Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(2x - 2y - z + 9 = 0\) và mặt cầu \((S):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 100\). Tọa độ điểm M nằm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đạt giá trị nhỏ nhất là:
A. \(M\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
B. \(M\left( {\frac{{29}}{3}; - \frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\).
C. \(M\left( { - \frac{{29}}{3};\frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\).
D. \(M\left( {\frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3}; - \frac{{13}}{3}} \right)\).
A. \(M\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\).
B. \(M\left( {\frac{{29}}{3}; - \frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\).
C. \(M\left( { - \frac{{29}}{3};\frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\).
D. \(M\left( {\frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3}; - \frac{{13}}{3}} \right)\).
Mặt cầu (S) có tâm \(I(3; - 2;1)\).
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) : \(d(I;(P)) = 6 < R\) nên (P) cắt (S).
Khoảng cách từ M thuộc (S) đến (P) lớn nhất \( \Rightarrow \) \(M \in (d)\) đi qua I và vuông góc với (P)
Phương trình \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Ta có : \(M \in (d) \Rightarrow M(3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t)\)
Mà : \(M \in (S)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{29}}{3}; - \frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\\t = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\end{array} \right.\)
Thử lại ta thấy : \(d({M_1},(P)) > d({M_2},(P))\) nên \(M\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\) thỏa yêu cầu bài toán
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) : \(d(I;(P)) = 6 < R\) nên (P) cắt (S).
Khoảng cách từ M thuộc (S) đến (P) lớn nhất \( \Rightarrow \) \(M \in (d)\) đi qua I và vuông góc với (P)
Phương trình \((d):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 2 - 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Ta có : \(M \in (d) \Rightarrow M(3 + 2t; - 2 - 2t;1 - t)\)
Mà : \(M \in (S)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{29}}{3}; - \frac{{26}}{3}; - \frac{7}{3}} \right)\\t = - \frac{{10}}{3} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\end{array} \right.\)
Thử lại ta thấy : \(d({M_1},(P)) > d({M_2},(P))\) nên \(M\left( { - \frac{{11}}{3};\frac{{14}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\) thỏa yêu cầu bài toán