Tổ hợp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp.
tổ hợp.png

I. PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa

Giả sử tập A có n phần tử $\left( {n \ge 1} \right).$ Mỗi tập con gồm $k{\rm{ }}\left( {1 \le k \le n} \right)$ phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

2. Định lí

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là ${C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}}$

3. Một số quy ước

Công thức ${C_n^0 = 1,{\rm{ }}C_n^n = 1}$
với qui ước này ta có $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}$ đúng với số nguyên dương k thỏa $0 \le k \le n.$

4. Tính chất

Có 2 tính chất quan trọng
  • Tính chất 1. $C_n^k = C_n^{n - k}{\rm{ }}\left( {0 \le k \le n} \right).$
  • Tính chất 2. $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k{\rm{ = }}C_n^k{\rm{ }}\left( {1 \le k \le n} \right).$

II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

Câu 1. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
A. 9880.
B.59280.
C.2300.
D.455.
Nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp chậm 3 của 40 (học sinh).
Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là $C_{40}^3 = \frac{{40!}}{{37!.3!}} = 9880.$ Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 2. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?
A. 25.
B.252.
C.50.
D.455.
Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có là $C_{10}^5 = \frac{{10!}}{{5!.5!}} = 252.$ Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 3. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người trong ban thường vụ. Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu các chọn?
A. 25.
B.42.
C.50.
D.35.
Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 người trong ban thường vụ nên mỗi cách chọn ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
Như vậy, ta có $C_7^5 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = 35$ cách chọn ban thường vụ. Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 4. Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
A. 1635.
B.1536.
C.1356.
D.1365.
Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử.
Như vậy, ta có $C_{15}^4 = 1365$ kết quả. Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 5. Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ?
A. 665280.
B.924.
C.7.
D.942.
Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6 của 12 (viên bi). Vậy ta có $C_{12}^6 = 924$ cách lấy. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 6. Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?
A. 104.
B.450.
C.1326.
D.2652.
Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.
Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là $C_{52}^2 = 1326.$ Chọn C.
Nguồn: 7scv
Câu 7. Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
A. 100.
B.105.
C.210.
D.200.
Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu.
Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).
Như vậy, ta có $C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{13!.2!}} = 105$ trận đấu. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 8. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?
A. 10.
B.30.
C.6.
D.60.
Cắm 3 bông hoa giống nhau, mỗi bông vào 1 lọ nên ta sẽ lấy 3 lọ bất kỳ trong 5 lọ khác nhau để cắm bông. Vậy số cách cắm bông chính là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử (lọ hoa). Như vậy, ta có $C_5^3 = \frac{{5!}}{{2!.3!}} = 10$ cách. Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 9. Trong mặt phẳng cho tập hợp $P$ gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc $P\,\,?$
A. $\frac{{2018!}}{{2016!}}.$
B.$\frac{{2016!}}{{2!}}.$
C.$\frac{{2018!}}{{2!}}.$
D.$\frac{{2018!}}{{2016!.2!}}.$
Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng. Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm).
Như vậy, ta có $C_{2018}^2 = \frac{{2018!}}{{2016!.2!}}$ đoạn thẳng. Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 10. Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên?
A. 90.
B.20.
C.45.
D.Một số khác.
Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn được một đoạn thẳng.
Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (điểm).
Như vậy, ta có $C_{10}^2 = \frac{{10!}}{{8!.2!}} = 45$ đường thẳng. Chọn C.
Nguồn: 7scv
Câu 11. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
A. 15.
B.20.
C.60.
D.Một số khác.
Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.
Lấy 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm phân biệt thì số tam giác cần tìm chính là một tổ hợp chập 3 của 6 phần từ (điểm). Như vậy, ta có $C_6^3 = 20$ tam giác. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 12. Cho 10 điểm phân biệt ${A_1},{A_2},...,{A_{10}}$ trong đó có 4 điểm ${A_1},{A_2},{A_3},{A_4}$ thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?
A. 96 tam giác.
B.60 tam giác.
C.116 tam giác.
D.80 tam giác.
Số cách lấy 3 điểm từ 10 điểm phân biệt là $C_{10}^3 = 120.$
Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm ${A_1},{A_2},{A_3},{A_4}$là $C_4^3 = 4.$
Khi lấy 3 điểm bất kì trong 4 điểm ${A_1},{A_2},{A_3},{A_4}$ thì sẽ không tạo thành tam giác.
Như vậy, số tam giác tạo thành $120 - 4 = 116$ tam giác. Chọn C.
Nguồn: 7scv
Câu 13. Cho mặt phẳng chứa đa giác đều H có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
A. 1440.
B.360.
C.1120.
D.816.
Lấy một cạnh bất kỳ của H làm cạnh của một tam giác có 20 cách.
Lấy một điểm bất kỳ trong $18$ đỉnh còn lại của H (trừ đi hai đỉnh của một cạnh) có $18$ cách. Vậy số tam giác cần tìm là 20.18 = 360. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 14. Cho hai đường thẳng song song ${d_1}$ và ${d_2}.$ Trên ${d_1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên ${d_2}$ lầy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này.
A. 5690.
B.5960.
C.5950.
D.5590.
Một tam giác được tạo bởi ba điểm phân biệt nên ta xét:
TH1. Chọn 1 điểm thuộc ${d_1}$ và 2 điểm thuộc d2 - > có $C_{17}^1.C_{20}^2$ tam giác.
TH2. Chọn 2 điểm thuộc ${d_1}$ và 1 điểm thuộc d2 -> có $C_{17}^2.C_{20}^1$ tam giác.
Như vậy, ta có $C_{17}^1.C_{20}^2 + C_{17}^2.C_{20}^1 = 5950$ tam giác cần tìm. Chọn C.
Nguồn: 7scv
Câu 15. Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là:
A. 10.
B.20.
C.18.
D.22.
Hai đường tròn cho tối đa hai giao điểm. Và 5 đường tròn phân biệt cho số giao điểm tối đa khi 2 đường tròn bất kỳ trong 5 đường tròn đôi một cắt nhau.
Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là $2.C_5^2 = 20.$ Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 16. Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là:
A. 50.
B.100.
C.120.
D.45.
Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có ba đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường thẳng nào song song.
Và cứ hai đường thẳng ta có một giao điểm suy ra số giao điểm chính là số cặp đường thẳng bất kỳ được lấy từ 10 đường thẳng phân biệt. Như vậy, ta có $C_{10}^2 = 45$ giao điểm. Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 17. Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là
A. 90.
B.45.
C.35.
D.Một số khác.
Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.
Vậy số đường chéo cần tìm là $C_{10}^2 - 10 = \frac{{10!}}{{8!.2!}} - 10 = 35.$ Chọn C.
Nguồn: 7scv
Câu 18. Cho đa giác đều n đỉnh, $n \in \mathbb{N}$ và $n \ge 3.$ Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.
A. n = 15.
B.n = 27.
C.n = 8.
D.n = 18.
Đa giác lồi n đỉnh thì có n cạnh. Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong n đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.
Vậy để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh, với
Tất cả đoạn thẳng dựng được là bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong n điểm, tức là số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của n phần tử. Như vậy, tổng số đoạn thẳng là $C_n^2.$
Số cạnh của đa giác lồi là n.
Suy ra số đường chéo của đa giác đều n đỉnh là $C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}.$
Theo bài ra, ta có $\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18.$ Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 19. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng phân biệt song song với nhau và năm đường thẳng phân biệt vuông góc với bốn đường thẳng song song đó.
A. 60.
B.48.
C.20.
D.36.
Cứ 2 đường thẳng song song với 2 đường thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật.
Vậy lấy 2 đường thẳng trong 4 đường thẳng song song và lấy 2 đường thẳng trong 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường đó ta được số hình chữ nhật là $C_4^2.C_5^2 = 60.$
Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 20. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ?
A. 110790.
B.119700.
C.117900.
D.110970.
Số cách chọn 3 học sinh nữ là: $C_{20}^3 = 1140$ cách.
Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là: $C_{15}^2 = 105$ cách.
Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $1140 \times 105 = 119700.$ Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác $0$ mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?
A. $4!C_4^1C_5^1.$
B.$3!C_3^2C_5^2.$
C.$4!C_4^2C_5^2.$
D.$3!C_4^2C_5^2.$
Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp $\left\{ {2;4;6;8} \right\}$ là: $C_4^2$ cách.
Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp $\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}$ là: $C_5^2$ cách.
Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: $4!$ cách.
Vậy có $4!\; \times C_4^2 \times C_5^2$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
Nguồn: 7scv
Câu 22. Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà 4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.
A. 300.
B.310.
C.320.
D.330.
Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trường hợp:
chỉnh hợp 22.PNG

Vậy có tất cả $C_6^1 \times C_5^3 + C_6^2 \times C_5^2 + C_6^3 \times C_5^1 = 310$ cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B.
Cách 2. Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là: $C_{11}^5$ cách.
Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là: $C_6^4$ cách.
Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là: $C_5^4$ cách.
Vậy có $C_{11}^5 - \left( {C_6^4 + C_5^4} \right) = 310$ cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu.
Nguồn: 7scv
Câu 23. Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có cả nam và nữ?
A. 455.
B.7.
C.456.
D.462.
Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là: $C_{11}^5$ cách.
Số cách chọn 5 học sinh nam là: $C_6^5$ cách.
Số cách chọn 5 học sinh nữ là: $C_5^5$ cách.
Vậy có $C_{11}^5 - C_6^5 - C_5^5 = 455$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Cách 2. Do trong 5 học sinh được chọn có cả nam cả nữ nên ta có các trường hợp sau:
chỉnh hợp 23.PNG

Vậy có $C_6^1 \times C_5^4 + C_6^2 \times C_5^3 + C_6^3 \times C_5^2 + C_6^4 \times C_5^1 = 455$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nguồn: 7scv
Câu 24. Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và $16$ học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại.
A. $C_{19}^5.$
B.$C_{35}^5 - C_{19}^5.$
C.$C_{35}^5 - C_{16}^5.$
D.$C_{16}^5.$
Tổng số học sinh lớp 10A là 35.
Có $C_{35}^5$ cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp 10A.
Có $C_{19}^5$ cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp 10A.
Do đó có $C_{35}^5 - C_{19}^5$ cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một học sinh nữ. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 25. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?
A. 2625.
B.455.
C.2300.
D.3080.
Do trong 3 học sinh được chọn có nhiều nhất 1 học sinh nam nên ta có các trường hợp sau:
chỉnh hợp 25.PNG

Vậy có $C_{25}^1 \times C_{15}^2 + C_{25}^0 \times C_{15}^3 = 3080$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Cách 2. Số cách chọn 3 học sinh bất kì trong lớp là: $C_{40}^3$ cách.
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ là: $C_{25}^2 \times C_{15}^1$ cách.
Số cách chọn 3 học sinh nam là: $C_{25}^3 \times C_{15}^0$ cách.
Vậy có $C_{40}^3 - \left( {C_{25}^2 \times C_{15}^1 + C_{25}^3 \times C_{15}^0} \right) = 3080$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nguồn: 7scv
Câu 26. Từ 20 người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư kí và 3 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu ?
A. 4651200.
B.4651300.
C.4651400.
D.4651500.
Số cách chọn 1 người trong 20 người làm trưởng đoàn là: $C_{20}^1$ cách.
Số cách chọn 1 người trong 19 người còn lại làm phó đoàn là: $C_{19}^1$ cách.
Số cách chọn 1 người trong $18$ người còn lại làm thư kí là: $C_{18}^1$ cách.
Số cách chọn 3 người trong $17$ người còn lại làm ủy viên là: $C_{17}^3$ cách.
Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là $C_{20}^1 \times C_{19}^1 \times C_{18}^1 \times C_{17}^3 = 4651200$. Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 27. Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học sinh. Số các chia nhóm là:
A. 2880.
B.2520.
C.2515.
D.2510.
Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: $C_{10}^5$ cách.
Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: $C_5^3$ cách.
Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: $C_2^2$ cách.
Vậy có $C_{10}^5 \times C_5^3 \times C_2^2 = 2520$ cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 28. Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có $21$ đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?
A. $3C_{36}^{12}.$
B.$C_{36}^{12}.$
C.$3C_{21}^7C_{15}^5.$
D.$C_{21}^7C_{15}^5C_{14}^7C_{10}^5.$
Số cách chọn nhóm thứ nhất là: $C_{21}^7 \times C_{15}^5$ cách.
Số cách chọn nhóm thứ hai là: $C_{14}^7 \times C_{10}^5$ cách.
Số cách chọn nhóm thứ ba là: $C_7^7 \times C_5^5$ cách.
Vậy có $\left( {C_{21}^7 \times C_{15}^5} \right) \times \left( {C_{14}^7 \times C_{10}^5} \right) \times \left( {C_7^7 \times C_5^5} \right) = C_{21}^7C_{15}^5C_{14}^7C_{10}^5$ cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 29. Trong một giỏ hoa có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa coi như đôi một khác nhau). Người ta muốn làm một bó hoa gồm 7 bông được lấy từ giỏ hoa đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa biết bó hoa có đúng 1 bông hồng đỏ?
A. 56.
B.112.
C.224.
D.448.
Số cách chọn 1 bông hồng đỏ từ giỏ hoa là: $C_4^1$.
Bó hoa gồm 7 bông hồng mà có đúng 1 bông hồng đỏ nên tổng số bông hồng vàng và bông hồng trắng là 6. Ta có các trường hợp sau:
chỉnh hợp 29.PNG

Vậy có $C_4^1\left( {C_5^5 \times C_3^1 + C_5^4 \times C_3^2 + C_5^3 \times C_3^3} \right) = 112$ cách chọn bó hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 30. Một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi sao cho có đủ cả ba màu. Số cách chọn là:
A. 2163.
B.3843.
C.3003.
D.840.
Số cách chọn 5 viên bi bất kì trong hộp là: $C_{15}^5$ cách.
Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu vàng là: $C_{11}^5$ cách.
Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu đỏ là: $C_{10}^5$ cách.
Số cách chọn 5 viên bi mà trong đó không có viên bi nào màu xanh là: $C_9^5$ cách.
Vậy có $C_{15}^5 - \left( {C_{11}^5 + C_{10}^5 + C_9^5} \right) = 2163$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.
Nguồn: 7scv
Câu 31. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12
C.Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
A. 126.
B.102.
C.98.
D.100.
Do trong 5 học sinh có đủ học sinh ở các lớp 12A, 12B, 12C nên ta có các trường hợp sau:
chỉnh hợp 31.PNG

Vậy có $C_4^2 \times C_3^1 \times C_2^2 + C_4^1 \times C_3^2 \times C_2^2 + C_4^2 \times C_3^2 \times C_2^1 + C_4^3 \times C_3^1 \times C_2^1 + C_4^1 \times C_3^3 \times C_2^1 = 98$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C
Cách 2. Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là 9 học sinh.
Số cách chọn 5 học sinh bất kì trong 9 học sinh là: $C_9^5$ cách.
Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là: $C_5^5$ cách.
Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là: $C_6^5$ cách.
Số cách chọn 5 học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là: $C_7^5$ cách.
Vậy có $C_9^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5 + C_7^5} \right) = 98$ cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nguồn: 7scv
Câu 32. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
A. 85.
B.58.
C.508.
D.805.
Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là: $C_{12}^6$ cách.
Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 là: $C_7^6$ cách.
Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 là: $C_8^6$ cách.
Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 là: $C_9^6$ cách.
Vậy có $C_{12}^6 - \left( {C_7^6 + C_8^6 + C_9^6} \right) = 805$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.
Nguồn: 7scv
Câu 33. Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
A. 50.
B.500.
C.502.
D.501.
Từ giả thiết suy ra có 2 khả năng xảy ra như sau:
TH1: Có đúng 1 học sinh khối 10.
Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là: $C_5^1$ cách.
Số cách chọn 9 học sinh còn lại khối 11 và 12 là: $C_{10}^9$ cách.
TH2: Có đúng 2 học sinh khối 10.
Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là: $C_5^2$ cách.
Số cách chọn 8 học sinh còn lại từ khối 11 và 12 là: $C_{10}^8$ cách.
Vậy có $C_5^1 \times C_{10}^9 + C_5^2 \times C_{10}^8 = 500$ cách lập đội thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 34. Đội văn nghệ của một nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12
C.Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A?
A. 80.
B.78.
C.76.
D.98.
Từ giả thiết suy ra có 3 khả năng xảy ra như sau:
chỉnh hợp 34.PNG

Vậy có $C_4^2 \times C_3^2 \times C_2^1 + C_4^2 \times C_3^1 \times C_2^2 + C_4^3 \times C_3^1 \times C_2^1 = 78$ cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 35. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?
A. 280.
B.400.
C.40.
D.1160.
Từ giả thiết suy ra có 2 trường hợp xảy ra như sau:
chỉnh hợp 35.PNG

Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 36. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.
A. 654.
B.275.
C.462.
D.357.
Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trường hợp xảy ra:
TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên.
Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số $9$ viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là: $C_9^4$ cách.
Số cách lấy 4 viên bi xanh là: $C_4^4$ cách.
$ \Rightarrow $ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: $C_9^4 - C_4^4 = 125$ cách.
TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên. Số cách lấy 1 viên bi vàng: $C_3^1$ cách.
Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là: $C_5^2 \times C_4^1$ cách.
Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là: $C_5^3 \times C_4^0$ cách.
$ \Rightarrow $ Số cách lấy thỏa mãn trong trường hợp này là: $C_3^1 \times \left( {C_5^2 \times C_4^1 + C_5^3 \times C_4^0} \right) = 150$ cách.
Vậy có 125 + 150 = 275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 37. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Từ đó người ta muốn chọn ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế?
A. 1000.
B.1200.
C.2000.
D.2200.
Số cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư khác nhau là: $C_5^3$ cách.
Số cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư khác nhau là: $C_6^3$ cách.
Số cách dán tem thư thứ nhất vào 3 bì thư là: $C_3^1$ cách.
Số cách dán tem thư thứ hai vào 2 bì thư còn lại là: $C_2^1$ cách.
Số cách dán tem thư thứ hai vào bì thư cuối cùng là: $C_1^1$ cách.
Vậy có $\left( {C_5^3 \times C_6^3} \right) \times \left( {C_3^1 \times C_2^1 \times C_1^1} \right) = 1200$ cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Nguồn: 7scv
Câu 38. Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu đề như trên ?
A. 69.
B.88.
C.96.
D.100.
Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi bài tập nên ta xét:
TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. Lấy 1 câu lý thuyết trong 4 câu lý thuyết có $C_4^1$ cách, tương ứng lấy 2 câu bài tập trong 6 câu bài tập có $C_6^2$ cách. Vậy có $C_4^1.C_6^2$ đề.
TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. Lập luận tương tự TH1, ta sẽ tạo được $C_4^2.C_6^1$ đề.
Vậy có thể tạo được $C_4^1 \times C_6^2 + C_4^2 \times C_6^1 = 96$ đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.
 
Sửa lần cuối: