Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SN và CD

Khối đa diện |Xác định Góc Và Khoảng Cách Trong Khối đa Diện|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=2a. Gọi N là trung điểm của AD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SN và CD.
A. \(d = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)
B. \(d =a\sqrt5\)
C. \(d =a\sqrt2\)
D. \(d = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Gọi M là trung điểm BC
Vì CD//MN nên CD//(SMN)
Suy ra: d(CD;SN)=d(CD,(SMN))=d(D;(SMN))=d(A;(SMN))
(Vì N là trung điểm của AD)
Vẽ \(AH \bot SN\) tại H.
Ta có:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} MN \bot SA\\ MN \bot AN \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot (SAN)\\ \Rightarrow MN \bot AH \Rightarrow AH \bot (SMN)\\ \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow d\left( {SN,CD} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \end{array}\)