Vectơ trong không gian

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán

* Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
* Lưu ý:
  • Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $
  • Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $
  • Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D', ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} $
  • Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có: $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0$; $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} $
  • Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0;\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} $
  • Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0;\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {OG} $
  • Điều kiện hai vectơ cùng phương: $\vec a\,\,va\,\,\vec b\,\,cung\,phuong\,(\vec a \ne \vec 0) \Leftrightarrow \,\exists !k \in R:\vec b = k\vec a$
  • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. Ta có: $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {OM} = \frac{{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}$
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
  • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
  • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$, trong đó $\vec a\,\,va{\o}\,\,\vec b$ không cùng phương. Khi đó: $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng <=> ∃! m, n ∈ R: $\vec c = m\vec a + n\vec b$
  • Cho ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ không đồng phẳng, $\vec x$ tuỳ ý.
Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: $\vec x = m\vec a + n\vec b + p\vec c$

3. Tích vô hướng của hai vectơ
  • Góc giữa hai vectơ trong không gian: $\overrightarrow {AB} = \vec u,\overrightarrow {AC} = \vec v \Rightarrow (\vec u,\vec v) = \widehat {BAC}\,\,({0^0} \le \widehat {BAC} \le {180^0})$
  • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho $\vec u,\vec v \ne \vec 0$. Khi đó: $\vec u.\vec v = \left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|.\cos (\vec u,\vec v)$
+ Với $\vec u = \vec 0\,\,hoa\"e c\,\,\vec v = \vec 0$. Qui ước: $\vec u.\vec v = 0$
+ $\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u.\vec v = 0$

4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
  • Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
  • Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: $\vec c = m\vec a + n\vec b$ thì $\vec a,\vec b,\vec c$đồng phẳng
+ Để phân tích một vectơ $\vec x$ theo ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: $\vec x = m\vec a + n\vec b + p\vec c$
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở ${\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow a }^2}} $. Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:
  • Chọn ba vec tơ không đồng phẳng $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
  • Phân tích $\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c $
  • Khi đó $MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {MN} }^2}} = \sqrt {{{\left( {m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c } \right)}^2}} $
$ = \sqrt {{m^2}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {n^2}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + {p^2}{{\left| {\overrightarrow c } \right|}^2} + 2mn\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 2np\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) + 2mp\cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow a } \right)} $
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
  • A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} = m\overrightarrow {DB} + n\overrightarrow {DC} $
  • A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có $\overrightarrow {OD} = x\overrightarrow {OA} + y\overrightarrow {OB} + z\overrightarrow {OC} $ trong đó $x + y + z = 1$.

B – BÀI TẬP
Câu
1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C', M là trung điểm của $BB'$. Đặt $\overrightarrow {CA} = \vec a$, $\overrightarrow {CB} = \vec b$, $\overrightarrow {AA'} = \vec c$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AM} = \vec b + \vec c - \frac{1}{2}\vec a$.
B. $\overrightarrow {AM} = \vec a - \vec c + \frac{1}{2}\vec b$.
C. $\overrightarrow {AM} = \vec a + \vec c - \frac{1}{2}\vec b$.
D. $\overrightarrow {AM} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.
Chọn D
vecto trong không gian 01.png

Ta phân tích như sau:
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'} $
$ = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.
Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là
A. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0$.
B. $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $.
C. $\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} $.
D. $\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} $.
Chọn B
vecto trong không gian 02.png

Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $.
Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D ta có:
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} $
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} $.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow {SA} = \vec a$; $\overrightarrow {SB} = \vec b$; $\overrightarrow {SC} = \vec c$; $\overrightarrow {SD} = \vec d$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\vec a + \vec c = \vec d + \vec b$.
B. $\vec a + \vec b = \vec c + \vec d$.
C. $\vec a + \vec d = \vec b + \vec c$.
D. $\vec a + \vec b + \vec c + \vec d = \vec 0$.
Chọn A
vecto trong không gian 03.png

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.$ (do tính chất của đường trung tuyến)
$ \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \Leftrightarrow \vec a + \vec c = \vec d + \vec b$.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b $, $\overrightarrow {AC} = \vec c$, $\overrightarrow {AD} = \vec d$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \vec b} \right)$.
B. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec d + \vec b - \vec c} \right)$.
C. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec b - \vec d} \right)$.
D. $\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d + \vec b} \right)$.
Chọn A
vecto trong không gian 04.png

Ta phân tích:
$\overrightarrow {MP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)$ (tính chất đường trung tuyến)
$ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AM} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - 2\overrightarrow {AM} } \right)$
$ = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\vec c + \vec d - \vec b} \right)$.
Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow {AC'} = \vec u$,$\overrightarrow {CA'} = \vec v$, $\overrightarrow {BD'} = \vec x$, $\overrightarrow {DB'} = \vec y$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
B. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{2}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
C. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
D. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
Chọn D
vecto trong không gian 05.png

Ta phân tích:
$\vec u + \vec v = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {CA'} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AA'} } \right) = 2\overrightarrow {AA'} $.
$\vec x + \vec y = \overrightarrow {BD'} + \overrightarrow {DB'} = \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} } \right) + \left( {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BB'} } \right) = 2\overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {AA'} $.
$ \Rightarrow \vec u + \vec v + \vec x + \vec y = 4\overrightarrow {AA'} = - 4\overrightarrow {A'A} = - 4.2\overrightarrow {OI} $.
$ \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}\left( {\vec u + \vec v + \vec x + \vec y} \right)$.
Câu 6: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi I và $K$ lần lượt là tâm của hình bình hành $ABB'A'$ và $BCC'B'$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\overrightarrow {IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {A'C'} $.
B. Bốn điểm I, $K$, $C$, $A$ đồng phẳng.
C. $\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = 2\overrightarrow {BC} $.
D. Ba vectơ $\overrightarrow {BD} $; $\overrightarrow {IK} $; $\overrightarrow {B'C'} $ không đồng phẳng.
Chọn D
vecto trong không gian 06.png

A đúng do tính chất đường trung bình trong $\Delta B'AC$ và tính chất của hình bình hành $ACC'A'$.
B đúng do $IK{\rm{ // }}AC$ nên bốn điểm I, $K$, $C$, $A$ đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
$\overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {IK} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} $
$ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BC} $.
D sai do giá của ba vectơ $\overrightarrow {BD} $; $\overrightarrow {IK} $; $\overrightarrow {B'C'} $ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0$”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. G là trung điểm của đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm AB và CD).
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của $AC$ và $BD$.
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của $AD$ và $BC$.
D. Chưa thể xác định được.
Chọn D
vecto trong không gian 07.png

Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} = \vec 0$$ \Rightarrow G$ là trung điểm đoạn IJ.
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec x = \overrightarrow {AB} $; $\vec y = \overrightarrow {AC} $; $\vec z = \overrightarrow {AD} $. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
B. $\overrightarrow {AG} = - \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
C. $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
D. $\overrightarrow {AG} = - \frac{2}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
Chọn A
Gọi M là trung điểm CD.
vecto trong không gian 08.png

Ta phân tích:
$\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right)$
$ = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left[ {\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\vec x + \vec y + \vec z} \right)$.
Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có tâm O. Đặt $\overrightarrow {AB} = \vec a$; $\overrightarrow {BC} = \vec b$. M là điểm xác định bởi $\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M là tâm hình bình hành ABB'A'.
B. M là tâm hình bình hành BCC'B'.
C. M là trung điểm BB'.
D. M là trung điểm CC'.
Chọn C
vecto trong không gian 09.png

Ta phân tích:
$\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\vec a - \vec b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {DB} $.
$ \Rightarrow M$ là trung điểm của $BB'$.
Câu 10: Cho ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ không đồng phẳng. Xét các vectơ$\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b ;\,\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b ;\,\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \,$. Chọn khẳng định đúng?
A. Hai vectơ $\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ cùng phương.
B. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y $ cùng phương.
C. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow z $ cùng phương.
D. Ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
Chọn B
+ Nhận thấy: $\overrightarrow y = - 2\overrightarrow x $ nên hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y $ cùng phương.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tạiO. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $.
B. Nếu ABCD là hình thang thì $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $
C. Nếu $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ thì ABCD là hình bình hành.
D. Nếu $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ thì ABCD là hình thang.
Chọn B
Câu 12: Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. Chọn khẳng định đúng?
A. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {B{D_1}} ,\overrightarrow {B{C_1}} $ đồng phẳng.
B. $\overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}{B_1}} $ đồng phẳng.
C. $\overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}C} $ đồng phẳng.
D. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{C_1}A} $ đồng phẳng.
Chọn C
vecto trong không gian 12.png

$ + \,M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,A{A_1},D{D_1},CD$.
Ta có $C{D_1}//(MNPQ);\,\,AD//\left( {MNPQ} \right);\,\,{A_1}C//(MNPQ)$$ \Rightarrow \overrightarrow {C{D_1}} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}C} $ đồng phẳng.
Câu 13: Cho ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ không đồng phẳng. Xét các vectơ $\overrightarrow x = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b ;\,\overrightarrow y = \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c ;\,\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \,$. Chọn khẳng định đúng?
A. Ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
B. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow a $ cùng phương.
C. Hai vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow b $ cùng phương.
D. Ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đôi một cùng phương.
Chọn A
Ta có: $\overrightarrow y = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow x + \overrightarrow z } \right)$ nên ba vectơ $\overrightarrow x ;\overrightarrow y ;\overrightarrow z $ đồng phẳng.
Câu 14: Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. Tìm giá trị của K thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {D{D_1}} = k\overrightarrow {A{C_1}} $
A. k = 4.
B. k = 1.
C. k = 0.
D. k = 2.
Chọn B
vecto trong không gian 14.png

+ Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} $. Nên $k = 1$.
Câu 15: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow u $,$\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow v $, $\overrightarrow {BD'} = \overrightarrow x $, $\overrightarrow {DB'} = \overrightarrow y $. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
B. $2\overrightarrow {OI} = - \frac{1}{2}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
C. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
D. $2\overrightarrow {OI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \overrightarrow x + \overrightarrow y )$.
Chọn A
vecto trong không gian 15.png

+ Gọi $J,\,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,CD$.
+Ta có: $2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \,\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = - \frac{1}{4}(\overrightarrow u + \overrightarrow v + \,\overrightarrow x + \overrightarrow y )$
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác $AB
C.{A_1}{B_1}{C_1}$. Đặt $\overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d ,$trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 $.
B. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d $.
C. $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 $.
D. $\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c $.
Chọn C
vecto trong không gian 16.png

+ Dễ thấy: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c = \overrightarrow 0 $.
Câu 17: Cho hình hộp$ABCD.EFGH$. Gọi I là tâm hình bình hành $ABEF$ và $K$ là tâm hình bình hành$BCGF$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AK} ,\overrightarrow {GF} $ đồng phẳng.
B. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} $ đồng phẳng.
C. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {EK} ,\overrightarrow {GF} $ đồng phẳng.
D. $\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GC} $đồng phẳng.
Chọn B
vecto trong không gian 17.png

+ $\left\{ \begin{array}{l}IK{\rm{//}}(ABCD)\\GF{\rm{//}}(ABCD)\\BD \subset (ABCD)\end{array} \right.\,\,$$ \Rightarrow \overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} ,\overrightarrow {BD} $ đồng phẳng.
+ Các bộ véctơ ở câu $A,C,D$ không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
B. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ có một vectơ $\overrightarrow 0 $ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
C. Nếu giá của ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D. Nếu trong ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Chọn A
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 19: Cho hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. $\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {{A_1}C} = 2\overrightarrow {AC} $.
B. $\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} + 2\overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow 0 $.
C. $\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {{A_1}C} = \overrightarrow {A{A_1}} $.
D. $\overrightarrow {C{A_1}} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C{C_1}} $.
Chọn A
vecto trong không gian 19.png

+ Gọi O là tâm của hình hộp $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow O $.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} $.
C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} $ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} $.
Chọn C
vecto trong không gian 20.png

$\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} .$
$ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .$$ \Leftrightarrow $ABCD là hình bình hành
 
Sửa lần cuối:

Chương 8: Vector trong không gian

Các dạng toán liên quan giữa hai đường thẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Các dạng toán liên quan giữa hai mặt phẳng trong không gian Các dạng toán tính khoảng cách trong không gian