Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao H của khối trụ có thể tích lớn nhất là

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao H của khối trụ có thể tích lớn nhất là:
A. \(R = \sqrt {\frac{S}{{2\pi }}} \,;\,h = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{S}{{2\pi }}} \).
B. \(R = \sqrt {\frac{S}{{4\pi }}} \,;\,h = \sqrt {\frac{S}{{4\pi }}} \).
C. \(R = \sqrt {\frac{{2S}}{{3\pi }}} \,;\,h = 4\sqrt {\frac{{2S}}{{3\pi }}} \).
D. \(R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \,;\,h = 2\sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \).
:
Gọi thể tích khối trụ là \(V\), diện tích toàn phần của hình trụ là S.
Ta có: \(S = {S_{2day}} + {S_{xq}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh\). Từ đó suy ra:
\(\frac{S}{{2\pi }} = {R^2} + Rh \Leftrightarrow \frac{S}{{2\pi }} = {R^2} + \frac{V}{{\pi R}} = {R^2} + \frac{V}{{2\pi R}} + \frac{V}{{2\pi R}}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 3\sqrt[3]{{\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}\) hay \(27\frac{{{V^2}}}{{4{\pi ^2}}} \le {\left( {\frac{S}{{2\pi }}} \right)^3} \Leftrightarrow V \le \sqrt {\frac{{{S^3}}}{{54\pi }}} \).
Vậy \({V_{\max }} = \sqrt {\frac{{{S^3}}}{{54\pi }}} \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \) \({R^2} = \frac{V}{{2\pi R}} = \frac{{\pi {R^2}h}}{{2\pi R}} = \frac{{Rh}}{2}\) hay \(h = 2R\).
Khi đó \(S = 6\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \) và \(h = 2R = 2\sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \).