}}}} + {\textstyle{{13} \over {5 \cdot \sqrt[5]{{{{(13x - 7)}^4}}}}}} > 0$
=> f (x) đồng biến trên $\left[ {{\textstyle{5 \over 7}}, + \infty } \right)$. Mà f (3) = 8 nên (*) <=> f (x) < f (3) <=> x < 3.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là ${\textstyle{5 \over 7}} \le x < 3$

Ví dụ 4: Giải phương trình: ${5^x} + {4^x} + {3^x} + {2^x} = {\textstyle{1 \over {{2^x}}}} + {\textstyle{1 \over {{3^x}}}} + {\textstyle{1 \over {{6^x}}}} - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 17$ (*)
Giải​
(*) $ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {5^x} + {4^x} + {3^x} + {2^x} - {\left( {{\textstyle{1 \over 2}}} \right)^x} - {\left( {{\textstyle{1 \over 3}}} \right)^x} - {\left( {{\textstyle{1 \over 6}}} \right)^x} = - 2{x^3} + 5{x^2} - 7x + 17 = g\left( x \right)$
Ta có f (x) đồng biến và g’(x) = -6x$^2$ + 10x - 7 < 0 ∀x => g(x) nghịch biến.
Nghiệm của f (x) = g(x) là hoành độ giao điểm của y = f(x) và y = g(x).
Do f (x) tăng; g(x) giảm và $f\left( 1 \right) = g\left( 1 \right) = 13$ nên (*) có nghiệm duy nhất x = 1.

Ví dụ 5: Giải phương trình: Tìm số m Max để $m\left( {\left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right| + 1} \right) \le \left| {\sin 2x} \right| + \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right| + 2\,\,\,\forall x$ (*)
Giải​
Đặt $t = \left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right| \ge 0 \Rightarrow {t^2} = {\left( {\left| {\sin x} \right| + \left| {\cos x} \right|} \right)^2} = 1 + \left| {\sin 2x} \right|$ => $1 \le {t^2} \le 2$ => $1 \le t \le \sqrt 2 $, khi đó (*) <=> $m\left( {t + 1} \right) \le {t^2} + t + 1\,\,\;\forall t \in \left[ {1,\sqrt 2 } \right]$ <=> $f\left( t \right) = {\textstyle{{{t^2} + t + 1} \over {t + 1}}} \ge m\;\forall t \in \left[ {1,\sqrt 2 } \right]$ <=> $\mathop {{\mathop{\rm Min}\nolimits} }\limits_{t \in \left[ {1,\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) \ge m$.
Do $f'\left( t \right) = {\textstyle{{{t^2} + 2t} \over {{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} > 0$ nên f (t) đồng biến trên $\left[ {1,\sqrt 2 } \right]$ => $\mathop {{\mathop{\rm Min}\nolimits} }\limits_{t \in \left[ {1,\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = {\textstyle{3 \over 2}}$ => $m \le {\textstyle{3 \over 2}}$ => ${\mathop{\rm Max}\nolimits} m = {\textstyle{3 \over 2}}$

Ví dụ 6: Giải phương trình: ${2008^{{{\sin }^2}x}} - {2008^{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x$
Giải​
${2008^{{{\sin }^2}x}} - {2008^{{{\cos }^2}x}} = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \Leftrightarrow {2008^{{{\sin }^2}x}} + {\sin ^2}x = {2008^{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x$(*)
Xét $f\left( u \right) = {2008^u} + u$.
Ta có $f'\left( u \right) = {2008^u}.\ln u + 1 > 0$. Suy ra f(u) đồng biến. (*) $ \Leftrightarrow f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = {\textstyle{\pi \over 4}} + {\textstyle{{k\pi } \over 2}},k \in Z$

Ví dụ 7: Giải phương trình: Tìm $x,y \in \left( {0,\pi } \right)$thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l} {\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}x - {\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}y = x - y\\ 3x + 5y = 2\pi \end{array} \right.$
Giải​
${\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}x - {\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}y = x - y \Leftrightarrow x - {\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}x = y - {\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}y$.
Xét hàm số đặc trưng $f\left( u \right) = u - {\mathop{\rm cotg}\nolimits} {\rm{ }}u,u \in \left( {0,\pi } \right)$.
Ta có $f'\left( u \right) = 1 + {\textstyle{1 \over {{{\sin }^2}u}}} > 0$.
Suy ra f(u) đồng biến trên (0;π).
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = f\left( y \right)\\ 3x + 5y = 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = {\textstyle{\pi \over 4}}$

Ví dụ 8: Giải phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2x + 1 = {y^3} + {y^2} + y\\ 2y + 1 = {z^3} + {z^2} + z\\ 2z + 1 = {x^3} + {x^2} + x \end{array} \right.$ (*).
Giải​
Xét $f\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + t$ với $t \in R$ => $f'\left( t \right) = 2{t^2} + {\left( {t + 1} \right)^2} > 0$ => f (t) tăng.
Không mất tính tổng quát giả sử x ≤ y ≤ z
=> $f\left( x \right) \le f\left( y \right) \le f\left( z \right)$ => $2z + 1 \le 2x + 1 \le 2y + 1 \Leftrightarrow z \le x \le y$ => x = y = z = ± 1

Ví dụ 9: Giải phương trình: $\sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} = 1$ (1)
Nhận xét:
Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng .Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 1 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu.
Giải​
Điều kiện: $x \ge \frac{1}{2}$.
Đặt $f\left( x \right) = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} $.
Ta có ${f^'}\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x - 1} }} + \frac{{4x}}{{\sqrt {4{x^2} - 1} }} > 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ .
Do đó hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {4x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 1} $ đồng biến trên $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$, nên phương trình $f\left( x \right) = 1$ nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Hơn nữa, $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1$ nên $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 10: Giải phương trình: $\sqrt x + \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 7} + \sqrt {x + 16} = 14$
Giải​
Điều kiện: $x \ge 5$. Đặt $f(x) = \sqrt x + \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 7} + \sqrt {x + 16} $
Ta có $f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{2\sqrt {x - 5} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 7} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)$.
Do đó hàm số$f(x) = \sqrt x + \sqrt {x - 5} + \sqrt {x + 7} + \sqrt {x + 16} $ đồng biến trên $\left[ {5; + \infty } \right)$.
Mà $f(9) = 14$ nên x = 9 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 11: Giải phương trình : $\sqrt {5{x^3} - 1} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x = 4$
Giải​
Điều kiện: $x \ge \frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}$
Đặt $f(x) = \sqrt {5{x^3} - 1} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + x$
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{15{x^2}}}{{2\sqrt {5{x^3} - 1} }} + \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}}}} + 1 > 0,\forall x \in (\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}; + \infty )$ nên hàm số đồng biến trên $ \in [\frac{1}{{\sqrt[3]{5}}}; + \infty )$ . Mà f(x) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 12: Giải phương trình : $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} = 2\sqrt 3 + \sqrt {4 - x} $ (1)
Giải​
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \ge 0\\ 4 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x + 2)(2{x^2} - x + 8) \ge 0\\ 4 - x \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$
Khi đó, (1) $ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} = 2\sqrt 3 $
Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $ trên $\left[ { - 2;4} \right]$
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{3({x^2} + x + 1)}}{{\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0,\forall x \in ( - 2;4)$
Do đó hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $ đồng biến trên $\left[ { - 2;4} \right]$.
Mà$f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 $ nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 13: Giải phương trình $\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)} - 3\sqrt {x + 6} = 4 - \sqrt {\left( {x + 6} \right)\left( {2x - 1} \right)} + 3\sqrt {x + 2} $
Giải​
Điều kiện: $x \ge \frac{1}{2}$
Viết lại phương trình dưới dạng như sau $\left( {\sqrt {2x - 1} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 6} } \right) = 4$
Nhận xét: Để phương trình có nghiệm thì $\sqrt {2x - 1} - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 5$.
Xét hàm số $f\left( x \right) = g\left( x \right)h\left( x \right)$ với $g\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} - 3;h\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 6} $
Ta có $g'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {2x - 1} }} > 0,\forall x > 5;h'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 6} }} > 0,\forall x > 5$.
Do đó hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} - 3;h\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 6} $ dương và cùng đồng biến trên $\left( {5; + \infty } \right)$.Suy ra $f\left( x \right) = g\left( x \right)h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {5; + \infty } \right)$.
Mà $f\left( 7 \right) = 4$ nên x = 7 là nghiệm duy nhất của phương trình.
 
Sửa lần cuối:

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#7
Dạng 7: Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình chứa tham số.
Cho hàm số f (x;m) = 0 xác định với mọi x ∈I (*)
  • Biến đổi (*) về dạng f (x ) = f (m)
  • Xét hàm số y = f (x ) liên tục trên I
  • Dùng tính chất đơn điệu của hàm số và kết luận.

Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình $\sqrt {4x - 2} + 2\sqrt {4 - x} < m$ có nghiệm.
Giải​
Điều kiện: $\frac{1}{2} \le x \le 4$.
Khi đó, bất phương trình $\sqrt {4x - 2} + 2\sqrt {4 - x} < m \Leftrightarrow m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};4} \right]} \left[ {\sqrt {4x - 2} + 2\sqrt {4 - x} } \right]$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {4x - 2} + 2\sqrt {4 - x} $ trên $\left[ {\frac{1}{2};4} \right]$.
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {4x - 2} }} - \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} = \frac{{2\sqrt {4 - x} - \sqrt {4x - 2} }}{{\sqrt {\left( {4x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)} }}$
$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - x} - \sqrt {4x - 2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{4};\left( {x \ne \frac{1}{2};x \ne 4} \right)$
$f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \sqrt {14} ;f\left( {\frac{9}{4}} \right) = 2\sqrt 7 ;f\left( 4 \right) = \sqrt {14} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};4} \right]} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \sqrt {14} $
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m > \sqrt {14} $.

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình $m\sqrt {2{x^2} + 9} < x + m$ có nghiệm với mọi x.
Giải​
Ta có $m\sqrt {2{x^2} + 9} < x + m \Leftrightarrow m < \frac{x}{{\sqrt {2{x^2} + 9} - 1}}$ , vì $\sqrt {2{x^2} + 9} - 1 > 0,\forall x$
Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi $m < \min \left[ {\frac{x}{{\sqrt {2{x^2} + 9} - 1}}} \right]$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {2{x^2} + 9} - 1}}$ trên R.
Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{9 - \sqrt {2{x^2} + 9} }}{{\sqrt {2{x^2} + 9} {{\left( {\sqrt {2{x^2} + 9} - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 9 - \sqrt {2{x^2} + 9} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 6\\ x = 6 \end{array} \right.$
Bảng biến thiên:
Tìm m để bất phương trình.png

Suy ra $\min \left[ {f\left( x \right)} \right] = - \frac{3}{4}$. Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi $m < - \frac{3}{4}$.

Ví dụ 3: Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: $mx - \sqrt {x - 3} \le m + 1$
Giải​
Điều kiện: $x \ge 3$. Khi đó, $mx - \sqrt {x - 3} \le m + 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{x - 1}} \ge m$.
Bất phương trình đã cho có nghiệm $x \ge 3$ khi và chỉ khi $m \le \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {{\rm{3; + }}\infty } \right)} \left[ {\frac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{x - 1}}} \right]$
Xét ham số $f\left( x \right) = \frac{{1 + \sqrt {x - 3} }}{{x - 1}}$ trên $\left[ {3; + \infty } \right)$. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{5 - x - 2\sqrt {x - 3} }}{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}\sqrt {x - 3} }}$
$f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 5 - x - 2\sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 3} = 5 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 \le x \le 5\\ 4\left( {x - 3} \right) = {\left( {5 - x} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 7 - 2\sqrt 3 $.
Bảng biến thiên
Tìm m để bất phương trình.png

Suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {{\rm{3; + }}\infty } \right)} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}$ .
Vậy bất phương trình có nghiệm $m \le \frac{{\sqrt 3 + 1}}{4}$.

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình $m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \ge 0$ nghiệm đúng với mọi x > 0
Giải​
Ta biến đổi bất phương trình $m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{{{x^2} - 2x + 3}},\forall x > 0 \Leftrightarrow m \ge \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \left[ {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 3}}} \right]$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 3}}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2 - 2x}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Tìm m để bất phương trình.png

Suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left( {{\rm{0; + }}\infty } \right)} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \frac{1}{2}$. Do đó giá trị m cần tìm là $m \ge \frac{1}{2}$.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \frac{1}{3}$ đồng biến trên $\left[ {2; + \infty } \right)$.
Giải​
$y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right)$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {2; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi
$\begin{array}{l} y' = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}},\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} \left[ {\frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}}} \right] \end{array}$
Xét hàm số $g\left( x \right) = \frac{{6 - 2x}}{{{x^2} - 2x + 3}}$ trên $\left[ {2; + \infty } \right)$. Ta có $g'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 12x + 6}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 6 $
Bảng biến thiên:
Tìm m để bất phương trình.png

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} \left[ {{\rm{g}}\left( x \right)} \right] = \frac{2}{3}$.
Do đó giá trị cần tìm là: $m \ge \frac{2}{3}$.

Ví dụ 6: Tìm m để bất phương trình $m{.16^{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}} - 2m{.4^{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}} + 2m - 2 \ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$.
Giải​
Đặt $u = {4^{{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}}}}$. Với $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow u \in \left[ {1;4} \right]$. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $m.{u^2} - 2m.u + 2m - 2 \ge 0$. Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]$ khi và chỉ khi $\begin{array}{l} m.{u^2} - 2m.u + 2m - 2 \ge 0,\forall u \in \left[ {1;4} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{2}{{{u^2} - 2u + 2}},\forall u \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left[ {\frac{2}{{{u^2} - 2u + 2}}} \right] \end{array}$.
Xét hàm số $f\left( u \right) = \frac{2}{{{u^2} - 2u + 2}}$ trên [1; 4]. Ta có $f'\left( u \right) = \frac{{4\left( {1 - u} \right)}}{{{{\left( {{u^2} - 2u + 2} \right)}^2}}} \le 0,\forall u \in \left[ {1;4} \right]$
Bảng biến thiên
Tìm m để bất phương trình.png

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {1;4} \right]} \left[ {f\left( u \right)} \right] = 2$. Do đó giá trị cần tìm là: $m \ge 2$.

Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình $1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)$ nghiệm đúng với mọi x .
Giải​
Ta có $1 + {\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {5\left( {{x^2} + 1} \right)} \right] \ge {\log _5}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m{x^2} + 4x + m > 0\\ 5\left( {{x^2} + 1} \right) \ge m{x^2} + 4x + m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 4x}}{{{x^2} + 1}}\\ m \le 5 - \frac{{4x}}{{{x^2} + 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \max \left[ {\frac{{ - 4x}}{{{x^2} + 1}}} \right]\\ m \le 5 + \min \left[ {\frac{{ - 4x}}{{{x^2} + 1}}} \right] \end{array} \right.$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ - 4x}}{{{x^2} + 1}}$ trên R. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{4\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right.$
Bảng biến thiên
Tìm m để bất phương trình hàm số.png

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $\min \left[ {f\left( x \right)} \right] = - 2;\max \left[ {f\left( x \right)} \right] = 2$.
Vậy giá trị cần tìm là: $2 < m \le 5 - 2 \Leftrightarrow 2 < m \le 3$.

Bài tập vận dụng

1.Tìm m để phương trình: $\frac{{\log (mx)}}{{\log (x + 1)}} = 2$ có nghiệm .
2. Tìm m để : $\frac{{ - {x^2} + 3x - 3}}{{(m - 1){{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} + 2m}} = 0$ có nghiệm .
3. Tìm m để bất phương trình: ${\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + m = x\sqrt {{x^2} + 2} + 4$ đúng với $\forall x \in \left[ {0;1} \right]$
4. Tìm m để phương trình: ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|}} = {m^4} - {m^2} + 1$ có 4 nghiệm phân biệt.
5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $x\sqrt x + \sqrt {x + 12} = m\left( {\sqrt {5 - x} + \sqrt {4 - x} } \right)$
6. Tìm m để phương trình: $\sqrt {1 - {x^2}} + 2\sqrt[3]{{1 - {x^2}}} = m$ có nghiệm duy nhất
7. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: $\sqrt x + \sqrt {1 - x} + 2m\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} - 2\sqrt[4]{{x\left( {1 - x} \right)}} = {m^3}$
8. Tìm m để bất phương trình có nghiệm: $x\sqrt x + \sqrt {x + 1} < m{\log _2}\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)$
9. Tìm m để với $\forall x \in \left[ {0;2} \right]$ thoả mãn: ${\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} + 4\sqrt {{{\log }_4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right)} = 5$
10. Tìm m để bất phương trình: $x\left( {4 - x} \right) + m\left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + 2} \right) = 0$ có nghiệm với $\forall x \in \left[ {2;2 + \sqrt 3 } \right]$
11. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: $2{\log _{\frac{1}{{25}}}}\left( {mx + 28} \right) = - {\log _5}\left( {12 - 4x - {x^2}} \right)$
12. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: $1 + \sqrt {1 + x} + \sqrt {8 - x} + m\left( {x - 8} \right)\sqrt {\frac{{1 + x}}{{8 - x}}} = 3m$
13. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với $\forall x \in \left[ {0;4} \right]$: $9{\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {3x + m} \right){\left( {1 - \sqrt {3x + 4} } \right)^2}$
14. Tìm m để bất phương trình có nghiệm $x \in \left[ {0;1} \right]$: ${\left( {{x^2} + 2} \right)^2} + m = x\sqrt {{x^2} + 4} + 13$
15. Tìm m để phương trình có nghiệm với $\forall x \in \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt {10} } \right]:\,\,\,x + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = m$
16. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ${x^2} - 3x + 1 - m\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} = 0$
17. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với $\forall x:\,\,\left( {{{\log }_3}\sqrt {{x^2} + {\rm{5}}} + 1} \right){\log _5}\left( {{x^2} + ax{\rm{ + 6}}} \right) \le 1$
18. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình : ${\log _3}\left( {5{x^2} - 8x + 3} \right) = 2$ đều thoả mãn bất phương trình: ${\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right) > {\log _2}\left( {3{x^2} - x + m} \right)$ .
19. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với $\forall x \in \left[ {1;2} \right]:\,\,\left( {m - 2} \right){\log ^2}_{\frac{1}{2}}\left( {x - 1} \right) + 2m{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) - 1 > 0$
20. Tìm m để phương trình $\ln (1 + x) = x - m{x^2}$ nghiệm đúng với mọi $x \ge 0$
21. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $\sqrt {{x^3} - 2{x^2} - 2x - {m^3} + 3{m^2} + 1} = x - 1$
22. Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình sau luôn có nghiệm ${\log _2}(\frac{{\sqrt {{x^2} + mx + 2} }}{{2x - 1}}) = 2x - \sqrt {{x^2} + mx + 2} - 1$
23. Tìm a để phương trình sau có nghiệm ${x^3} + 3{x^2} - 1 = a{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)^3}$
24. Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: ${\sin ^{2012}}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2012}}x = m$
25. Tìm tham số a để bất phương trình nghiệm đúng $\forall x:\,\,\,\,3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - 5c{\rm{os}}3x - 36{\sin ^2}x + 36 + 24a - 12{a^2} > 0$
26.Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng $\forall x:m\left( {\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| + \left| {\cos x} \right| + 1} \right) \le \left| {\sin 2x} \right| + \left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| + \left| {\cos x} \right| + 2$
27.Tìm tham số để phương trình sau có nghiệm : $m.\cot 2x = \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}x + {{\sin }^6}x}}$
 
Sửa lần cuối:
Loading...
Loading...