Cho phương trình ${x^2} - x + 3m = 0$, với m là tham số.
Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2}$.
Giải
Cách 1.
Đặt $x - 1 = t$, ta có ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {t_1} < 0 < {t_2}$
Phương trình ẩn x là ${x^2} - x + 3m = 0$ được đưa về phương trình ẩn $t$:
${\left( {t + 1} \right)^2} - \left( {t + 1} \right) + 3m = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t + 3m = 0$ .
Phương trình ẩn $t$ phải có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow 3m < 0 \Leftrightarrow m < 0$
Vậy $m < 0$
Cách 2:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta > 0$$ \Leftrightarrow 1 - 12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{{12}}$.
Khi đó theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}.{x_2} = 3m\end{array} \right.$ (1).
Hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} - 1$ và ${x_2} - 1$ trái dấu $ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0$ (2).
Thay (1) vào (2) ta có: $3m - 1 + 1 < 0 \Leftrightarrow m < 0$.
Kết hợp với điều kiện ta có $m < 0$ là các giá trị cần tìm.
Chú ý:
Nếu hai nghiệm ${x_1},{x_2} < 1$ thì phương trình ẩn $t$ có hai nghiệm đều là số âm.
Nếu hai nghiệm ${x_1},{x_2} > 1$ thì phương trình ẩn $t$ có hai nghiệm đều là số dương.
Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2}$.
Giải
Cách 1.
Đặt $x - 1 = t$, ta có ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {t_1} < 0 < {t_2}$
Phương trình ẩn x là ${x^2} - x + 3m = 0$ được đưa về phương trình ẩn $t$:
${\left( {t + 1} \right)^2} - \left( {t + 1} \right) + 3m = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t + 3m = 0$ .
Phương trình ẩn $t$ phải có hai nghiệm trái dấu $ \Leftrightarrow 3m < 0 \Leftrightarrow m < 0$
Vậy $m < 0$
Cách 2:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta > 0$$ \Leftrightarrow 1 - 12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{{12}}$.
Khi đó theo hệ thức Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}.{x_2} = 3m\end{array} \right.$ (1).
Hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \Leftrightarrow {x_1} - 1$ và ${x_2} - 1$ trái dấu $ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0$ (2).
Thay (1) vào (2) ta có: $3m - 1 + 1 < 0 \Leftrightarrow m < 0$.
Kết hợp với điều kiện ta có $m < 0$ là các giá trị cần tìm.
Chú ý:
Nếu hai nghiệm ${x_1},{x_2} < 1$ thì phương trình ẩn $t$ có hai nghiệm đều là số âm.
Nếu hai nghiệm ${x_1},{x_2} > 1$ thì phương trình ẩn $t$ có hai nghiệm đều là số dương.