Xét tính đơn điệu của hàm số là dạng toán luôn xuất hiên trong các đề thi toán tốt nghiệp THPT. Với dạng tìm đơn điệu này làm theo hình thức tự luận đã khó, làm bài trắc nghiệm còn khó hơn. Để hs có thể hiểu rõ, hãy đọc kĩ bài viết sau
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \( y = {{x + 2} \over {x - 1}} \)
Ta có \(\ y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ∞;1)∪ (1;+∞)
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \( y = {{ - {x^2} + 2x - 1} \over {x + 2}} \)
Ta có: \(y'=\frac{-{{x}^{2}}-4x+5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},\forall \ne -2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-5 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng (−5;−2) và (−2;1), nghịch biến trên các khoảng (−∞;−5) và (1;+∞).
Đối với hàm \(y=\frac{ax+b}{cx+d},\,\left( ac\ne 0 \right)\) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
* Ta có: \(y'=-3{{x}^{2}}-6x+24\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-6x+24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-4 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\)
+ Trên khoảng(−4;2): y ' > 0 ⇒ y đồng biến trên khoảng (−4;2),
+ Trên mỗi khoảng (−∞;−4), (2;+∞) :y ' < 0 ⇒ y nghịch biến trên các khoảng(−∞;−4), (2;+∞) .
Ví dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số sau: \(y={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+8x+1\)
Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-12x+8=4{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng (−2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;−2).
Nhận xét:
Ví dụ 5: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\)
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0)và đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Ví dụ 6: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}\)
* Ta có: \(y'=\frac{3\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}{2\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}},\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;3 \right)\)
Hàm số không có đạo hàm tại các điểmx = 0, x = 3 .
Suy ra, trên mỗi khoảng (−∞;0) và (0;3): y ' = 0 ⇔ x = 2
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;3).
Ví dụ 7: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -1;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) và \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right)\)
Ví dụ 8: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}\)
Ví dụ 9: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \(y=\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|\)
* Hàm số đã cho xác định trên R
* Ta có \(y'=\left\{ \begin{align} & 2x-2\,\,khix\le -1\vee x\ge 3 \\ & --2x+2\,\,khi-1<x<3 \\ \end{align} \right.\)
Hàm số không có đạo hàm tại x = -1 và x = 3.
+ Trên khoảng (—1; 3) : y' = 0 x = 1;
+ Trên khoảng (—X;—1): y ' < 0;
+ Trên khoảng (3; +X): y ' > 0.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(-1;1) và (3; +X) , nghịch biến trên mỗi khoảng (-X; -1) và (1; 3)
Ví dụ 10: Xét chiều biến thiên của các hàm số sauy = 2sin(x) + cos(2x) trên đoạn [0; π]
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6), nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2) và (5π/6; π)
Ví dụ 11: Chứng minh rằng hàm số y = 2sin(x) + cos(x) đồng biến trên đoạn [0; π/3] và nghịch biến trên đoạn [π/3; π]
Ví dụ 12. Chứng minh rằng: f(x) = cos(2x) – 2x + 3 nghịch biến trên R.
Ví dụ 13. Chứng minh rằng: $f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x$ đồng biến trên R.
Bài tập tự luyện
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Xét chiều biến thiên của hàm số y = f (x )ta thực hiện các bước sau:- Tìm tập xác định D của hàm số .
- Tính đạo hàm y' = f'(x ) .
- Tìm các giá trị của x thuộc D để f'(x ) = 0 hoặc f'(x ) không xác định( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ).
- Xét dấu y ' = f'(x ) trên từng khoảng x thuộc D.
- Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \( y = {{x + 2} \over {x - 1}} \)
giải
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( - ∞;1)∪ (1;+∞)Ta có \(\ y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - ∞;1)∪ (1;+∞)
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: \( y = {{ - {x^2} + 2x - 1} \over {x + 2}} \)
Giải
Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( - ∞;- 2)∪ (- 2;+∞)Ta có: \(y'=\frac{-{{x}^{2}}-4x+5}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}},\forall \ne -2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-5 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng (−5;−2) và (−2;1), nghịch biến trên các khoảng (−∞;−5) và (1;+∞).
Đối với hàm \(y=\frac{ax+b}{cx+d},\,\left( ac\ne 0 \right)\) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
- Đối với hàm số \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx+c}{a'x+b'}\) luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu.
- Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên ℝ.
Giải
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .* Ta có: \(y'=-3{{x}^{2}}-6x+24\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-6x+24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-4 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.\)
+ Trên khoảng(−4;2): y ' > 0 ⇒ y đồng biến trên khoảng (−4;2),
+ Trên mỗi khoảng (−∞;−4), (2;+∞) :y ' < 0 ⇒ y nghịch biến trên các khoảng(−∞;−4), (2;+∞) .
Ví dụ 4: Xét chiều biến thiên của hàm số sau: \(y={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+8x+1\)
Giải
Hàm số đã cho xác định trên ℝ .Ta có: \(y'=4{{x}^{3}}-12x+8=4{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 4{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\)
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng (−2;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;−2).
Nhận xét:
- Ta thấy tại x = 1 thì y = 0 , nhưng qua đó y ' không đổi dấu.
- Đối với hàm bậc bốn \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn không thể đơn điệu trên ℝ.
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng (−∞;0] ∪ [2;+∞) .
- Ta có \(y'=\frac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}},\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\)
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0)và đồng biến trên khoảng (2;+∞)
Giải
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng (−∞;3].* Ta có: \(y'=\frac{3\left( 2x-{{x}^{2}} \right)}{2\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}},\forall x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 0;3 \right)\)
Hàm số không có đạo hàm tại các điểmx = 0, x = 3 .
Suy ra, trên mỗi khoảng (−∞;0) và (0;3): y ' = 0 ⇔ x = 2
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;3).
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên đoạn [ - 1; 1].
- Ta có: \(y'=\frac{1-2{{x}^{2}}}{2\sqrt{1-{{x}^{2}}}},\forall x\in \left( -1;1 \right);\)
- Hàm số không có đạo hàm tại các điểm x = −1,x = 1.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -1;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\) và \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right)\)
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên ℝ
- Ta có: \( {y}'=1-\frac{2x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}=2x+3\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -\frac{3}{2} \\ & {{x}^{2}}+3x+3={{\left( 2x+3 \right)}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=-1 \)
- Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) , nghịch biến trên khoảng (−1;+∞) .
Giải
* Hàm số đã cho xác định trên R
* Ta có \(y'=\left\{ \begin{align} & 2x-2\,\,khix\le -1\vee x\ge 3 \\ & --2x+2\,\,khi-1<x<3 \\ \end{align} \right.\)
Hàm số không có đạo hàm tại x = -1 và x = 3.
+ Trên khoảng (—1; 3) : y' = 0 x = 1;
+ Trên khoảng (—X;—1): y ' < 0;
+ Trên khoảng (3; +X): y ' > 0.
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng(-1;1) và (3; +X) , nghịch biến trên mỗi khoảng (-X; -1) và (1; 3)
Giải
- Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π]
- Ta có y’ = 2cos(x)[1 – 2sin(x)],x ∈ [0; π]
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: hàm số đồng biến trên các khoảng (0; π/6) và (π/2; 5π/6), nghịch biến trên các khoảng (π/6; π/2) và (5π/6; π)
Hàm số đã cho xác định trên đoạn [0; π]
Ta có: y’ = sinx(2cosx - 1); x ∈ [0; π]
Vì x ∈ [0; π] => sinx > 0 nên đoạn (0; π): y’ = 0 <=>cosx = 0,5 <=>x = π/3
Trên khoảng (0; π/3): y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn [0; π/3]
Trên khoảng (π/3; π): y’ < 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn [π/3; π]
Ta có: y’ = sinx(2cosx - 1); x ∈ [0; π]
Vì x ∈ [0; π] => sinx > 0 nên đoạn (0; π): y’ = 0 <=>cosx = 0,5 <=>x = π/3
Trên khoảng (0; π/3): y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn [0; π/3]
Trên khoảng (π/3; π): y’ < 0 nên hàm số đồng biến trên đoạn [π/3; π]
Ví dụ 12. Chứng minh rằng: f(x) = cos(2x) – 2x + 3 nghịch biến trên R.
Ta có: $f'(x) = - 2(\sin 2x + 1) \le 0,\,\,\forall x \in R$ và $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi $x \in \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ; - \frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
Ví dụ 13. Chứng minh rằng: $f\left( x \right) = x + {\cos ^2}x$ đồng biến trên R.
Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in Z$
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm đồng biến trên R.
NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right]$ và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi $x \in \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right),\,\,k \in Z$.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn $\left[ {\frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{\pi }{4} + \left( {k + 1} \right)\pi } \right],\,\,k \in Z$.
Vậy hàm đồng biến trên R.
Bài tập tự luyện
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{3x}}{{{x^2} + 1}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{x + 1}}{{3\sqrt x }}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{2{x^2} - 2x - 4}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{2{x^2} + 2x + 1}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = {x^3} + 3{x^2} + 2$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = - \frac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = {x^4} + 2{x^2} - 3$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = - \frac{4}{5}{x^5} + 2{x^3} + 8$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{1}{5}{x^5} - \frac{3}{4}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 2x$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = 9{x^7} - 7{x^6} + \frac{7}{5}{x^5} + 12$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \sqrt {2x - {x^2}} $
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = x + 1 - \sqrt {{x^2} - 4x + 3} $
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \sqrt[3]{{3x - 5}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \sqrt[3]{{{x^2} - 2x}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \left( {4 - 3x} \right)\sqrt {6{x^2} + 1} $
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{\sqrt {2{x^2} - x + 3} }}{{3x + 2}}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - x + 3} }}$
- Xét sự biến thiên của hàm số sau y = sin3x trên khoảng (0; π/3)
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{{\cot \left( x \right)}}{x}$ trên khoảng (0; π)
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = \frac{1}{8}.\sin \left( {4x} \right) - \frac{1}{4}\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)\cos \left( {2x} \right)$ trên khoảng (0; π/2)
- Xét sự biến thiên của hàm số sau $y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + \sqrt 3 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ trên đoạn [0; π/2]
- Chứng minh rằng hàm số f (x ) = (x − sinx )(π − x − sinx ) đồng biến trên đoạn [0; π/2]
- Chứng minh rằng hàm số y = cos(2x) − 2x + 3 nghịch biến trên ℝ .
- Chứng minh rằng hàm số $y = \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)$ đồng biến trên các khoảng (0;π ) và (π ;2π ).
- Chứng minh rằng hàm số y = cos(3x) + 1,5x đồng biến trên khoảng (0; π/18) và nghịch biến trên khoảng (π/18; π/2) .
Sửa lần cuối: