Tìm I và R

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Số Phức| Môđun Và Biểu Diễn Hình Học Của Số Phức |
Cho \(z\in C\) thỏa mãn \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i\). Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(w = (3 - 4i)z - 1 + 2i\) là đường tròn tâm I, bán kính R. Tìm I và R.
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I( - 1;2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {I(1; - 2)}\\ {R = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
 

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
Học lớp hướng dẫn giải
Ta có: \((2 + i)\left| z \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i \Leftrightarrow \left( {\left| z \right| + 2} \right) + \left( {2\left| z \right| - 1} \right)i = \frac{{\sqrt {10} }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z\)
Ta có bình phương môđun của số phức bên trái biểu thức là \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2}\)
Bình phương môđun của số phức bên phải là \(\frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)(Do \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\))
Khi đó \({\left( {\left| z \right| + 2} \right)^2} + {\left( {2\left| z \right| - 1} \right)^2} = \frac{{10}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\).
Đặt \(a=\left | z \right |\) ta có: \({(a + 2)^2} + {(2a - 1)^2} = \frac{{10}}{{{a^2}}}\)
\(\Leftrightarrow 5{a^2} + 5 = \frac{{10}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1 \Rightarrow \left| {w + 1 - 2i} \right| = \left| {(3 - 4i)} \right|.\left| z \right| = 5\)(*)
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\,(x,y \in \mathbb{R})\)
Từ (*) ta có: \(\left| {x + 1 + (y - 2)i} \right| = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {(y - 2)^2} = {5^2}\)
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R=5.