Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\)

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai số phức thỏa mãn phương trình \(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right|,\) biết \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2}} \right|.\)
A. \(P = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
B. \(P = \sqrt 2 .\)
C. \(P = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
D. \(P = \sqrt 3 .\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#2
Học lớp hướng dẫn giải

Đặt \(z = x + yi(x,y \in \mathbb{R}),\) ta có \(2z - i = 2x + 2(y - 1)i\) và \(2 + iz = 2 - y + xi.\)
Khi đó:
\(\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + {{(2y - 1)}^2}} = \sqrt {{{(y - 2)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z{}_1} \right| = 1\\\left| {z{}_2} \right| = 1\end{array} \right.\)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2}\) là đường tròn tâm O, \(R = 1.\)
Gọi\({M_1}({z_1}),{M_2}({z_2}) \Rightarrow O{M_1} = O{M_2} = 1.\)
Ta có \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right| = 1 \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) đều.
Mà \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM\) với M là điểm thỏa mãn \(O{M_1}M{M_2}\) là hình thoi cạnh 1 \( \Rightarrow OM = \sqrt 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 .\)